巧用勾股定理求最短路径的长

专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金:求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图 形，将分散的条件通过几何变换（平移或轴对称）进行集中，然后借助勾股定理 解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程 转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程 （距离）匚讨，匚；用计算法求平面中最短问题1 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从 A走到B，为了避免拐角步路 （假C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了设2步为1 m），却踩伤了花草.2. 小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往 从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武 汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站 B.设AB = 80 km，BC =20 km，/ ABC = 120.请你帮助小明解决以下问题：求A，C之间的距离.（参考数据.214.6）（2）若客车的平均速度是60 km/h,市内的公共汽车的平均速度为 40 km/h， “武黄城际列车”的平均速度为 180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运 站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由.（不计候车时间）wz 用平移法求平面中最短冋题3. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm,10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点 去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从 A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬（）A. 13 cm B. 40 cm=CD = 3, BC = 4, DE4. 如图，已知/ B =EF= 2,贝U AF的长是_用对称法求平面中最短问题5. 如图，在正方形 ABCD中，AB边上有一点E，AE = 3, EB = 1,在AC 上有一点P,使EP+ BP最短，求EP+ BP的最短长度.6. 高速公路的同一侧有 A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为 AA= 2 km, BB= 4 km, A 砾8 km.要在高速公路上 A、B 之间建一个出口 P,使A、B两城镇到P的距离之和最小.求这个最短距离.（第6题）敲養其用展开法求立体图形中最短问题类型1圆柱中的最短问题(第7题)27. 如图，已知圆柱体底面圆的半径为 n高为2, AB , CD分别是两底面的直径若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到 C点，则小虫爬行的最短路 线的长度是(结果保留根号).类型2圆锥中的最短问题8. 已知：如图，观察图形回答下面的问题： 此图形的名称为.(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上,则它的侧面展开图是一个 .(3) 如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的 食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在 侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4) SA的长为10,侧面展开图的圆心角为90请你求出蜗牛爬行的最短路程.类型3正方体中的最短问题9. 如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只 蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角 Ci处.(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.c类型4长方体中的最短问题10. 如图，长方体盒子的长、宽、高分别是 12 cm, 8 cm, 30 cm,在AB的 中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从 E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行 的最短路程.专训2巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律.利用勾股 定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角； 在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x,将此直角 三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x ；进行相关计算解决问题.- 巧用全等法求折叠中线段的长1. （中考 泰安）如图是一直角三角形纸片，/ A = 30 BC= 4 cm,将其 折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD，如图，再将图沿 DE折 叠，使点A落在DC的延长线上的点A处，如图，贝朋痕DE的长为（）交AD于E，ADC. 22 cm D. 3 cm沁蠢巧用对称法求折叠中图形的面积BC2 .如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C处,邊隸巧用方程思想求折叠中线段的长3.仲考 东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点, 将厶ADE沿AE对折至 AFE，延长EF交BC于点G,连接AG.（1）求证： ABG AFG ;求BG的长.逼能巧用折叠探究线段之间的数量关系4如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交 AD于点E，交BC于点F，连接CE.(1) 求证：AE = AF = CE = CF;(2) 设AE = a, ED = b，DC = c,请写出一个 a, b，c三者之间的数量关系 式.专训3.利用勾股定理解题的 6种常见题型名师点金：勾股定理建立起了 “数”与“形”的完美结合 ，应用勾股定理可以解与直 角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为，n(n为正整 数)的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等， 在解决过程中往往利用勾股定理列方程(组)，有时需要通过作辅助线来构造直 角三角形，化斜为直来解决问题.遴塑澧利用勾股定理求线段长1 如图所示，在等腰直角三角形 ABC中，/ ABC = 90点D为AC边的 中点，过D点作DE丄DF，交AB于E,交BC于F,若AE = 4，FC= 3,求EF 的长.癒璽逻利用勾股定理作长为诵的线段2已知线段a,作长为.乜a的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边 作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为.13a.毀觀 利用勾股定理证明线段相等3. 如图，在四边形 ABFC 中，/ ABC = 90 CD丄AD , AD2 = 2AB2 CD2.求证：AB = BC.毀矍靈利用勾股定理解非直角三角形问题10求BC的长.歸签 利用勾股定理解实际生活中的应用5.在某段限速公路 BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高 行驶速度不能超过60 km/h 即50 m/s j,并在离该公路100 m处设置了一个监测 点A.在如图的平面直角坐标系中，点 A位于y轴上，测速路段BC在x轴上， 点B在点A的北偏西60方向上，点C在点A的北偏东45方向上.另外一条公 路在y轴上，AO为其中的一段.求点B和点C的坐标；(2) 辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s,通过计算，判断该:浇谨遂利用勾股定理探究动点问题6.如图，在 RtAABC 中，/ ACB = 90 AB = 5 cm, AC = 3 cm,动点 P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.求BC边的长；(2) 当厶ABP为直角三角形时，借助图求t的值；(3) 当厶ABP为等腰三角形时，借助图求t的值.专训11. 4(第 6 题)答案(第 2 题)2. 解：(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.vZ ABC = 120, / BCE = 30在 RtACBE 中，v BC = 20 km,二 BE= 10 km.由勾股定理可得CE= 103 km.在 RtACE 中，v AC2 = AE2 + CE2= (AB + BE)2 + CE2= 8 100+ 300= 8 AC = 20 .2120X 4.6= 92(km).(2)选择乘“武黄城际列车”.理由如下：乘客车需时间t1=1*h),乘“武黄城际列车”需时间t2 180+ 40= 195(h).11 一131(10,选择乘“武黄城际列车”.3. C点拨：将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为壁虎所爬的最 短路线因为 BC= 30X 3+ 10X 3= 120(cm), AC = 50 cm,在 RtAABC 中，根 据勾股定理，得 AB2= AC2 + BC2= 16 900,所以AB = 130 cm.所以壁虎至少爬行 130 cm.4. 105. 解：如图，连接BD交AC于0,连接ED与AC交于点P，连接BP. 易知BD丄AC，且 BO= OD，二 BP= PD,贝U BP+ EP= ED,此时最短.TAE = 3, AD = 1 + 3 = 4,由勾股定理得ED2 = AE2 + AD2= 32 + 42 = 25 = 52, ED= BP+ EP = 5.6. 解：作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则点P即为 所建的出口 .此时A、B两城镇到出口 P的距离之和最小，最短距离为 AC的 长.作 AD 丄 BB 于点 D，在 RtA ADC 中，AD = AB = 8 km, DC = 6 km；. AC = AD2+ DC2= 10 km,.这个最短距离为 10 km.M Af P、B N乜（第6题）nC7. 2 ,2点拨：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形 AA D,连21接AC ,如图线段AC就是小虫爬行的最短路线根据题意得 AB二nx 2nX-5n2=2.在 RtAABC 中，由勾股定理，得 AC2= AB2+ BC2 = 22 + 22= 8,二 AC = , 8二 2 2.8解：圆锥扇形(3) 把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线.2 2 2在RtAASC中，由勾股定理，得 AC = 10 + 5 = 125,二 AC = 125= 55.故蜗牛爬行的最短路程为9. 解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC1和AC1.(2)如图，AC1= 42+( 4 + 4) 2 = 4 5.AC1= . (4 + 4) 2+ 42 = 4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是 4 ,5.10. 解：分为三种情况：1如图，连接 EC，在 RtAEBC 中，EB = 12+ 8 = 20(cm)，BC = ?X 30=15(cm).(第10题) 由勾股定理，得 EC=. 202 + 152= 25(cm). (2)如图，连接EC.根据勾股定理同理可求CE= 673 cm25 cm(3)如图，连接EC.根据勾股定理同理可求 CE=Jl22+( 30+ 8+ 15) 2= 2 953(cm)25 cm.综上可知，小虫爬行的最短路程是 25 cm专训21. A2. 解：由题意易知AD / BC,aZ 2=Z 3. BC。与厶BCD关于直线BD对称，/ 1 = / 2.A/ 1 = / 3. a EB= ED.设 EB= x,贝U ED = x, AE = AD ED = 8-x.在 RtABE 中，AB2 + AE2= BE2 ,a 42 + (8 x)2 = x2. a x= 5.1 1a DE = 5. a Sa bed = qDEAB = qX 5X 4= 10.3. (1)证明：在正方形 ABCD 中，AD = AB , / D = / B = 90将 ADE沿AE对折至 AFE,a AD = AF , DE = EF,/ D=/AFE = 90.a AB = AF，/ B = /AFG = 90又 AG = AG , a RtA ABG也 RtAAFG(HL).(2)解： ABG AFG , a BG= FG.设 BG= FG= x,贝U GC = 6 x, E 为 CD 的中点，a CE= DE= EF= 3,a EG = 3 + x.a在 RtACEG 中，32 + (6 x)2= (3 + x)2，解得 x= 2.a BG = 2.4. (1)证明：由题意知，AF = CF, AE = CE, / AFE = / CFE，又四边形 ABCD是长方形，故 AD / BC,a / AEF=/ CFE. a/ AFE = / AEF.a AE = AF = EC= CF.解：由题意知，AE = EC = a, ED = b, DC = c,由/ D = 90知，ED2 + DC2 = CE2，即 b2+ c2= a2.专训3（第1题）1. 解：如图，连接BD.等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点， BD丄AC, BD平分/ ABC（等腰三角形三线合一），二/ ABD =/ CBD = 45又易知/ C = 45/ ABD = / CBD = / C.a BD = CD.DE丄DF，BD丄AC，/ FDC+Z BDF = / EDB+Z BDF. /-Z FDC=Z EDB.在厶EDB与厶FDC中，了Z EBD = Z C，BD = CD，EDBFDC（ASA），Z EDB = Z FDC，/ BE= FC = 3. / AB = 7，贝U BC = 7./ BF = 4.在 RtAEBF 中，EF2= BE2 + BF2= 32 + 42= 25，/ EF = 5.2. 2a； 3a3. 证明： CD丄AD ,./Z ADC = 90即厶ADC是直角三角形. 由勾股定理，得AD2+ CD2= AC2.又 AD2 = 2AB2 CD2，/ AD2 + CD2= 2AB2./ AC2= 2AB2. Z ABC = 90, ABC是直角三角形.由勾股定理，得 AB2+ BC2=AC2，/ AB2+ BC2= 2AB2，故 BC2 = AB2,即卩 AB = BC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明， 应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：找出图中证明结论所要用到的 直角三角形；根据勾股定理写出三边长的平方关系；联系已知，等量代 换，求之即可.4. 解：如图，过点A作AD丄BC于点D./Z ADC = 90.又/ C = 60,/Z CAD = 90Z C = 30A1-CD = qAC = 5.在 RtAACD 中，AD = AC2-CD2= 102- 52 = 5 3.在 RtAABD 中，BD = AB2- AD2 = 11. BC= BD + CD = 11 + 5 = 16.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题.5. 解：在RtAAOB中，1 vZ BAO = 60ABO = 30 OA = qAB.T OA = 100 m，. AB = 200 m.由勾股定理，得 OB = AB2-OA2=2002- 1002= 100 ,3(m).在 RtAAOC 中，vZ CAO = 45 Z OCA = Z OAC = 45. OC = OA = 100 m.A B( 1003，0)，C(100，0).(2)v BC= BO+ CO= (100 .3+ 100)m，100 辛+100 偲罟，这辆汽车超速了.2 2 2 2 26. 解：(1)在 RtAABC 中，BC = AB AC = 5 3 = 16， BC = 4 cm.(2)由题意知BP = t cm， 如图，当Z APB为直角时，点P与点C重合，BP= BC = 4 cm,即卩t=4；第6题 如图，当Z BAP 为直角时，BP= t cm，CP= (t 4)cm，AC = 3 cm， 在 RtAACP 中，AP2 = 32 + (t 4)2，在 RtABAP 中，AB2+ AP2= BP2，即 52+ 32+ (t 4)2 = t2，解得 t =容.25故当 ABP为直角三角形时，t = 4或t =才(3)如图，当BP= AB时，t = 5;如图，当AB第6题3 cm,258 . 如图，当 BP = AP 时，AP= BP= t cm, CP= |t 4|cm, AC在 RtAACP 中，AP2 = AC2+ CP2,所以 t2 = 32 + (t 4)2，解得 t综上所述：当 ABP为等腰三角形时,25t = 5 或 t= 8 或 t=8.