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.奥数举一反三.1.平均数一专题简析：把几个不相等的数,在总数不变的条件下,通过移多补少,使它们完全相等,求得的相等的数就是平均数。如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记： 平均数=总数量总份数 总数量=平均数总份数 总份数=总数量平均数例1 有4箱水果,已知苹果、梨、橘子平均每箱42个,梨、橘子、桃平均每箱36个,苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？分析与解答：11箱苹果1箱梨1箱橘子=423=126个； 21箱桃1箱梨1箱橘子=363=108个 31箱苹果1箱桃=372=74个由12两个等式可知：1箱苹果比1箱桃多126108=18个,再根据等式3就可以算出：1箱桃有74182=28个,1箱苹果有2818=46个。1箱苹果和1箱桃共有多少个：372=74个1箱苹果比1箱桃多多少个：42336=18个1箱苹果有多少个：2818=46个练 习 一1,一次考试,甲、乙、丙三人平均分91分,乙、丙、丁三人平均分89分,甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分？2,甲、乙、丙、丁四人称体重,乙、丙、丁三人共重120千克,甲、丙、丁三人共重126千克,丙、丁二人的平均体重是40千克。求四人的平均体重是多少千克？3,甲、乙、丙三个小组的同学去植树,甲、乙两组平均每组植树18棵,甲、丙两组平均每组植树17棵,乙、丙两组平均每组植树19棵。三个小组各植树多少棵？例2 一次数学测验,全班平均分是91.2分,已知女生有21人,平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？分析：女生每人比全班平均分高9291.2=0.8分,而男生每人比全班平均分低91.290.5=0.7分。全体女生高出全班平均分0.821=16.8分,应补给每个男生0.7分,16.8里包含有24个0.7,即全班有24个男生。练 习 二1,两组学生进行跳绳比赛,平均每人跳152下。甲组有6人,平均每人跳140下,乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？2,有两块棉田,平均每亩产量是92.5千克,已知一块地是5亩,平均每亩产量是101.5千克；另一块田平均每亩产量是85千克。这块田是多少亩？3,把甲级和乙级糖混在一起,平均每千克卖7元,乙知甲级糖有4千克,平均每千克8元；乙级糖有2千克,平均每千克多少元？例3 某3个数的平均数是2,如果把其中一个数改为4,平均数就变成了3。被改的数原来是多少？分析：原来三个数的和是23=6,后来三个数的和是33=9,9比6多出了3,是因为把那个数改成了4。因此,原来的数应该是43=1。练 习 三1,已知九个数的平均数是72,去掉一个数之后,余下的数的平均数是78。去掉的数是多少？2,有五个数,平均数是9。如果把其中的一个数改为1,那么这五个数的平均数为8。这个改动的数原来是多少？3,甲、乙、丙、丁四位同学,在一次考试中四人的平均分是90分。可是,甲在抄分数时,把自己的分错抄成了87分,因此,算得四人的平均分是88分。求甲在这次考试中得了多少分？2.平均数二例1 小明前几次数学测验的平均成绩是84分,这次要考100分,才能把平均成绩提高到86分。问这是他第几次测验？分析与解答：100分比86分多14分,这14分必须填补到前几次的平均分84分中去,使其平均分成为86分。每次填补8684=2分,14里面有7个2,所以,前面已经测验了7次,这是第8次测验。练 习 一1,老师带着几个同学在做花,老师做了21朵,同学平均每人做了5朵。如果师生合起来算,正好平均每人做了7朵。求有多少个同学在做花？2,一位同学在期中测验中,除了数学外,其它几门功课的平均成绩是94分,如果数学算在内,平均每门95分。已知他数学得了100分,问这位同学一共考了多少门功课？3,两组同学进行跳绳比赛,平均每人跳152次。甲组有6人,平均每人跳140次,如果乙组平均每人跳160次,那么,乙组有多少人？例2 两地相距360千米,一艘汽艇顺水行全程需要10小时,已知这条河的水流速度为每小时6千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米？分析与解答：用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。显然,要求往返的平均速度必须先求出逆水行全程时所用的时间。因为36010=36千米是顺水速度,它是汽艇的静水速度与水流速度的和,所以,此汽艇的静水速度是366=30千米。而逆水速度=静水速度水流速度,所以汽艇的逆水速度是306=24千米。逆水行全程时所用时间是36024=15小时,往返的平均速度是36021015=28.8千米。练 习 二1,甲、乙两个码头相距144千米,汽船从乙码头逆水行驶8小时到达甲码头,已知汽船在静水中每小时行驶21千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小时到达乙码头？2,甲船逆水航行300千米,需要15小时,返回原地需要10小时；乙船逆水航行同样的一段水路需要20小时,返回原地需要多少小时？例3 王强从A地到B地,先骑自行车行完全程的一半,每小时行12千米。剩下的步行,每小时走4千米。王强行完全程的平均速度是每小时多少千米？分析与解答：求行完全程的平均速度,应该用全程除以行全程所用的时间。由于题中没有告诉我们A地到B地间的路程,我们可以设全程为24千米也可以设其他数,这样,就可以算出行全程所用的时间是1212124=4小时,再用244就能得到行全程的平均速度是每小时6千米。练 习 三1,小明去爬山,上山时每小时行3千米,原路返回时每小时行5千米。求小明往返的平均速度。2,运动员进行长跑训练,他在前一半路程中每分钟跑150米,后一半路程中每分钟跑100米。求他在整个长跑中的平均速度。3,把一份书稿平均分给甲、乙二人去打,甲每分钟打30个字,乙每分钟打20个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字？3. 长方形、正方形的周长同学们都知道,长方形的周长=长宽2,正方形的周长=边长4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长,还需同学们灵活应用已学知识,掌握转化的思考方法,把复杂的问题转化为标准的图形,以便计算它们的周长。例1 有5张同样大小的纸如下图a重叠着,每张纸都是边长6厘米的正方形,重叠的部分为边长的一半,求重叠后图形的周长。思路与导航 根据题意,我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移如图b,转化成一个大正方形,这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此,所求周长是184=72厘米。练习一1,下图由8个边长都是2厘米的正方形组成,求这个图形的周长。2,下图由1个正方形和2个长方形组成,求这个图形的周长。 50cm3,有6块边长是1厘米的正方形,如例题中所说的这样重叠着,求重叠后图形的周长。例2 一块长方形木板,沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米,截掉的面积为192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？思路导航 把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块如图,其中AB的面积是19244=176平方厘米。把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形,而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。1764=44厘米,现在这块木板的周长是442=88厘米。练习二1,有一个长方形,如果长减少4米,宽减少2米,面积就比原来减少44平方米,且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。2,有两个相同的长方形,长是8厘米,宽是3厘米,如果按下图叠放在一起,这个图形的周长是多少？3,有一块长方形广场,沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带,剩下的部分仍是长方形,且周长为280米。求划去的绿化带的面积是多少平方米？例3 已知下图中,甲是正方形,乙是长方形,整个图形的周长是多少？思路导航 从图中可以看出,整个图形的周长由六条线段围成,其中三条横着,三条竖着。三条横着的线段和是ab2,三条竖着的线段和是b2。所以,整个图形的周长是ab2b2,即2a4b。练习三 1,有一张长40厘米,宽30厘米的硬纸板,在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒,求被剪后硬纸板的周长。2,一个长12厘米,宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图1所示长方形,求所拼长方形的周长。3,求下面图形图2的周长单位：厘米。 图1 图2例4 下图是边长为4厘米的正方形,求正方形中阴影部分的周长。思路导航 我们把阴影部分周长中左边的5条线段全部平移到左边,其和正好是4厘米。再把下面的线段全部平移到下面,其和也正好是4厘米。因此,阴影部分的周长与边长是4厘米的正方形的周长是相等的。练习1,在 里填上、或=。甲的周长 乙的周长 2,下图中的每一小段的长度都相等,求图形的周长。4. 长方形、正方形的面积专题简析：长方形的面积=长宽,正方形的面积=边长边长。掌握并能运用这两个面积公式,就能计算它们的面积。但是,在平时的学习过程中,我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实掌握有关概念,利用割补、平移、旋转等方法,使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题,从而正确解答。例1 已知大正方形比小正方形边长多2厘米,大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？分析 从图中可以看出,大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米,可以分成三部分,其中A和B的面积相等。因此,用40平方厘米减去阴影部分的面积,再除以2就能得到长方形A和B的面积,再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。求到了小正方形的边长,计算大、小正方形的面积就非常简单了。练 习 一1,有一块长方形草地,长20米,宽15米。在它的四周向外筑一条宽2米的小路,求小路的面积。2,正方形的一组对边增加30厘米,另一组对边减少18厘米,结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米？3,把一个长方形的长增加5分米,宽增加8分米后,得到一个面积比原长方形多181平方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米？ 例2 把20分米长的线段分成两段,并且在每一段上作一正方形,已知两个正方形的面积相差40平方分米,大正方形的面积是多少平方分米？ 分析 我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形的面积差40平方分米就是图中的A和B两部分,如图。如果把B移到原来小正方形的上面,不难看出,A和B正好组成一个长方形,此长方形的面积是40平方分米,长20分米,宽是4020=2分米,即大、小两个正方形的边长相差2分米。因此,大正方形的边长就是20+22=11分米,面积是1111=121平方分米练 习 二1,一块正方形,一边划出15米,另一边划出10米搞绿化,剩下的面积比原来减少了1350平方米。这块地原来的面积是多少平方米？2,一个正方形,如果它的边长增加5厘米,那么,面积就比原来增加95平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？3,有一个正方形草坪,沿草坪四周向外修建一米宽的小路,路面面积是80平方米。求草坪的面积。5一般应用题一专题简析：一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起,有的已知条件是间接的,数量关系比较复杂,叙述的方式和顺序也比较多样。因此,一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时,可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时,我们可以从条件出发,逐步推出所求问题综合法；也可以从问题出发,找出必须的两个条件分析法。在实际解时,可以根据题中的已知条件,灵活运用这两种方法。例1 五年级有六个班,每班人数相等。从每班选16人参加少先队活动,剩下的同学相当于原来4个班的人数。原来每班多少人？分析与解答：从每班选16人参加少先队活动,6个班共选166=96人。剩下的同学相当于原来4个班的人数,那么,96人就相当于原来64个班人人数,所以,原来每班962=48人。练 习 一1,五个同学有同样多的存款,若每人拿出16元捐给希望工程后,五位同学剩下的钱正好等于原来3人的存款数。原来每人存款多少？2,把一堆货物平均分给6个小组运,当每个小组都运了68箱时,正好运走了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱？3,老师把一批树苗平均分给四个小队栽,当每队栽了6棵时,发现剩下的树苗正好是原来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少棵？例2 某车间按计划每天应加工50个零件,实际每天加工56个零件。这样,不仅提前3天完成原计划加工零件的任务,而且还多加工了120个零件。这个车间实际加工了多少个零件？分析 如果按原计划的天数加工,加工的零件就会比原计划多563120=288个。为什么会多加工288个呢？是因为每天多加工了5650=6个。因此,原计划加工的天数是2886=48天,实际加工了5048120=1520个零件。练 习 二1,汽车从甲地开往乙地,原计划每小时行40千米,实际每小时多行了10千米,这样比原计划提前2小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米？2,小明骑车上学,原计划每分钟行200米,正好准时到达学校,有一天因下雨,他每分钟只能行120米,结果迟到了5分钟。他家离学校有多远？3,加工一批零件,原计划每天加工80个,正好按期完成任务。由于改进了生产技术,实际每天加工100个,这样,不仅提前4天完成加工任务,而且还多加工了100个。他们实际加工零件多少个？6 一般应用题二专题简析： 较复杂的一般应用题,往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起,但是,再复杂的应用题都可以通过转化向基本的问题靠拢。因此,我们在解答一般应用题时要善于分析,把复杂的问题简单化,从而正确解答。例1 工程队要铺设一段地下排水管道,用长管子铺需要25根,用短管子铺需要35根。已知这两种管子的长相差2米,这段排水管道长多少米？分析 因为每根长管子比每根短管子长2米,25根长管子就比25根短管子长50米。而这50米就相当于3525根短管子的长度。因此,每根短管子的长度就是503525=5米,这段排水管道的长度应是535=175米。练 习 一1,生产一批零件,甲单独生产要用6小时,乙单独生产要用8小时。如果甲每小时比乙多生产10个零件,这批零件一共有多少个？2,一班的小朋友在操场上做游戏,每组6人。玩了一会儿,他们觉得每组人数太少便重新分组,正好每组9人,这样比原来减少了2组。参加游戏的小朋友一共有多少人？3,甲、乙二人同时从A地到B地,甲经过10小时到达了B地,比乙多用了4小时。已知二人的速度差是每小时5千米,求甲、乙二人每小时各行多少千米？例2 甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果,分配时甲、乙都比丙多拿24千克。结帐时,甲和乙都要付给丙24元,每千克苹果多少元？分析 三人拿同样多的钱买苹果应该分得同样多的苹果。2423=16千克,也就是丙少拿16千克苹果,所以得到242=48元。每千克苹果是4816=3元。练 习 二1,甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支,分铅笔时,甲拿了13支,乙拿了7支,因此,甲又给了乙6角钱。每支铅笔多少钱？2,春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包,中午发现小红没有带食品,结果三人平均分了这些面包,而小红分别给了小明和小军各2.2元钱。每个面包多少元？3,六一儿童节时同学们做纸花,小华买来了7张红纸,小英买来了和红纸同样价格的5张黄纸。老师把这些纸平均分给了小华、小英和另外两名同学,结果另外两名同学共付给老师9元钱。老师把9元钱怎样分给小华和小英？例3 甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是5吨,小卡车的载重量是2吨,大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和5升。用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？分析 大汽车一次运5吨,耗油10升,平均运1吨货耗油105=2升；小汽车一次运2吨,耗油5升,平均运1吨货耗油52=2.5升。显然,为耗油量最少应该尽可能用大卡车。1775=35辆2吨,余下的2吨正好用小卡车运。因此,用35辆大汽车和1辆小汽车运耗油量最少。练 习 三1,五名选手在一次数学竞赛中共得404分,每人得分互不相同,并且都是整数。如果最高分是90分,那么得分最少的选手至少得多少分？2,用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张,那么最多可以买1角的邮票多少张？3,某班有60人,其中42人会游泳,46人会骑车,50人会溜冰,55人会打乒乓球。可以肯定至少有多少人四项都会？例4 有一栋居民楼,每家都订2份不同的报纸,该居民楼共订了三种报纸,其中北京日报34份,江海晚报30份,电视报22份。那么订江海晚报和电视报的共有多少家？分析 这栋楼共订报纸34+30+22=86份,因为每家都订2份不同的报纸,所以一共有862=43家。在这43家居民中,有34家订了北京日报,剩下的9家居民一定是订了江海晚报和电视报。练 习 四1,五1班全体同学每人带2个不同的水果去慰问解放军叔叔,全班共带了三种水果,其中苹果40个,梨32个,桔子26个。那么,带梨和桔子的有多少个同学？2,在一次庆祝六一儿童节活动中,一个方队的同学每人手里都拿两种颜色的气球,共有红、黄、绿三种颜色。其中红色有56只,黄色的有60只,绿色的有46只。那么,手拿红、绿两种气球的有多少个同学？3,学校开设了音乐、球类和美术三个兴趣小组,第一小队的同学们每人都参加了其中的两个小组,其中9人参加球类小组,6人参加美术小组,7人参加音乐小组的活动。参加美术和音乐小组活动的有多少个同学？例5 一艘轮船发生漏水事故,立即安装两台抽水机向外抽水,此时已进水800桶。一台抽水机每分钟抽水18桶,另一台每分钟抽水14桶,50分钟把水抽完。每分钟进水多少桶？分析 50分钟内,两台抽水机一共能抽水181450=1600桶。1600桶水中,有800桶是开始抽之前就漏进的,另800桶是50分钟又漏进的,因此,每分钟漏进水80050=16桶。练 习 五1,一个水池能装8吨水,水池里装有一个进水管和一个出水管。两管齐开,20分钟能把一池水放完。已知进水管每分钟往池里进水0.8吨,求出水管每分钟放水多少吨？2,某工地原有水泥120吨。因工程需要,又派5辆卡车往工地送水泥,平均每辆卡车每天送25吨,3天后工地上共有水泥101吨。这个工地平均每天用水泥多少吨？3,一堆货物重96吨,甲队用16小时运完,乙队用24小时运完。如果让两队同时合运,几小时运完？第周一般应用题三专题简析解答一般应用题时,可以按下面的步骤进行：1,弄清题意,找出已知条件和所求问题；2,分析已知条件和所求问题之间的关系,找出解题的途径；3,拟定解答计划,列出算式,算出得数；4,检验解答方法是否合理,结果是否正确,最后写出答案。例1 甲、乙两工人生产同样的零件,原计划每天共生产700个。由于改进技术,甲每天多生产100个,乙的日产量提高了1倍,这样二人一天共生产1020个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？分析 二人实际每天比原计划多生产1020700=320个。这320个零件中,有100个是甲多生产的,那么320100=220个就是乙日产量的1倍,即乙原来的日产量,甲原来每天生产700220=480个。练 习 一1,工厂里有2个锅炉,原来每月烧煤5.6吨。进行技术改造后,1号锅炉每月节约1吨煤,2号锅炉每月烧煤量减少了一半,现在每月共烧煤3.5吨。原来两个锅炉每月各烧煤多少吨？2,甲、乙两人生产同样的零件,原计划每天共生产80个。由于更换了机器,甲每天多做40个,乙每天生产的是原来的4倍,这样二人一天共生产零件300个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？3,甲、乙两队合挖一条水渠,原计划两队每天共挖100米,实际甲队因有人请假,每天比计划少挖15米,而乙队由于增加了人,每天挖的是原计划的2倍,这样两队每天一共挖了150米。求两队原计划每天各挖多少米？例2 把一根竹竿插入水底,竹竿湿了40厘米,然后将竹竿倒转过来插入水底,这时,竹竿湿的部分比它的一半长13厘米。求竹竿的长。分析 因为竹竿先插了一次,湿了40厘米,倒转过来再插一次又湿了40厘米,所以湿了的部分是402=80厘米。这时,湿的部分比它的一半长13厘米,说明竹竿的长度是80132=134厘米。练 习 二1,有一根铁丝,截去一半多10厘米,剩下的部分正好做一个长8厘米,宽6厘米的长方形框架。这根铁丝原来长多少厘米？2,有一根竹竿,两头各截去20厘米,剩下部分的长度比截去的4倍少10厘米。这根竹竿原来长多少厘米？3,两根电线一样长,第一根剪去80米,第二根剪去320米,剩下部分第一根是第二根长度的4倍。两根电线原来各长多少米？例3 将一根电线截成15段。一部分每段长8米,另一部分每段长5米。长8米的总长度比长5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米？分析 设这15段中有X段是8米长的,则有15X段是5米长的。然后根据8米的总长度比5米的总长度多3米列出方程,并进行解答。练 习 三1,某人过一个小山坡共用了20分钟,他上坡每分钟走80米,下坡每分钟走102米。上坡路比下坡路少220米。这段小坡路全长多少米？2,食堂里买来15袋大米和面粉,每袋大米25千克,每袋面粉10千克。已知买回的大米比面粉多165千克,求买回大米、面粉各多少千克？3,老师买回两种笔共16支奖给三好学生,其中铅笔每支0.4元,圆珠笔每支1.2元,买圆珠笔比买铅笔共多用了1.6元。求买这些笔共用去多少钱？例4 甲、乙两名工人加工一批零件,甲先花去2.5小时改装机器,因此前4小时甲比乙少做400个零件。又同时加工4小时后,甲总共加工的零件反而比乙多4200个。甲、乙每小时各加工零件多少个？分析 1在后4小时内,甲一共比乙多加工了4200+400=4600个零件,甲每小时比乙多加工46004=1150个零件。 2在前4小时内,甲实际只加工了42.5=1.5小时,甲1.5小时比乙1.5小时应多做11501.5=1725个零件,因此,1725400=2125个零件就是乙2.5小时的工作量,即乙每小时加工21252.5=850个,甲每小时加工8501150=2000个。练 习 四1,甲、乙二人同时从A地去B地,前3小时,甲因修车1小时,因此乙邻先于甲4千米。又经过3小时,甲反而领先了乙17千米。求二人的速度。2,师徒二人生产同一种零件,徒弟比师傅早2小时开工,当师傅生产了2小时后,发现自己比徒弟少做20个零件。二人又生产了2小时,师傅反而比徒弟多生产了10个。师傅每小时生产多少个零件？3,甲每小时生产12个零件,乙每小时生产8个零件。一次,二人同时生产同样多的零件,结果甲比乙提前5小时完成了任务。问：甲一共生产了多少个零件？例5 加工一批零件,单给甲加工需10小时,单给乙加工需8小时。已知甲每小时比乙少做3个零件,这批零件一共有多少个？分析 因为甲每小时比乙少做3个零件,8小时就比乙少做38=24个零件,所以,24个零件就是甲108小时的工作量。甲每小时加工24108=12个,这批零件一共有1210=120个。练 习 五1,快、慢两车同时从甲地开往乙地,行完全程快车只用了4小时,而慢车用了6.5小时。已知快车每小时比慢车多行25千米。甲、乙两地相距多少千米？2,妈妈去买水果,她所带的钱正好能买18千克苹果或25千克的梨。已知每千克梨比每千克苹果便宜0.7元,妈妈一共带了多少钱？3,师徒二人加工零件,已知师傅6小时加工的零件和徒弟8小时加工的零件相等。如果师傅每小时比徒弟多加工3个零件,那么,徒弟每小时加工多少个零件？第10周 数 阵专题简析：填幻方是同学们比较熟悉的一种数学游戏,由幻方演变出来的数阵问题,也是一类比较常见的填数问题。这里,和同学们讨论一些数阵的填法。解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法,二是试验法。待定数法就是先用字母或符号表示满足条件的数,通过分析、计算来确定这些字母或符号应具备的条件,为解答数阵问题提供方向。试验法就是根据题中所给条件选准突破口,确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来,再由填数的可能情况,确定应填的数。 例题1 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里,如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示,根据题意可知：ABCDE=35,AEBCED=212=42。把两式相比较可知,E=4235=7,即中间填7。然后再根据59=68便可把五个数填进方格,如图b。练 习 一 1,把110各数填入六一的10个空格里,使在同一直线上的各数的和都是12。2,把19各数填入七一的9个空格里,使在同一直线上的各数的和都是13。3,将17七个自然数分别填入图中的圆圈里,使每条线上三个数的和相等。 例题2 将110这十个数填入下图小圆中,使每个大圆上六个数的和是30。分析 设中间两个圆中的数为a、b,则两个大圆的总和是12310ab=302,即55ab=60,ab=5。在110这十个数中14=5,23=5。当a和b是1和4时,每个大圆上另外四个数分别是2,6,8,9和3,5,7,10；当a和b是2和3时,每个大圆上另外四个数分别为1,5,9,10和4,6,7,8。练习二 1,把18八个数分别填入下图的内,使每个大圆上五个内数的和相等。2,把110这十个数分别填入下图的内,使每个四边形顶点的内四个数的和都相等,且和最大。3,将18八个数填入下图方格里,使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。例题3 将16这六个数分别填入下图的圆中,使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。分析 设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和时,a、b、c都被计算了两次,根据题意可知：123456abc除以3没有余数。123456=21,213=7没有余数,那么abc的和除以3也应该没有余数。在16六个数中,只有456的和最大,且除以3没有余数,因此a、b、c分别为4、5、6。1234564563=12,所以有下面的填法：练习三1,将16六个数分别填入下图的内,使每边上的三个内数的和相等。2,将19九个数分别填入下图内,使每边上四个内数的和都是17。3,将18八个数分别填入下图的内,使每条安上三个数的和相等。例题4 将17分别填入下图的7个内,使每条线段上三个内数的和相等。分析 首先要确定中心圆内的数,设中心内的数是a,那么,三条线段上的总和是12345672a=282a,由于三条线段上的和相等,所以282a除以3应该没有余数。由于283=91,那么2a除以3应该余2,因此,a可以为1、4或7。当a=1时,282131=9,即每条线段上其他两数的和是9,因此,有这样的填法。练 习 四1,将19填入下图的中,使横、竖行五个数相加的和都等于25。2,将111这十一个数分别填进下图的里,使每条线上3个内的数的和相等。3,将18这八个数分别填入下图内,使外圆四个数的和,内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。例题5 如下图四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数,它们的和是20,而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少？分析 设每个小三角形三个顶点处内数的和为X。因为中间的小三角形顶点处的数在求和时都用了三次,所以,四个小三角形顶点处数的总和是4X=202X,解方程得X=10。由此可知,每个小三角形顶点处的三个质数的和是10,这三个质数只能是2、3、5。因此这6个质数的积是223355=900。如图b。练习五1,将九个不同的自然数填入下面方格中,使每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等。2,将19九个自然数分别填入下图的九个小三角形中,使靠近大三角形每条边上五个数的和相等,并且尽可能大。这五个数之和最大是多少？3,将19九个数分别填入下图内,使外三角形边上内数之和等于里面三角形边上内数之和。第11周 周期问题专题简析：周期问题是指事物在运动变化的发展过程中,某些特征循环往复出现,其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上,不仅有专门研究周期现象的分支,而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象,并充分加以利用,把要求的问题和某一周期的等式相对应,就能找到解题关键。例题1 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红,再4个黄,再3个绿,再2个黑,再1个白,然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白如此涂下去,到2001个小球该涂什么颜色？分析 根据题意可知,小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白,即54321=15个球为一个周期,不断循环。因为200115=1336,也就是经过133个周期还余6个,每个周期中第6个是黄的,所以第2001个球涂黄色。练习一1,跑道上的彩旗按三面红、两面绿、一面黄的规律插下去,第50面该插什么颜色？2,有一串珠子,按4个红的,3个白的,2个黑的顺序重复排列,第160个是什么颜色？例题2 有47盏灯,按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？分析 1我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组,479=5组2盏,余下的两盏是第6组的前两盏灯,是红灯,所以最后一盏灯是红灯；2由于479=5组2盏,所以红灯共有252=12盏,占总数的；蓝灯共有45=20盏,占总数的；黄灯共有35=15盏,占总数的。练习二 1,有68面彩旗,按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着,这些彩旗中,红旗占黄旗的几分之几？2,黑珠和白珠共2000颗,按规律排列着：,第2000颗珠子是什么颜色的？其中,黑珠共有多少颗？3,在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始,按先两个女生,再一个男生的规律站立着。这些同学中共有多少个女生？例题3 20XX10月1日是星期一,那么,20XX1月1日是星期几？分析 一个星期是7天,因此7天为一个周期。10月1日是星期一,是第一个周期的第一天,再过7天即10月8日也是星期一。计算天数时为了方便,我们采用算尾不算头的方法,例如10月8日就用817=1,没有余数说明8号仍是星期一。题中说从20XX10月1日到20XX1月1日,要经过92天,927=131,余1天就是从星期一往后数一天,即星期二。练习三1,20XX1月1日是星期二,20XX的六月一日是星期几？2,如果今天是星期五,再过80天是星期几？3,以今天为标准,算一算今年自己的生日是星期几？例题4 将奇数如下图排列,各列分别用A、B、C、D、E为代表,问：2001所在的列以哪个字母为代表？A B C D E 1 3 5 715 13 11 9 17 19 21 2331 29 27 25分析 这列数按每8个数一组有规律排列着。2001是这一列数中的第1001个数,10018=1251,即2001是这列数中第126组的第一个数,所以它所在的那一列是以字母B为代表的。练习四 1,将偶数2、4、6、8、按下图依次排列,2014出现在哪一列？A B C D E8 6 4 2 10 12 14 1624 22 20 18 26 28 30 322,把自然数按下列规律排列,865排在哪一列？A B C D1 2 3 6 5 47 8 9 12 11 103,上表中,将每列上下两个字组成一组,如第一组为小热,第二组为学爱。求第460组是什么？例题5 8888100个87,当商是整数时,余数是几？分析 从竖式中可以看出,被除数除以7,每次除得的余数以1、4、6、5、2、0不断重复出现。我们可以用100除以6,观察余数就知道所求问题了。1006=164余数是4说明当商是整数时,余数是1、4、6、5、2、0中的第4个数,即5。练习五1,4444100个43当商是整数时,余数是几？2,4444100个46当商是整数时,余数是几？3,11111000个17当商是整数时,余数是几？第12周 盈亏问题专题简析：盈亏问题又叫盈不足问题,是指把一定数量的物品平均分给固定的对象,如果按某种标准分,则分配后会有剩余盈；按另一种标准分,分配后又会有不足亏,求物品的数量和分配对象的数量。例如：把一代饼干分给小班的小朋友,每人分3块,多12块；如果每人分4块,少8块。小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况,就是我们通常说的标准的盈亏问题。盈亏问题的基本数量关系是：盈亏两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题,它们被分为四类：1,两盈：两次分配都有多余；2,两不足：两次分配都不够；3,盈适足：一次分配有余,一次分配够分；4,不足适足：一次分配不够,一次分配正好。一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住：1,两亏问题的数量关系是：两次亏数的差两次分得的差=参与分配对象总数；2,两盈问题的数量关系是：两次盈数的差两次分得的差=参与分配对象总数；3,一盈一亏问题的数量关系是：盈与亏的和两次分得的差=参与分配对象总数。例1 某校乒乓球队有若干名学生,如果少一名女生,增加一名男生,则男生为总数的一半；如果少一名男生,增加一名女生,则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名学生？分析 1由少一个女生,增加一个男生,则男生为总人数的一半可知：女生比男生多2人； 2少一个男生,增加一个女生后,女生就比男生多22=4人,这时男生为女生人数的一半,即现在女生有42=8人。原来女生有81=7人,男生有72=5人,共有75=12人。练 习 一1,学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒,如果白粉笔减少10盒,彩色粉笔增加8盒,两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔,白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。学校买来两种粉笔各多少盒？2,操场上有两堆货物,如果甲堆增加80吨,乙堆增加25吨,则两堆货物一样重；苦甲、乙两堆各运走5吨,剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。两堆货物一共有多少吨？3,五1班的优秀学生中,苦增加2名男生,减少1名女生,则男、女生人数同样多；苦减少1名男生,增加1名女生,则男生是女生的一半。这些优秀学生中男、女生各多少人？例2 幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给小朋友,则少4个；如果每个小朋友只发给4个,则老师自己也能留下4个。有多少个小朋友？共有多少个苹果？分析 如果平均分给小朋友,则少4个,说明小朋友人数大于4；如果每个小朋友只发给4个,则教师也能留下4个,说明每人少拿若干个,就少拿44=8个苹果。因为小朋友人数大于4,所以,一定是每人少拿1个,有81=8个小朋友,有844=36个苹果。练 习 二1,给小朋友分梨,如果每人分4个,则多9个；如果每人分5个,则少6个。有多少个小朋友？有多少个梨？2,老把一些铅笔奖给三好学生。每人5支则多4支,每人7支则少4支。老师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？3,有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐6人；如果减少一条船,正好每条船上坐9人。这个班一共有多少个同学？例3 幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的学生每人5个余10个；如果分给小班的学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3人,这筐苹果有多少个？分析 如果大班减少3人,则大班和小班的人数同样多。这样,大班每人5个就多余3510=25个。由于两班人数相等,小班每人多分3个就要多分252个苹果,用25285就能得到小班同学的人数是9人,再用982就求出了这筐苹果有多少个。练 习 三1,一些学生搬一批砖,每人搬4块,其中5人要搬两次；如果每人搬5块,就有两人没有砖可搬。这些学生有多少人？这批砖有多少块？2,老师给幼儿园小朋友分糖,每人3块还多10块；如果减少2个小朋友再分,每人4块还多7块。原来有多少个小朋友？有多少块糖？3,筑路队计划每天筑路720米,正好按期筑完。实际每天多筑80米,这样,比原计划提前3天完成了筑路任务。要筑的路有多长？例4 幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友,平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友,平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友,平均每人分得多少块？分析 这箱饼干分给小班和中班的小朋友,平均每人分得6块,如果只分给中班的小朋友,平均每人可多分4块。说明中班的人数是小班人数的64=1.5倍。因此,这箱饼干分给小班的小朋友,每位小朋友可多分到61.5=9块,一共可分到69=15块饼干。练 习 四1,老师把一批书借给甲组同学,平均每人借4本。如果只借给甲组的女同学,每人可借6本。如果只借给甲组的男生,平均每人借到几本？2,甲、乙两组同学做红花,每人做8朵,正好送给五年级每个同学一朵。如果把这些红花让甲组同学单独做,每人要多做4朵。如果把这些红花让乙组同学单独做,每人要做几朵？3,老师把一袋糖分给小朋友。如果只分给小班,每人可得12块；如果只分给中班和小班,每人只能分到4块。如果这袋糖只分给中班,每人可分到几块？例5 全班同学去划船,如果减少一条船,每条船正好坐9个同学；如果增加一条船,每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？分析 根据题意可知：每船坐9人,就能减少一条船,也就是少9个同学；每船坐6人,就要增加一条船,也就是多出6个同学。因此,每船坐9人比每船坐6人可多坐96=15人,15里面包含5个96,说明有5条船。知道了有5条船,就可以求全班人数：951=36人。练 习 五1,老师把一篮苹果分给小班的同学,如果减少一个同学,每个同学正好分得5个；如果增加一个同学,正好每人分得4个。这篮苹果一共有多少个？2,五年级同学去划船,如果增加一只船,正好每只船上坐7人；如果减少一只船,正好每只船上价8人。五年级共有多少人？3,一个旅游团去旅馆住宿,6人一间,多2个房间；若4人一间又少2个房间。旅游团共有多少人？第13周 长方体和正方体一专题简析在数学竞赛中,有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1,必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2,依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3,求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决。例题1 一个零件形状大小如下图：算一算,它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？单位：厘米分析 1可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积,左边的长方体体积是1042=80立方厘米,右边的长方体的体积是10622=80立方厘米,整个零件的体积是802=160立方厘米；2求这个零件的表面积,看起来比较复杂,其实,朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此,此零件的表面积就是106104222=232平方厘米。想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习一 1,一个长5厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体,被切去一块后如图,剩下部分的表面积和体积各是多少？2,把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段,表面积增加了2平方分米,求这根木料原来的体积。3,有一个长8厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体木块,在它的左右两角各切掉一个正方体如图,求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？例题2 有一个长方体形状的零件,中间挖去一个正方体的孔如图,你能算出它的体积和表面积吗？单位：厘米分析 1先求出长方体的体积,856=240立方厘米,由于挖去了一个孔,所以体积减少了222=8立方厘米,这个零件的体积是2408=232立方厘米；2长方体完整的表面积是8586652=236平方厘米,但由于挖去了一个孔,它的表面积减少了一个22平方厘米的面,同时又增加了凹进去的5个22平方厘米的面,因此,这个零件的表面积是236224=252平方厘米。练习二1,有一个形状如下图的零件,求它的体积和表面积。单位：厘米。2,有一个棱长是4厘米的正方体,从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后,剩下物体的体积和表面积各是多少？3,如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上如图,那么得到的物体的体积和表面积各是多少？例题3 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体,拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？分析 一个正方体和一个长方体拼成新的长方体,其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积,每块正方形的面积是504=12.5平方厘米。正方体有6个这样的面,所以,原来正方体的表面积是12.56=75平方厘米。练习三1,把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体,这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米,而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米,那么它的体积是多少立方厘米？2,一根长80厘米,宽和高都是12厘米的长方体钢材,从钢材的一端锯下一个最大的正方体后,它的表面积减少了多少平方厘米？3,把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体,它们的表面积最多会减少多少平方分米？例题4 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米,求大长方体的表面积。分析 要求大长方体的表面积,必须知道它的长、宽和高。我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高,显然,a=4h,即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a,砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知,a=12,b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大长方体的长是122=24厘米,宽12厘米,高是83=11厘米,表面积就不难求了。练习四1,一块小正方体的表面积是6平方厘米,那么,由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？2,一个长方体的体积是385立方厘米,且长、宽、高都是质数,求这个长方体的表面积。3,有24个正方体,每个正方体的体积都是1立方厘米,用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？用图画出来。例题5 一个长方体,前面和上面的面积之和是209平方厘米,这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？分析 长方体的前面和上面的面积是长宽长高=长宽高,由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数,所以有209=1119=11172,即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。练习五1,有一个长方体,它的前面和上面的面积和是88平方厘米,且长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少？2,一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数,体积是196立方厘米,求它的表面积。3,一个长方体和一个正方体的棱长之长相等,已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、25分米,求正方体体积。第十四周 长方体和正方体二专题简析在长方体、正方体问题中,我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中,物体在水中会占领一部分的体积。解答上述问题,必须掌握这样几点：1,将一个物体变形为另一种形状的物体不计损耗,体积不变；2,两个物体熔化成一个物体后,新物体的体积是原来物体体积的和；3,物体浸入水中,排开的水的体积等于物体的体积。例题1 有两个无盖的长方体水箱,甲水箱里有水,乙水箱空着。从里面量,甲水箱长40厘米,宽32厘米,水面高20厘米；乙水箱长30厘米,宽24厘米,深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱,使两箱水面高度一样,现在水面高多少厘米？分析 由于后来两个水箱里的水面的高度一样,我们可以这样思考：把两个水箱并靠在一起,水的体积就是甲水箱的底面积+乙水箱的底面水面的高度。这样,我们只要先求出原来甲水箱中的体积：403220=25600立方厘米,再除以两只水箱的底面积和：40323024=2000平方厘米,就能得到后来水面的高度。练习一1,有两个水池,甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米,乙水池空着,它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池,使两个水池中水面同样高。问水面高多少？2,有一个长方体水箱,从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米,箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后,铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？3,一段钢材长15分米,横截面面积是1.2平方分米。如果把它煅烧成一横截面面积是0.1平方分米的钢筋,
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