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2.8 函数与方程核心考点精准研析考点一判断函数零点所在区间1.实数a1,0b1,那么函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)2.设函数f(x)=x-ln x,那么函数y=f(x)()A.在区间,(1,e)内均有零点B.在区间,(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点3.(2021扬州模拟)设函数y=x2与y=的图像交点为(x0,y0),那么x0所在区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.假设ab1,0b1,f(x)=ax+x-b,所以f(-1)=-1-b0,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.2.选D.令f(x)=0得x=ln x.作出函数y=x和y=ln x的图像,如图,显然y=f(x)在内无零点,在(1,e)内有零点.3.选B.因为函数y=x2与y=的图像交点为(x0,y0),那么x0是方程x2=的解,也是函数f(x)=x2-的零点.因为函数f(x)在(0,+)上单调递增,f(2)=22-1=30,f(1)=1-2=-10,所以f(1)f(2)0.由零点存在性定理可知,方程的解在(1,2)内.4.选A.因为ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理.(2)数形结合法.【秒杀绝招】用特殊值法可解T2.考点二确定函数零点的个数【典例】1.函数f(x)=|x-2|-ln x零点的个数为()A.0B.1C.2D.32.(2021全国卷)函数f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零点个数为 ()A.2B.3C.4D.53.函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x-1,1时,f(x)=2|x|-1,那么函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是 ()A.9B.10C.11D.18【解题导思】序号联想解题1由f(x)=|x-2|-ln x的零点,想到|x-2|=ln x.2由f(x)=2sin x-sin 2x,想到化简,令f(x)=0求sin x与cos x的值.3由F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数,想到f(x)=|lg x|.【解析】1.选C.作出函数y=|x-2|与g(x)=ln x的图像,如下列图.由图像可知两个函数的图像有两个交点,即函数f(x)在定义域内有2个零点.2.选B.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,那么sin x=0或cos x=1,又x0,2,所以x=0,2,共三个零点.3.选B.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=|lg x|的大致图像如图,由图像可知,它们共有10个不同的交点,因此函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是10.函数零点个数的判断方法(1)直接求零点.(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.(3)利用函数图像的交点个数判断.1.函数f(x)=3x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由题意知f(x)单调递增,且f(0)=1+0-2=-10,即f(0)f(1)0且函数f(x)在(0,1)内连续不断,所以f(x)在区间(0,1)内有一个零点.2.(2021上饶模拟)函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),那么函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5【解析】选A.由条件可得g(x)=3-f(2-x)=函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图像如下列图.由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图像有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2.3.f(x)=那么函数y=2f(x)2-3f(x)+1的零点个数是.【解析】由2f(x)2-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图像.由图像知y=与y=f(x)的图像有2个交点,y=1与y=f(x)的图像有3个交点.因此函数y=2f(x)2-3f(x)+1的零点有5个.答案:5考点三函数零点的应用命题精解读1.考什么:(1)由函数的零点有无、个数求参数值或范围、图像的交点、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.2.怎么考:多以选择、填空题的形式考查.3.新趋势:以函数图像与性质为载体,图像与性质、数与形、求参数值或范围交汇考查.学霸好方法函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)别离参数法:将参数别离,转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.由零点的个数求参数值或范围【典例】函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.假设g(x)存在2个零点,那么a的取值范围是 ()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)【解析】选C.画出函数f(x)的图像,y=ex在y轴右侧的图像去掉,再画出直线y=-x,并上下移动,可以发现当直线过点(0,1)时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程f(x)=-x-a有两个解,也就是函数g(x)有两个零点,此时满足-a1,即a-1.函数零点个数求有关参数的取值范围问题的关键是什么?提示:关键是将函数零点个数问题转化为方程解的个数,或两个函数图像交点的个数问题,再去求解.由函数有无零点求参数【典例】假设函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,那么实数a的取值范围是.【解析】因为函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,所以方程4x-2x-a=0在-1,1上有解,即方程a=4x-2x在-1,1上有解.方程a=4x-2x可变形为a=-,因为x-1,1,所以2x,令2x=t,t,a=-,0t-,0,-2,所以a=-的范围为,所以实数a的取值范围是.答案:函数有(或无)零点如何求参数的范围?提示:先别离参数,再依据有(或无)零点得出等式(或不等式),最后得出结论.与函数零点有关的比较大小【典例】(2021承德模拟)a是函数f(x)=2x-lox的零点,假设0x00C.f(x0)0D.f(x0)的符号不确定【解析】选C.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=lox的图像,由图像可知,当0x0a时,有lox0,即f(x0)0.与函数零点有关的函数值如何比较大小?提示:在同一平面直角坐标系中画出图像,根据图像所处的上下位置确定.1.假设函数f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,那么a的取值范围为()A.(0,4)B.(0,+)C.(3,4)D.(3,+)【解析】选C.令g(x)=|2x-4|,其图像如下列图,假设f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,那么a(3,4).2.函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x-1的零点分别为x1,x2,x3,那么x1,x2,x3的大小关系是()A.x2x1x3B.x1x2x3C.x1x3x2D.x3x2x1【解析】选B.令y1=2x,y2=ln x,y3=-1,因为函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x-1的零点分别为x1,x2,x3,那么y1=2x,y2=ln x,y3=-1的图像与y=-x的交点的横坐标分别为x1,x2,x3,在同一平面直角坐标系内分别作出函数y1=2x,y2=ln x,y3=-1及y=-x的图像如图,结合图像可得x1x21)在(0,+)上恰有4个互不相同的零点,那么实数a的值为_.【解析】当x时,f(x)=1-|2x-1|=,且f(x)是定义在R上且周期为的周期函数,因为函数y=f(x)-logax(a1)在(0,+)上恰有4个互不相同的零点,所以函数y=f(x)与y=logax(a1)在(0,+)上恰有4个不同的交点,分别画出两函数图像如下列图,由图可知,当x=时,有loga=1,所以a=.答案:1.(2021包头模拟)函数f(x)=ln x+3x-8的零点x0a,b,且b-a=1,a,bN*,那么a+b=()A.0B.2C.5D.7【解析】选C.因为f(2)=ln 2+6-8=ln 2-20,且函数f(x)=ln x+3x-8在(0,+)上为单调递增函数,所以x02,3,即a=2,b=3,所以a+b=5.2.a为正常数,f(x)=假设x1,x2R,使f(x1)=f(x2),那么实数a的取值范围是.【解析】由于a0,函数y=x2+ax+3在0,+)上单调递增,当x=0时有最小值为3.在x3,解得a2.答案:(2,+) 可修改 欢迎下载 精品 Word
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