大学物理：第1章 1.1质点的运动

第一章第一章 质点力学质点力学1.1 1.1 质点运动学质点运动学1.2 1.2 牛顿运动定律及其应用牛顿运动定律及其应用1.3 1.3 动量动量 1.4 1.4 角动量角动量 1.5 1.5 功和能功和能 1.1 1.1 质点运动学质点运动学质点质点: : 忽略物体的形状和大小忽略物体的形状和大小, ,而把它看作是具有质量而把它看作是具有质量的几何点的几何点, ,叫做质点叫做质点. . 1.1.相对于远距离的观察者，物体很小，形状与大小相对于远距离的观察者，物体很小，形状与大小对力学性质的影响可以忽略。对力学性质的影响可以忽略。2.2.虽然物体不是很小，其形状与大小的因素在特定虽然物体不是很小，其形状与大小的因素在特定的力学问题中却不起作用。如刚体平动。的力学问题中却不起作用。如刚体平动。空间的各向同性空间的各向同性参照系参照系: : 由于运动是相对的，因此确定质点的位置时由于运动是相对的，因此确定质点的位置时, , 需要选定一个或一组保持相对静止的物体作为参照物需要选定一个或一组保持相对静止的物体作为参照物, , 称为参照系称为参照系. .对物体运动的描述对物体运动的描述, ,随参照系的不同而不随参照系的不同而不同同, ,这个事实称为运动的这个事实称为运动的相对性原理相对性原理. .坐标系坐标系: 为了定量地研究物体的运动为了定量地研究物体的运动, 需要在参照需要在参照系中建立坐标系系中建立坐标系, 最常用的是直角坐标系最常用的是直角坐标系o-xyz ,质质点的位置用它的三个直角坐标点的位置用它的三个直角坐标 (x,y,z) 表示表示.物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系一、一、位置矢量位置矢量质点的位置可用坐标（质点的位置可用坐标（x,y,z )表示表示,也可用矢径也可用矢径 表示。表示。 如图如图. 矢径矢径也称为也称为位置矢量位置矢量,简称简称位矢位矢。 r1.1.1 1.1.1 位置矢量和位移：位置矢量和位移：x z y z yxPorjik二、位置矢量二、位置矢量 的性质：的性质：r1. 1. 矢量性：矢量性： 有大小，有方向。有大小，有方向。r222zyxr rx cosry cos1coscoscos222 coszrrxiyjzk关系：关系：3. 相对性：相对性：质点质点P在同一时刻在同一时刻t相对于参照系相对于参照系O1的位为的位为 ，相对于参照系相对于参照系O2的位置为的位置为 。1r2r1rO1PO22r1rOP12rP2当质点运动时当质点运动时, 位置发生变化位置发生变化, 因此其坐标就成为时间因此其坐标就成为时间t 的函数的函数:)(txx )(tyy )(tzz 上式称为质点的运动方程上式称为质点的运动方程( (函数函数) ) x z y z(t) y(t)x(t)P(t )O)(trjik三、运动函数三、运动函数: :2.瞬时性：瞬时性：质点在不同时刻质点在不同时刻t，对应不同位置对应不同位置P。 也不同。也不同。即：即： 是是t 的函数。的函数。( )r tr运动方程的矢量表达式运动方程的矢量表达式轨迹方程：轨迹方程：)(trr ktzjtyitxtr)()()()( 此式表明此式表明, ,质点的运动可以看作是各分运动的质点的运动可以看作是各分运动的矢量合成矢量合成, , 这个结论称为这个结论称为运动的叠加原理运动的叠加原理. .例如：斜抛运动例如：斜抛运动 轨迹方程：轨迹方程： 0v yx运动方程：运动方程：20021sin,cosgttvytvx 2220cos2tanxvgxy ( )xx y( )yy x或或四四 . 位移位移 : 位置矢量的增量位置矢量的增量)t (r)tt (rr xyzO OP P2 2P P1 1r )(ttr )(trs )(tr)(ttr r r 1. . 是矢量。是矢量。r 2. . ， 。rr )()(trttrr 3. . ， -路程路程( (标量标量) )。sr s 只有在极限只有在极限 时，时，0tsr 设：设：t 时刻，质点在时刻，质点在P1点点,位矢为位矢为 ,t+ t 时刻时刻,质点在质点在P2点点,位矢为位矢为 ,则从则从P1到到P2的有向线段的有向线段(位移位移)记为记为 )(tr)(ttr r 注意注意位移的大小和方向位移的大小和方向1.1.2 速度速度xyzO OP P2 2P P1 1r )(ttr )(trs trv 平均速度平均速度1 速度的定义：速度的定义：瞬时速度瞬时速度rxiy jzk dtrdtrvt 0limrxiyjzk由由222rxyz 大小：大小：coscoscosxyzrrr方向：方向：,xyz r表示表示的三个分量的三个分量2速度的方向：速度的方向：3速度的大小：速度的大小：瞬时速率瞬时速率瞬时速度的大小被称为瞬时速率，简称速率瞬时速度的大小被称为瞬时速率，简称速率 v。xyzO OP P2 2P P1 1r )(ttr )(trs trvvt 0limdtdstst 0lim沿该时刻该位置轨道的切沿该时刻该位置轨道的切线方向并指向前进的一侧。线方向并指向前进的一侧。dtrdtrvt 0limzyxvvvv kvjvivvzyx 4直角坐标系中，速度表达式直角坐标系中，速度表达式kdtdzjdtdyidtdxv 速度的叠加原理速度的叠加原理：质点的速度是各：质点的速度是各分速度分速度的矢量和的矢量和r求法同求法同方向方向 222zyxvvvvv 速率速率瞬时速度瞬时速度 的性质：的性质：v矢量性、瞬时性、相对性矢量性、瞬时性、相对性解：解：22xtytjdtdyidtdxv jti22 xy450v错误做法：错误做法：1 秒钟时的速率秒钟时的速率： 0122211 vtytxtt得得出出dtrddtrdv 又又如如：dtyxd22 例例1：已知运动方程：已知运动方程( )v t求：求： 及及1秒时的速率秒时的速率122tvij1秒时的速度：秒时的速度：22222 2vv1秒时的速率：秒时的速率：0tan145yxvv方向：方向：1.1.3 加速度加速度（acceleration） 1加速度的定义加速度的定义设：设：t 时刻质点的速度为时刻质点的速度为 , t+ t时刻的速度为时刻的速度为 ,)(tv)(ttv vv (t )v (t+t )xr(t+t )r(t) y z P2 P1 0v (t )v (t+t )平均加速度平均加速度tva )t ()tt (vvv 瞬时加速度瞬时加速度 矢量性、瞬时性、相对性矢量性、瞬时性、相对性瞬时加速度瞬时加速度 的性质：的性质：a220limdtrddtvdtvat 2加速度的方向加速度的方向其方向即为其方向即为 当当 t 0时，速度增量时，速度增量 v 的极限方向的极限方向而而 v 的极限方向一般不同于速度的极限方向一般不同于速度 v 的方向，因而的方向，因而加速度的方向与同一时刻速度的方向一般不一致。加速度的方向与同一时刻速度的方向一般不一致。加速度的合成加速度的合成tvat 0lim3直角坐标系中，加速度表达式直角坐标系中，加速度表达式kajaiaazyx kdtzdjdtydidtxd222222 kdtdvjdtdvidtdvazyx 222zyxaaaaa 加速度的大小：加速度的大小：r求法同求法同方向：方向： xxy22 解：解：x=- -4时时，t=2)(4222m/s ttxtdtdxv)m/s(2444232 ttyttdtdyvxyO例例2.2.一质点运动函数为一质点运动函数为求：质点的运动轨迹以及求：质点的运动轨迹以及x =-4时时(t 0)粒子的速粒子的速 度、速率、加速度。度、速率、加速度。2tx 242tty (SI)质点的运动轨迹方程为：质点的运动轨迹方程为：)m/s(2222222 ttxxdtxddtdva)m/s(44412222222 ttyytdtyddtdva加速度：加速度：jia442 jiv244 )m/s(37422 yxvvv速度：速度：速率：速率：xyO解：解：dtdsvdtdlv 船船022221hldtdlldtds cos00vvslv 船船例例3.3.求：船靠岸的速率。求：船靠岸的速率。xhs0vlO 22slh ： 绳与绳与s夹角。夹角。l设：设：t =0时，两坐标系原点重合。时，两坐标系原点重合。t 时刻的运动情况如下时刻的运动情况如下S 相对相对S平动，速度为平动，速度为u在不同的参照系在不同的参照系, , 对同一质点的运动状态进行描述。对同一质点的运动状态进行描述。例：一列车（例：一列车（S 系）系）相对于地面（相对于地面（S系）作匀速直线运动系）作匀速直线运动, 一人在车厢内运动一人在车厢内运动 。在。在 S ,S系分别对其进行描述系分别对其进行描述 1. 1.4 相对运动（相对运动（relative motion） or0rAABrAoxx y ySSu0rrr 两边除两边除 t，取极限，取极限u vv 伽里略速度变换伽里略速度变换牛顿绝对时空观牛顿绝对时空观的必然结果的必然结果 aa 位移变换关系式位移变换关系式车地车地人车人车人地人地rrr 在不同在不同惯性惯性参照系中参照系中,加速度是相同的加速度是相同的. 绝对速度绝对速度相对速度相对速度牵连速度牵连速度对上式求导得对上式求导得1. 以上结论是在绝对时空观下得出的：以上结论是在绝对时空观下得出的：伽利略变换伽利略变换式来源于式来源于位移矢量叠加，位移矢量叠加，这里我们假定这里我们假定“长长度的测量不依赖于参考系度的测量不依赖于参考系”（即空间的绝对性成立）（即空间的绝对性成立），得出位移关系。而要想得到速度关系式，还必须假定得出位移关系。而要想得到速度关系式，还必须假定“时间的测量不依赖于参考系时间的测量不依赖于参考系”, 即假定在即假定在S和和S中分别测中分别测得的时间间隔得的时间间隔dt 与与 dt相等相等 （即时间的绝对性成立）。（即时间的绝对性成立）。从相对论的观点来看，从相对论的观点来看，绝对时空观只在绝对时空观只在u c时才成立。时才成立。2. 运动的合成与分解和伽利略速度变换的运动的合成与分解和伽利略速度变换的区别区别: 注意注意伽利略变换的应用前提：伽利略变换的应用前提：叠加叠加发生在同一个参考系发生在同一个参考系,是矢量性的表现是矢量性的表现变换变换涉及不同参考系涉及不同参考系,只在只在u c时才成立。时才成立。区别区别: :例例1. 雨天一辆客车在水平马路上以雨天一辆客车在水平马路上以20m/s的速度向东开的速度向东开 行，雨滴在空中以行，雨滴在空中以10m/s的速度垂直下落。的速度垂直下落。 求：雨滴相对于车厢的速度的大小与方向。求：雨滴相对于车厢的速度的大小与方向。解：已知解：已知m/s10 v方向向东方向向东m/s20 u方向向下方向向下)m/s(4 .2222 uvvvu v2tan vu 4 .63 所以雨滴相对于车厢的速度大小为所以雨滴相对于车厢的速度大小为22.4 m/s，方向为下偏西方向为下偏西 。4 .63车车对对地地雨雨对对车车雨雨对对地地uvv 车车对对地地雨雨对对地地雨雨对对车车uvv 例：一人骑车向东而行，当速度为例：一人骑车向东而行，当速度为10 m/s时感到有南风，时感到有南风，速度增加到速度增加到15 m/s时，感到有东南风，求风的速度。时，感到有东南风，求风的速度。解：解：xy10 m/s南风南风人地人地风人风人风地风地vvv 风地风地v45jiv510 风地风地2 .1151022 风地风地vm/s 105tan = 2715 m/so 1. 1.5 匀加速运动匀加速运动（uniformly acceleration motion）质点做匀加速运动时质点做匀加速运动时 tvvdtavd00d va d ttavv 0用直角坐标系表示：用直角坐标系表示：tavvxxx 0tavvyyy 0tavvzzz 01. 速度方程：速度方程：a为常矢量为常矢量由定义：由定义：a0v 与与 的方向不一定相同，也不一定共线的方向不一定相同，也不一定共线2. 运动方程：运动方程：dtvrd trrdttavrd00)(020021t atvrr 用直角坐标系表示：用直角坐标系表示：20021tatvxxxx 20021tatvyyyy 20021tatvzzzz 运动学所要求解的两类典型问题：运动学所要求解的两类典型问题：1. 微分法：微分法：2. 积分法：积分法：avr 微微分分微微分分已已知知rva 积积分分积积分分已已知知匀加速直线运动匀加速直线运动 (uniformly accelerated rectilinear motion)1. 为常矢量；为常矢量； a2. 或或 与与 共线。共线。00 v0va二、常用公式二、常用公式若取质点初始位置为原点，以质点运动方向为若取质点初始位置为原点，以质点运动方向为x轴。轴。atvv 02021attvx axvv2202 一、条件：一、条件：典型运动：典型运动：ga 自由落体自由落体取取y 轴向下轴向下, 下落点为原点。下落点为原点。 00000 yvyt，时时，gtv 221gty gyv22 抛体运动抛体运动 (projectilemotion)1. ga 2. 00 v二、常用公式二、常用公式通常取质点初始位置为原点，以水平方向和竖直通常取质点初始位置为原点，以水平方向和竖直向上的方向分别为向上的方向分别为x轴和轴和y轴。轴。初始条件：初始条件：0 xagay 000 yx cos00vvx sin00vvy 已知条件：已知条件：xyO0vxv0yv0 g一、条件：一、条件： cos0vvx gtvvy sin0tvx cos02021singttvy 抛体的轨迹方程：抛体的轨迹方程： 2202cos21tanvgxxy xyOXYvxvxv射高：射高：gvY2sin220 射程：射程：gvX 2sin20 射程：射程：gvX 2sin20 射程与发射角的关系射程与发射角的关系能否击中猴子？能否击中猴子？有空气阻力的情况又如何？有空气阻力的情况又如何？ 302023222ttdtvdtadvtttv 2323 tvttdt)t(dtvdxvdtdxttx26123240303 32614 ttx003,2,xv 例：质点沿直线运动例：质点沿直线运动 时，时，22 ,0att( )x t求：求：解：解：dvadt由由1.1.6 圆周运动圆周运动（circular motion）角速度角速度 Rv , , vRxS0一一. . 圆周运动中的速度圆周运动中的速度当质点沿圆周运动时当质点沿圆周运动时,其速率其速率v 也也叫线速度，以叫线速度，以s 表示质点运动所经表示质点运动所经历的弧长历的弧长,则速率（线速度）为则速率（线速度）为 如果质点在如果质点在 t 时间内时间内所转过的角度为所转过的角度为 单位为弧单位为弧/秒秒.dtdstsvt 0limdtdtt 0limOxR v t ( )v tt() 二二. 圆周运动中的加速度圆周运动中的加速度)(tv)(ttv v tv)( nv)( )(tv由定义由定义tnvvv)()( 选取自然坐标：选取自然坐标： 切向切向t内法向内法向 n原点原点 O tvvntt 0limtvtvnttt 00limlimntaaa tvat 0limtvat 0limO xv t ( )ta1. 切向加速度切向加速度tatv)( 的大小为速率的变化的大小为速率的变化vtvttvvt )()()()(tv)(ttv v tv)( nv)( )(tv00limlimttttvvdvdaRRttdtdt tdvaRdt角加速度角加速度线速度线速度22dddtdtta的方向为的方向为 时，时， 的极限方向的极限方向0 ttv)( 即即 的方向，也就是的方向，也就是切线方向切线方向。)(tv反映速度反映速度大小大小的变化的变化角加速度角加速度2. 法向加速度法向加速度(向心加速度向心加速度)na )()(tvvn )()(lim)(lim00tvttvtvatntn)(tv)(ttv v tv)( nv)( )(tv PBC22 RRvan Rv 方向：方向：0,0 tna的方向为法线方向，指向圆心。的方向为法线方向，指向圆心。)(tvvn 22ntaaa O xv t ( )tanaa曲线运动：不同点曲率中心及曲率半径不同曲线运动：不同点曲率中心及曲率半径不同taana运动轨道运动轨道 曲率圆曲率圆曲率半径曲率半径 2van dtdvat 1tanntaa讨论讨论(1) ， 变速率曲线运动：变速率曲线运动： 方向改变，大小改变。方向改变，大小改变。0 na0 tav(2) ， 匀速率曲线运动：匀速率曲线运动： 方向改变，大小不变。方向改变，大小不变。0 na0 tav(3) ， 变速率直线运动：变速率直线运动： 方向不变，大小改变。方向不变，大小改变。0 na0 tav(4) ， 匀速率直线运动：匀速率直线运动： 方向不变，大小不变。方向不变，大小不变。0 na0 tav用加速度用加速度 判定质点的运动判定质点的运动tnaaa taana运动轨道运动轨道 2van dtdvat 例例.己知己知:一质点按顺时针方向沿半径为一质点按顺时针方向沿半径为R 的圆周运动的圆周运动.其路程与时间关系为其路程与时间关系为2021tbtVS 其中其中V0 , b为常数为常数求求: (1) t 时刻时刻, 质点的加速度质点的加速度? a(2) t = ? 时时, ,此时质点己沿圆周运行了多少圈此时质点己沿圆周运行了多少圈?ba (3) 质点何时开始逆时针方向运动质点何时开始逆时针方向运动?解解:(1) 222dtsddtdvaRvatn5858 baRbtVatn20ntaaa 2402bRbtVa 大小大小: :方向方向: : RbbtVaatn20arctanarctan vmanatao o. .5959时时）（ba 2 bbRbtV 2240bVt0 222240bRbRbtV t 时刻路程时刻路程2021bttVSt bVbVbVbbVV202020002121 bV220 RbVRSNt 4220圈圈数数：(3) 由前面由前面a t = - b 可知可知, 质点作减速率圆周运动质点作减速率圆周运动.当当V 减到减到0值时值时,质点将终止顺时针转质点将终止顺时针转,而开始而开始逆逆时针转时针转.此时刻记为此时刻记为t 00 tbVVbVt0 也正是前求也正是前求 a = b 的时刻的时刻 t .例例1-5（p15）：圆盘半径）：圆盘半径R=0.1m, A做竖直向下匀加速做竖直向下匀加速运动，运动，t=0时，时，A速度速度v0=0.04m/s竖直向下，竖直向下，2s后下落后下落0.2m. 求：盘边上任意一点在求：盘边上任意一点在t=2s时的加速度。时的加速度。 2012yv tat解：建立如图坐标系解：建立如图坐标系AAt=0Oy210.20.04 222a 20.06/am s20.040.03yttA的运动方程为：的运动方程为：0.040.06dyvtdt20.06/tdvam sdt220.0160.0480.036nvattR20.256/nam s2220.263/ntaaam stan4.267ntaa2t 一一. . 描述质点运动的特点。描述质点运动的特点。1 1运动本身具有绝对性，运动描述具有相对性。运动本身具有绝对性，运动描述具有相对性。2 2质点运动具有瞬时性，方向性。质点运动具有瞬时性，方向性。3 3运动具有迭加性运动具有迭加性 如斜抛运动如斜抛运动 水平匀速直线运动水平匀速直线运动 垂直向上匀减速直线运动垂直向上匀减速直线运动本章中心：本章中心：avrr 2 2引入描述质点运动的物理量。引入描述质点运动的物理量。质点运动学是描述质点的位置随时间的变化质点运动学是描述质点的位置随时间的变化