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一、 相对指标的种类和计算公式 相对指标根据研究的目的、任务和作用不同，分为计划完成相对指标，结构相对指标、比较相对指标、比例相对指标、动态相对指标，强度相对指标六种。 (一)结构相对指标。 结构相对指标是在对总体进行分组的基础上，以总体的部分数值与总体全部数值对比，计算各部分数值占总体数值的比重。表明总体内部的构成状况及分布特征。其计算公式为： 结构相对指标 (二)比较相对指标。 比较相对指标又称类比相对数，是指同一时期处于不同空间（不同地区、不同部门和不同单位）的同类现象的数量对比来说明同类事物在不同条件下的差异程度。其计算公式如下： 比较相对指标 比较相对指标分子与分母可以互换，可以用百分数或几比几表示，在经济工作中常用这种比较方法。 （三）比例相对指标 比例相对指标是指总体内部各组成部分的数量对比，其计算公式如下： 比例相对指标 比例相对指标与结构相对指标也有区别。结构相对指标是总体内的部分数值与总体全部数值之比，所以，母项包括子项；比例相对指标是总体内部各个组成部分之间的数量对比，母项与子项没有包含关系。 (四)动态相对指标。 动态相对指标是指同一总体同类指标在不同时期的数值对比，其计算公式如下： 动态相对指标 公式中作为比较标准的时期称为基期；与基期比较的时期，即分子所研究的时期称为报告期。动态相对指标用以表明现象在时间上的发展变动程度及方向，一般用倍数或百分数来表示。动态相对指标基期的确定应根据统计研究目的不同，可以是上一时期(年、季、月)，也可以是持定的时期。利用动态相对指标实现纵向对比，分析现象在不同时间上的发展变动程度。还应注意动态相对指标的分子和分母不能互换、否则其作用不能实现。例如：我国1997年国内生产总值(GDP)为上年的119.2%，比上年提高了19.2%。 (六)强度相对指标 1、强度相对指标的概念 强度相对指标是指两个有联系的不同总体，性质不同的总量指标对比形成的相对指标。用来说明现象发展的强度，密度及普遍程度。其公式为： 强度相对指标 公式中分子与分母数值，都是总量指标、分子与分母间，都应是有内在经济联系的两种现象。例如，1997年底我国人口总数为123626万人，国内生产总值为74772亿元，人均国内生产总值为： 人均国内生产总值1 / 14 强度相对指标的计量单位一般以子项和母项指标数值的计量单位复合计量，如人口密度(人平方公里)，对于少数分子与分母计量单位相同的强度相对指标，则用百分数(%)或千分数()表示，如人口出生率，资金利税率、百元工资收储率等。在计算时，应根据现象性质和统计研究目的选用适当的指标为比较基础(即分母数值)。例如，以粮食产量和人口总量对比，计算得到人均粮食产量，若用钢产量和土地面积对比，则分子与分母是无联系的两个总量指标，对比结果无任何经济意义。 2、强度相对指标的正逆指标 有一些强度相对指标的分子和分母指标可以根据需要互换，这就产生了有些强度相对指标有正指标和逆指标两种指标。例如，反映某城市商业网点密度，用商业机构(个)数除以城市人口数，计算得到每千人中有商业机构数(个千人)(正指标)。也可以用城市人口数除以商业机构(个)数，计算得到每个商业网点服务的居民人数(千人个)(逆指标)。 （六）计划完成相对指标。 计划完成相对指标是用来检查、监管计划执行情况的相对指标 ，用来表明一定时期某种社会经济现明计划任务完成程度的相对指标。又称计划完成百分比。是由实际完成数与计划任务数对比计算的，一般用百分数(%)表示。 1、计划任务数为绝对数、平均数时。其计算公式如下: 计划完成相对指标=100% 公式中分子数值是对已发生的实际状况统计而得的资料，分母数值是为实现某项目标而规定的任务。用这个公式计算出来的相对数，表示计划的完成程度，而子项数值减母项数值的差额（正或负）则表明执行计划的绝对效果 。例如，某企业计划规定全年的总产值应达到3500万元，实际为4300万元，则该企业计划完成相对指标为122.86%，实际比计划超额22.86%，实际产值比计划增加了800万元。 2、计划任务数为相对数时，有两种情况： （1）计划任务数以应该完成百分数来规定的，其公式为： 计划完成相对指标=100% 如某企业计划规定1999年产品合格率为97.3%，计划执行的结果该年度产品合格率为98.6%。其计划完成相对指标为： 计划完成相对指标100%101.3% (2)计划任务数以计划提高率(或降低率)形式出现时，分子、母必须考虑原有基数（上年实际水平为100%）。例如，某企业计划本期比上期劳动生产率提高3%，实际提高了5%，则劳动生产率计划完成情况指标应按下式计算： 计划完成相对指标 计算结果表明劳动生产率超额1.9%，完成计划。 又如, 如某企业计划1999年生产成本比上一年降低5%，实际降低了7%，其计划完成相对指标为： 计划完成相对指标97.9% 计算结果表明劳动生产率超额2.1%，完成计划。 3、短期计划执行情况检查又有两种计算法：首先，当实际完成数与计划数时期长短相同时，以年度实际完成数与年度计划任务数之比，它说明年度计划执行的总结果。其次，当实际完成数与计划数的时期长短不相同时，则以计划期中某一段时间内的累计实际完成数与计划全期数之比，说明进度计划执行情况。 4、分析长期计划完成情况的检查：根据客观现象的性质不同，长期计划的计划任务数有的是按计划全期应完成的总量来规定的；有的任务数只规定计划期末应达到的水平。因而又有两种不同的检查方法： (1)水平法。如果长期计划只规定计划期末应达到的水平，则采用水平法检查计划执行情况。如：汽车产量计划、农作物产量计划、社会商品零售总额计划等采用水平法测定长期计划执行情况。计算公式为： 计划完成程度 例如，我国“七五”计划期间，1990年国民生产总值计划达到11170亿元(按1985年价格)，实际达到12410亿元(按1985年价格)，国民生产总值的计划完成情况为： 按水平法检查长期，计划执行情况，只要计划期内有连续一年(不论是否在一个日历年度内，只要连续12个月即可)指标数值达到计划规定最后一年的水平，余下的时间即为提前完成计划的时间。 (2)累计法，如果计划指标是按计划期内各年的总和来规定任务的，则用累计法计算计划完成情况指标。计算公式为： 计划完成程度 例如，我国“七五”计划原定全社会固定资产投资规模为12960亿元，实际执行结果，五年内累计完成额达到19746亿元，则全社会固定资产投资计划完成情况为： 按累计法检查长期计划执行情况，将计划全期时间减去从计划执行之日起至累计实际完成数已达到计划累计数的时间、即为提前完成计划的时间。二、平均指标的种类及计算 平均指标是对总体各单位某一标志一般水平的反映，由于确定方法不同，分为数值平均指标与位置平均指标。 （一）数值平均指标 数值平均指标是指将各总体单位标志值全部计算形成的平均指标，例如，某班统计学的“平均成绩”，是对全班每个同学的成绩（变量值)综合计算后形成的。由于所研究现象的特点不同，数值平均指标的具体计算，分为算术平均指标和几何平均指标。1、 算术平均指标 算术平均指标是分析社会经济现象一般水平和典型特征的最基本指标，它是表明同一总体各单位标志值一般水平的平均指标，是计算平均指标最常用的方法。适用于总体各单位标志之间是相加求和的数量关系。其计算基本公式为： 算术平均指标 公式中，分子与分母在社会经济内容上有着从属关系，分子与分母为同一总体内的两个总量指标，分子数值必须是分母总体各单位标志值之和，二者范围必须一致。由于占有资料的情况不同，算术平均指标分别采不同的计算方法，分为简单算术平均指标和加权算术平均指标两种计算形式： （1）简单算术平均指标 简单算术平均指标是指掌握的资料是总体各单位标志值，而且未分组的情况下，计算平均指标的一种形式。将总体各单位标志值简单加总求得的算术和（标志总量)除以总体单位数（总体总量）。如：某生产小组有6个工人，某种产品每人日产量（件）分别为8、9、10、10、11、12。则该组平均日产量为： 上例用符号表示即为简单算术平均指标的计算公式： 公式中： 算术平均指标 各个变量值 加总符号 n 总体单位数 (2)加权算术平均指标 如果掌握的统计调查资料已整理分组，计算平均指标就应采用加权算术平均指标的计算形式。具体方法是：首先，以各组总体单位数(频数)乘各组标志值求得各组的标志总量。再将各组标志总量相加求出总体标志总量。用总体标志总量除以总体单位数求出平均指标。例如，某工厂机加工车间有工人80人，他们每人每天加工甲零件数的统计资料（如表4-2），要确定车间全体工人日平均加工甲零件数。由于平均指标是同一总体内的标志总量除以总体总量，平均加工甲零件数则是加工甲零件总额工人人数，就必须用加权算术平均指标的形式计算全车间平均加工甲零件数，即： 表4-2 某工厂机加工车间工人生产情况 工人按日加工零件分组工人人数（人） 占总人数（%） 12 1 1.25 13 3 3.75 14 6 7.50 15 11 13.75 16 18 22.50 17 17 21.25 18 10 12.50 19 7 8.75 20 5 6.25 21 2 2.5 合 计 80 100 日平均加工数 =16.65(件) 从中看出：平均每天加工甲零件数的多少受两个因素的影响：一是各组零件数的多少，一是各组工人人数的多少,工人人数多的组对平均日加工量的影响作用大，工人人数少的组对平均日加工量的影响作用小。工人人数(频数)在平均工资的计算中具有权衡轻重的作用，统计上称为权数。以这种形式计算的平均指标即称为加权算术平均指标。用x代表各组标志值，f代表各组频数(即权数)用代表平均数, 代表各组标志值, 则加权算术平均指标的计算为: 各组出现的次数除用频数表示外，加权算术平均数还可用比重即频率来表示，如果各组频数以比重的形式表示，则加权算术平均指标的计算为公式为: 上例的计算可表示为： 日平均加工零件数=121.25%+133.75%+147.5%+1513.75%+1622.5+ 1721.25%+1812.5%+198.75%+206.25%+212.5% =16.65(件)加权算术平均指标是根据变量数列计算的。而变量数列由于其标志在各组分布状况不同又分为单项式变量数列和组距式变量数列，不同形式变量数列在计算中有所区别。 根据单项式变量数列计算平均指标（如表4-3），若根据频数即各组的单位数计算，则计算式如下： （件）表4-3 某工厂机加工车间工人平均日加工量计算表 日加工零件数 (件) x工人人数（人）f占总人数（%） 各组日加工零 件数(件) xf 12 1 1.25 12 0.15 13 3 3.75 39 0.4875 14 6 7.50 84 1.05 15 11 13.75 165 2.0625 16 18 22.50 288 3.6 17 17 21.25 289 3.6125 18 10 12.50 180 2.25 19 7 8.75 133 1.6625 20 5 6.25 100 1.24 21 2 2.50 42 0.525 合 计 80 100 1332 16.65 若根据频率即各组的单位数占总体单位数的比重计算，则计算式如下： （件） 根据组距式变量数列计算平均指标。以某班学生统计学考试成绩的调查资料整改编制组距数列。（如表4-4） 若根据频数即各组的单位数计算，则计算式如下 （分） 若根据频率即各组的单位数占总体单位数的比重计算，则计算式如下： (分) 表4-4 某班学生统计学考试平均成绩计算表 成绩（分）频数（人） f频率 （%） x xf 5060 2 6.755 110 3.685 6070 4 13.365 260 8.645 7080 9 30.075 675 22.500 8090 11 36.785 935 31.195 90 100 4 13.395 38012.635 合 计 30 100.0 236078.667组距式变量数列计算平均指标的计算方法是在假定各组内标志值是均匀分布的前提下进行的，但事实上要完全服从于均匀分布的假立定是不可能的。因此根据组距数列计算的加权算术平均数的结果，只能是平均指标的近似值。若各组频数相同，表明权数相等，即权数的作用不存在，则加权算术平均数与简单算术平均数计算结果完全相同。 (3)调和平均指标调和平均指标是加权算术平均指标的变形，即在统计调查资料缺乏总体单位数时，计算平均指标所采用的又一种形式。用各组标志总量除以各组标志值确定各组总体单位数。其计算公式如下： 如：有某商品的销售额和价格资料(如表4-5) 表4-5 某商品的销售额和价格资料商品等级 销售额（万元） xf 销售价格（元） x 甲 级 5 2.50 乙 级 6 2.40 丙 级 6 2.00 合 计 17 要求根据上表资料计算该商品的平均价格 平均价格=2.27（元/公斤） 调合平均指标实际上与加权算术平均指标的经济意义完全相同。调合平均指标是加权算术平均指标的变形，两者无本质差别。只是因为所掌握资料的不同，采用的不同计算方法。如果有标志值为零时，计算调合平均指标无意义。 2.几何平均指标 几何平均指标又称“对数平均数”，它是若干个标志值连乘积开若干次方的算术根，几何平均数适用于标志值之连乘积等于标志总量（总比率或总速度）的这类社会经济现象，计算平均比率或平均速度。 根据掌握资料的情况不同，几何平均指标的计算可分为简单几何平均指标和加权几何平均指标。在统计中常用的是简单几何平均指标。（1） 简单几何平均指标简单几何平均指标是n个标志值连乘积的n次方根，其计算公式为： 式中：几何平均指标 连乘符号 n标志值个数例如：某汽车厂有铸造车间、机加工车间、零件车间、部件装配车间、总装车间等连续作业的五个车间，本年的产品合格率分别为95%、92%、91%、90%、88%，求各车间产品的平均合格率。 车间产品平均合格率 由于各车间产品的合格率的总和不等于全厂总合格率，各车间的合格率是在上一车间(上道工序)制品的全部合格的基础上计算的，全厂产品的合格率等于各车间合格率的连乘积，因此不能用算术平均数计算，而应采用几何平均数计算车间平均合格率。（2） 加权几何平均指标当统计资料分组后，应采用加权几何平均指标的计算方法，其算公式为： 式中，f为各标志值的权数或次数。算术平均数和几何平均数各有不同性质，适用于不同现象，不能互相代用。如果数列中某标志值等于零或负数，就不能计算几何平均数。(二) 位置平均指标位置平均指标是根据标志值所处位置直接观察，或根据其所处位置有关的部分与标志值计算确定的平均数。位置平均指标包括众数和中位数。1、 众数 （1）众数的概念众数是指总体中出现次数最多的那个标志值，即最普遍、最常出现的数值，或在变量数列中频数最大(频率最高)的那个标志值。例如，某班同学年龄为19岁的占全班总人数的86%，18岁的占5%，20岁的占9%，其中19岁出现次数最多，用它代表全班同学年龄的一般水平，19岁就是众数。 （2）众数的作用 众数也是一种位置平均指标，在一个完全对称的钟型分布及正态分析中，它与算术平均数、中位数完全相等，在统计分析中，其作用表现在。1) 众数可反映总体各单位某一标志的集中趋势以及一般水平。例如，用来说某地区居民家庭人口普遍数量。某城市居民家庭的普遍收入。2) 众数与算术平均指标结合可以观察数列分布的形态，当数列呈完全对称钟型分布时，算术平均数与众数重合，如分布不对称，则算术平均数因受极大值或极小值的影响而与众数分离，将两者结合，可以观察分布的正态、正偏(右偏)及负偏(右偏)。（如图4-1、4-2、4-3） 图4-1 正态分布 图4-2 正偏分布 图4-3负偏分布 (3)确定众数的方法众数的确定，必须是在总体单位充分多，且只有明显的集中趋势时才有可能确定。在总体较小，总体单位数较少时，确立众数没有意义。在各组频数相等的条件下，不存在众数，根据掌握的资料不同，众数的确立方法有两种。1）当统计资料未分组时，频数最多（频率最高）的那一组变量值就是众数。2）当统计资料已分组，且为单项式变量数列时，次数最多的那一组变量值就是众数。例如，有某居民小区按家庭人口数分组资料（如表4-6）。表4-6 某居民小区家庭人口数资料 按人口数分组 家庭数（户） 1 12 2 68 3 465 4 75 5 16 合 计 636从上表中可以看出，该居民小区3口人的家庭出现次数最多，因此，标志值3就是众数。3）当统计资料已分组，且为组距式变量数列时。若是正态或对称的钟型分布的数列，即众数所在组前后两组的频数(频率)完全相等的条件下，众数即是众数所在组的组中值；若不是正态或对称的钟型分布的变量数列，则应先确定众数组，然后用以下公式计算众数的近似值。下限公式：上限公式： 式中：众数 L众数所在组的下限 U众数所在组的上限 众数所在组前一组频数 众数所在组的频数 众数所在组后一组的频数。 d众数所在组的组距例如，某班学生统计学考试成绩资料（如表4-7），要求计算考试成绩的众数。表4-7 某班学生统计学考试成绩资料按成绩分组（分）学生人数（人）60以下260-70670-801080-901990-1003合计40根据下限公式求众数： =83.6(分)或根据上限公式求众数: =83.6(分)2、中位数 （1）中位数的概念将所研究的总体中的各单位标志值按大小顺序排列，位于中点位置的那个标志值就是中位数。中位数可用来反映现象的一般水平，具有不受极端变量值影响的特征。 （2）中位数的作用中位数正居变量数列各个标志值的中点位置，它与数列的算术平均指标及众数相似，在一个完全对称的正态分布数列中，三者是相等的。中位数是一种位置平均指标。在统计分析中其作用表现在：1) 在有极端变量值的数列中，求中位数可避免极端变量值的影响，从另一个侧面反映频数分布的集中趋势而代表现象的一般水平。2) 在不宜计算算术平均数的资料中(如开口组的组距数列)，可以用中位数来表明现象的一般水平。 （3）确立中位数的方法1)由未分组的统计资料确立中位数。在标志值未分组的情况下：先把各总体单位标志值按大小顺序排列，然后用求出中位数的位次(n为总体单位数)，该位次对应的那个标志值即为中位数，若总体单位数(n)为偶数，中位数则是中点位置相邻两个标志值的平均值，如有6个工人生产某种产品的日产量件数，按大小顺序排列为22、24、25、26、28、30则中位数的位次为（6+1）/2=3.5，中位数是第三个工人和第四个工人日产量的平均值，即是（25+26）/2=25.5（件)。2)由单项式变量数列确定中位数。应首先计算累计频数，然后用(n1)2的方法，确定中点位次，该位次所在组对应的标志值即是中位数。例如，有某居民小区按家庭人口数分组资料（如表4-8）。表4-8 某居民小区家庭人口数累计频数计算资料 口数分组家庭数（户）向上累计（户）向下累计（户） 1 12 12 636 2 68 80 624 3 465 545 556 4 75 620 91 5 16 636 16 合 计 636 中点位次=(n+1)2=(636+1)2=318.5(户)，对照向上累计次数或向下累计次数表，中位数均在第三组，该组标志值是人口数为3人的家庭即中位数。3)在组距数列中确定中位数具体方法：以某班学生统计学考试成绩资料为例（如表4-7）计算步骤如下：第一步、编制向上累计或向下累计次数表第二步、确定中点位置所在组。即，从表中看出，无论对应向上累计次数表，还是向下累计次数表，中位数均在第四组(即8090分)内。 表4-9 某班学生统计学考试成绩累计频数计算资料按成绩分组（分） 学生人数 （人） 向上累计 （人） 向下累计 （人）50-60224060-70683870-8010183280-9019372290-1003403合计40第三步、确定中位在该组内的位置，以标志值在该组内均匀分布为假定条件，并计算中位数的近似值。用20-18(第三组向上累计次数)=2，它与全组学生的比例为219=0.105按照该组的组距(10分)加以推算，即100.105=1.05分，将中位数所在的组的下限(80分)，加上这个数字(80+1.05=81.05分)就是中位数。中位数的计算公式如下：下限公式： 上限公式：式中：中位数 L中位数所在组下限 U中位数所在组上限 数列的总次数 中位数所在组前一组的累计次数 中位数所在组后一组的累计次数 中位数所在在组织的次数 d中位数所在组的组距将上表中的资料代入以上公式计算：下限公式： = =81.05（分）上限公式： = =81.05(分)中位数也可以就频率计算，根据频率编制累计次数表，将上面算式中的、及相应的次数都以频率形式表示即可。 (三)算术平均数、中位数、众数三者间的关系1、当总体分布呈对称状态时，三者完全相等，合而为一。即在完全对称的钟型分布条件下，反映集中趋势的算术平均数，是标志值分布的中心，两边标志值的频数对称分布，离中心愈近的标志值频数愈多，愈远的标志值频数愈少，形成了完全对称的钟型分布，这时算术平均既是总体单位中点位置的标志值，也是频数最多的标志值，三者的数值相同，即有（如图4-4）。 图4-4 正态分布2.当总体中受极大或极小标志值的影响时，总体频数出现了有偏斜的分布，不能保持对称，。偏斜分布有两种情况：(1) 当总体中出现极大值的影响时，总体频数呈右偏分布，低数值比较集中，算术平均数受偏高数值的影响较大，位置在众数之右，中位数在平均数与众数之间。由于平均数处于众数的右方，偏中心距离逐渐向右方伸展，与之差为正数，称为正偏斜。三者的数量关系为（如图4-5）。 图4-5 右偏（正偏）分布 (2) 当总体中出现极大的影响时，总体频数呈左偏分布，平均数在众数之左，中位数在两者之间，与之差为负数，称为负偏斜。三者的数量关系为。（如图4-6） 图4-6 左偏（负偏）分布无论总体频数是负偏分布还是正偏分布，中位数始终位于与之间。英国统计学家皮尔生发现，在微偏分布的情况下， 、三者的关系如下： =3（）
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