工学高等数学PPT课件

回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(一、问题的提出曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 第1页/共137页面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间）把区间,ba分成分成n个长度为个长度为ix 的小区间，的小区间，相应的曲边梯形被分为相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形， 第个小窄曲边梯形， 第i 小窄曲边梯形的面积为小窄曲边梯形的面积为iA ，则，则 niiAA1.（2）计算）计算iA 的近似值的近似值iiixfA )( iix （3） 求和，得A的近似值.)(1iinixfA 第2页/共137页ab xyo)(xfy （4） 求极限，得A的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素第3页/共137页当所求量当所求量U符合下列条件：符合下列条件：（1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对于区间对于区间 ba,具有可加性，就是说，具有可加性，就是说，如果把区间如果把区间 ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则U相相应地分成许多部分量，而应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之等于所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；就可以考虑用定积分来表达这个量就可以考虑用定积分来表达这个量U第4页/共137页元素法的一般步骤：1）根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间,ba；2）设设想想把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，取取其其中中任任一一小小区区间间并并记记为为,dxxx ，求求出出相相应应于于这这小小区区间间的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示为为,ba上上的的一一个个连连续续函函数数在在x处处的的值值)(xf与与dx的的乘乘积积，就就把把dxxf)(称称为为量量U的的元元素素且且记记作作dU，即即dxxfdU)( ；第5页/共137页3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U的的积积分分表表达达式式.这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等第6页/共137页元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）（注意微元法的本质）二、小结第7页/共137页思考题思考题微元法的实质是什么？第8页/共137页思考题解答思考题解答微元法的实质仍是“和式”的极限.第9页/共137页第10页/共137页xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12一、直角坐标系情形xxxx x 第11页/共137页例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素dxxxdA)(2 选 为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 第12页/共137页例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选 为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 第13页/共137页于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选 吗？x第14页/共137页例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选 为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy第15页/共137页如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有连续导数，具有连续导数，)(ty 连续连续.第16页/共137页例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 第17页/共137页 设由曲线设由曲线)( r及射线及射线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( xo d d 面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积.)(212 dA 二、极坐标系情形)( r第18页/共137页例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积.解解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A第19页/共137页例例 6 6 求心形线求心形线)cos1( ar所围平面图形的所围平面图形的面积面积)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0第20页/共137页求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结第21页/共137页思考题思考题 设曲线设曲线)(xfy 过原点及点过原点及点)3 , 2(，且，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与与x轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积是另一条平围成的面积是另一条平行线与行线与y轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积的两围成的面积的两倍，求曲线方程倍，求曲线方程.第22页/共137页思考题解答思考题解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对 求导x第23页/共137页yxyxf 22)(3yyx 2积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 , 2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为.223xy 第24页/共137页一、一、 填空题：填空题：1 1、 由曲线由曲线eyeyx ,及及y轴所围成平面区域的面积轴所围成平面区域的面积是是_ . .2 2、 由曲线由曲线23xy 及直线及直线xy2 所围成平面区域的所围成平面区域的面积是面积是_ ._ .3 3、 由曲线由曲线 1,1,1,12 xxyxxy所围成所围成平面区域的面积是平面区域的面积是_ ._ .4 4、 计算计算xy22 与与4 xy所围的区域面积时，选用所围的区域面积时，选用_作变量较为简捷作变量较为简捷 . .5 5、 由曲线由曲线xxeyey ,与直线与直线1 x所围成平面区所围成平面区域的面积是域的面积是_ _ . .练练 习习 题题第25页/共137页6 6 曲曲线线2xy 与与它它两两条条相相互互垂垂直直的的切切线线所所围围成成平平面面图图 形形的的面面积积S，其其中中一一条条切切线线与与曲曲线线相相切切于于点点 ),(2aaA，0 a，则则当当 a_ _ _时时，面面积积S最最小小 . .二、二、 求由下列各曲线所围成的图形的面积：求由下列各曲线所围成的图形的面积：1 1、xy1 与直线与直线xy 及及2 x；2 2、 y2x与直线与直线xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、摆线、摆线)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x轴；轴；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡尔叶形线、笛卡尔叶形线axyyx333 . .第26页/共137页三、三、 求抛物线求抛物线342 xxy及其在点及其在点)3,0( 和和)0,3(处的切线所围成的图形的面积处的切线所围成的图形的面积 . .四、四、 求位于曲线求位于曲线xey 下方，该曲线过原点的切线的下方，该曲线过原点的切线的左方以左方以轴轴及及 x上方之间的图形的面积上方之间的图形的面积 . .五、五、 求由抛物线求由抛物线axy42 与过焦点的弦所围成的图形与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值面积的最小值 . .第27页/共137页一、一、1 1、1 1； 2 2、332； 3 3、2 2； 4 4、y； 5 5、21 ee； 6 6、21. .二、二、1 1、2ln23 ； 2 2、67； 3 3、2a ； 4 4、23 a ； 5 5、 45； 6 6、223a. .三、三、49. . 四、四、2e. . 五、五、238a. .练习题答案练习题答案第28页/共137页第29页/共137页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积第30页/共137页一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy 第31页/共137页y例例 1 1 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点),(rhP的直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形将它绕轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋轴旋转构成一个底半径为转构成一个底半径为r、高为、高为h的圆锥体，计算的圆锥体，计算圆锥体的体积圆锥体的体积r解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xo直线 方程为OP第32页/共137页以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为dxxhrdV2 圆圆锥锥体体的的体体积积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo第33页/共137页a aoyx例例 2 2 求求星星形形线线323232ayx )0( a绕绕x轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋转体的体积旋转体的体积dxxaVaa33232 .105323a 第34页/共137页 类类似似地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(yx 、直直线线cy 、dy 及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为xyo)(yx cddyy2)( dcV第35页/共137页例例 3 3 求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱与的一拱与0 y所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕x轴、轴、y轴轴旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy第36页/共137页绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积可可看看作作平平面面图图OABC与与OBC分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.dy)y(xVay2202 dy)y(xa2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 第37页/共137页补充补充 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直线直线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay| )(|2 利用这个公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 第38页/共137页例例 4 4 求由曲线求由曲线24xy 及及0 y所围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM第39页/共137页xoab二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积第40页/共137页例例 5 5 一一平平面面经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角 ，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.RR xyo解解 取坐标系如图底圆方程为222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形x截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 第41页/共137页例例 6 6 求求以以半半径径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆直直径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积. 解解取坐标系如图底圆方程为,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积22)(xRhyhxA 立体体积dxxRhVRR 22.212hR 第42页/共137页旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕 轴旋转一周x绕 轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周三、小结第43页/共137页思考题思考题 求求曲曲线线4 xy，1 y，0 x所所围围成成的的图图形形绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.第44页/共137页思考题解答思考题解答xyo 14yxy交点),1 , 4(立体体积dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y第45页/共137页一、一、 填空题：填空题：1 1、 连续曲线连续曲线,)(xfy 直线直线ax ，bx 轴轴及及 x所所围图形围图形轴轴绕绕 x旋 转 一周 而成的 立体的体 积旋 转 一周 而成的 立体的体 积 v_，轴轴绕绕 y旋转一周而成的立体的旋转一周而成的立体的体体 v积积_；2 2、 badxxfv)(常用来表示常用来表示_立立体的体积；体的体积；3 3、 抛物线抛物线axy42 及直线及直线)0(00 xxx所围成的图所围成的图形形轴轴绕绕 x旋转而成的立体的体积旋转而成的立体的体积_；4 4、 0, 0,cosh yaxxaxay所围成的图所围成的图x形绕形绕轴旋转而成的立体的轴旋转而成的立体的 v体积体积_；练练 习习 题题第46页/共137页二、二、 有一铁铸件，它是由抛物线有一铁铸件，它是由抛物线、2101xy 11012 xy与直线与直线10 y围成的图形，围成的图形，轴轴绕绕 y旋旋转而成的旋转体，算出它的质量转而成的旋转体，算出它的质量（长度单位是厘（长度单位是厘米，铁的密度是米，铁的密度是38 . 7厘厘米米克克）. .三、三、 把星形线把星形线323232ayx 轴轴绕绕 x旋转，计算所得旋转旋转，计算所得旋转体的体积体的体积 . .四、四、 求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱，的一拱，0 y，绕直线，绕直线ay2 旋转所成旋转体的体积旋转所成旋转体的体积. .第47页/共137页五、五、 求求222ayx 绕绕)0( abbx旋转所成旋转旋转所成旋转体的体积体的体积 . .六、六、 设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为长分别为和和BA 2,2ba 2,2, ,h高为高为，求这截锥体，求这截锥体的体积的体积 . .七、七、 设直线设直线baxy 与直线与直线0 x，1 x及及0 y所围所围成梯形面积等于成梯形面积等于A，试求，试求ba ,使这个梯形使这个梯形轴轴绕绕 y旋转所得体积最小旋转所得体积最小 . .第48页/共137页一、一、1 1、 badxxf)(2, , badxxxf)(2；2 2、已知平行截面面积的；、已知平行截面面积的； 3 3、202 ax ；4 4、2243sha . .二、二、 ( (克克) . ) . 三、三、310532a . . 四、四、327a . .五、五、ba222 . . 六、六、)(261bAaBABabh . .七、七、Aba ,0. .练习题答案练习题答案第49页/共137页第50页/共137页xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长此折线的长|11 niiiMM的极限存在，则称此极限为的极限存在，则称此极限为曲线弧曲线弧AB的弧长的弧长.一、平面曲线弧长的概念第51页/共137页 设设曲曲线线弧弧为为)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一阶阶连连续续导导数数xoyabxdxx 取取积积分分变变量量为为x，在在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx ，以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 弧长元素dxyds21 弧长.12dxysba 二、直角坐标情形第52页/共137页例例 1 1 计计算算曲曲线线2332xy 上上相相应应于于x从从a到到b的的一一段段弧弧的的长长度度.解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab第53页/共137页例例 2 2 计计算算曲曲线线 dnynx 0sin的的弧弧长长)0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 第54页/共137页曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长.)()(22dttts 三、参数方程情形第55页/共137页例例 3 3 求求星星形形线线323232ayx )0( a的的全全长长.解解 星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 第56页/共137页例例 4 4 证证明明正正弦弦线线xaysin )20( x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆 taytxsin1cos2 )20( t的的周周长长.证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1设椭圆的周长为设椭圆的周长为2s,cos12022dxxa 第57页/共137页 ,20222dtyxs 根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原结论成立.dtta 022cos12第58页/共137页曲线弧为)( )( rr 其中其中)( 在在, 上具有连续导数上具有连续导数. sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长.)()(22 drrs 四、极坐标情形第59页/共137页例例 5 5 求求极极坐坐标标系系下下曲曲线线33sin ar的的长长. .)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 第60页/共137页例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺线线 ar )0( a上上相相应应于于 从从0到到 2的的弧弧长长.解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 第61页/共137页平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式 五、小结第62页/共137页思考题思考题 闭区间闭区间,ba上的连续曲线上的连续曲线)(xfy 是否一定可求长？是否一定可求长？第63页/共137页思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长第64页/共137页一、一、 填空题：填空题：1 1、 曲线曲线xyln 上相应于上相应于83 x的一段弧长为的一段弧长为_；2 2、 渐伸线渐伸线)sin(costttax ，)cos(sintttay 上相应于上相应于变到变到从从 0t 的一段弧长为的一段弧长为_；3 3、 曲 线曲 线1 r自自43 至至34 一 段 弧 长 为一 段 弧 长 为_ . .二、二、 计算半立方抛物线计算半立方抛物线32)1(32 xy被抛物线被抛物线32xy 截得的一段弧的长度截得的一段弧的长度 . .三、三、 计算星形线计算星形线tax3cos ，tay3sin 的全长的全长 . .练练 习习 题题第65页/共137页四四、 求求心心形形线线)cos1( ar的的全全长长. .五五、 证证明明：曲曲线线xysin )20( x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆2222 yx的的周周长长. .六六、 在在摆摆线线),sin(ttax )cos1(tay 上上求求分分摆摆线线第第一一拱拱成成3:1的的点点的的坐坐标标. .第66页/共137页练习题答案练习题答案 一、一、1 1、23ln211 ； 2 2、22 a； 3 3、23ln125 . . 二、二、 1)25(9823 . . 三、三、a6. . 四、四、a8. . 六、六、)23,)2332(aa . .第67页/共137页第68页/共137页 由物理学知道，如果物体在作直线运动的由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离物体移动了距离s时，力时，力F对物体所作的功为对物体所作的功为sFW . 如如果果物物体体在在运运动动的的过过程程中中所所受受的的力力是是变变化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.一、变力沿直线所作的功第69页/共137页例例 1 1 把把一一个个带带 q 电电量量的的点点电电荷荷放放在在 r 轴轴上上坐坐标标原原点点处处，它它产产生生一一个个电电场场这这个个电电场场对对周周围围的的电电荷荷有有作作用用力力由由物物理理学学知知道道，如如果果一一个个单单位位正正电电荷荷放放在在这这个个电电场场中中距距离离原原点点为为 r 的的地地方方，那那么么电电场场对对它它的的作作用用力力的的大大小小为为 2rqkF （k是是常常数数） ，当当这这个个单单位位正正电电荷荷在在电电场场中中从从 ar 处处沿沿 r 轴轴移移动动到到 br 处处时时，计计算算电电场场力力 F 对对它它所所作作的的功功第70页/共137页解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取任一小区间取任一小区间,drrr ,功元素,2drrkqdw 所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1.akq 第71页/共137页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例 2 2 一圆柱形蓄水池一圆柱形蓄水池高为高为 5米，底半径为米，底半径为3 米，池内盛满了水米，池内盛满了水.问要把池内的水全部问要把池内的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐标系如图xoxdxx 取取x为积分变量，为积分变量，5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,第72页/共137页xoxdxx 5这一薄层水的重力为dx238 . 9 功元素为,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦)第73页/共137页解解设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？n设 次击入的总深度为 厘米hn次锤击所作的总功为n第74页/共137页 hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次击入的总深度为n第 次击入的深度为n第75页/共137页 由物理学知道，在水深为由物理学知道，在水深为h处的压强为处的压强为hp ，这里，这里 是水的比重如果有一面积为是水的比重如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一处，那么，平板一侧所受的水压力为侧所受的水压力为ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的点点处处压压强强p不不相相等等，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想二、水压力第76页/共137页例例 4 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为设桶的底半径为R，水的比重为，水的比重为 ，计算桶的一端面，计算桶的一端面上所受的压力上所受的压力解解 在端面建立坐标系如图xo取取x为积分变量，为积分变量，, 0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小小矩矩形形片片的的面面积积为为.222dxxR ,xp 第77页/共137页小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为dxxRxdP222 端面上所受的压力端面上所受的压力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 第78页/共137页例例 5 5 将直角边各为将直角边各为a及及a2的直角三角形薄板的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力长，求薄板所受的侧压力解解 建立坐标系如图xoa2a2a面积微元,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2(dxxaaxPa )(2(20 .373a 第79页/共137页 由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为21, mm相距为相距为r的两个质点间的引力的大小为的两个质点间的引力的大小为221rmmkF ，其中其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算就不能用此公式计算三、引力第80页/共137页例例 6 6 有一长度为有一长度为l、线密度为、线密度为 的均匀细棒，的均匀细棒，在其中垂线上距棒在其中垂线上距棒a单位处有一质量为单位处有一质量为m的质点的质点M，计算该棒对质点，计算该棒对质点M的引力的引力2l2l xyoMa解解 建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间,dyyy ,2,2 lly将典型小段近似看成质点小段的质量为,dy rydyy 第81页/共137页小段与质点的距离为,22yar 引力,22yadymkF 水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为. 0 yF第82页/共137页利用“微元法微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）四、小结第83页/共137页思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？第84页/共137页思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关第85页/共137页一、一、 直径为直径为20厘米，高为厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强厘米的圆柱体内充满压强为为310厘米厘米牛牛的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？体积缩小一半，问需要作多少功？二、二、 一物体按规律一物体按规律3tcx 作直线运动，媒质的阻力与作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由速度的平方成正比，计算物体由0 x移至移至ax 时，克服媒质阻力所作的功时，克服媒质阻力所作的功 . .三、三、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长610 米和米和米，高为米，高为20米，较长的底边与水面相齐米，较长的底边与水面相齐. .计算闸门计算闸门的一侧所受的水压力的一侧所受的水压力 . .练练 习习 题题第86页/共137页四、四、 半径为半径为的球沉的球沉r入水中，球的上部与水面相切，入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作多少功？多少功？五、五、 一块一块a高为高为 ，b底为底为的等腰三角形薄板，垂直地的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力板每面所受的压力 . .六、六、 设有一半设有一半R径径为为，中心，中心 角为角为的圆弧形细棒，其的圆弧形细棒，其线密度为线密度为 常数常数，在圆心处有一质，在圆心处有一质的的量为量为 m质点质点M，试求这细棒对质，试求这细棒对质M点点的引力的引力 . .第87页/共137页七、七、 油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流速越小，实验测定，某处的流速越小，实验测定，某处的流与与速速 v流处到管子流处到管子中心的距中心的距之间之间离离 r有关系式有关系式)(22rakv , ,其中其中为比例为比例k常数，常数，为油管为油管a半径半径. .求通过油管的流求通过油管的流量量 （注： 当流速为常量时， 流量（注： 当流速为常量时， 流量 = = 流速流速 截面积）截面积） . .第88页/共137页 一、一、2ln800 ( (焦耳焦耳).). 二、二、3732725akc( (其其为为中中k比例常数比例常数) .) . 三、三、14373(14373(千牛千牛) . ) . 四、四、gr434 . . 五、五、 ba261. . 六、引力的大小为六、引力的大小为2sin2 Rkm, ,方向方向指指为为 M向圆弧向圆弧 的中心的中心 . . 七、七、42ak . .练习题答案练习题答案第89页/共137页第90页/共137页实例：实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌.nyyyyn 21算术平均值公式只适用于有限个数值问题：问题：求气温在一昼夜间的平均温度.入手点：入手点：连续函数 在区间 上的平均值.)(xf,ba讨论思想：讨论思想：分割、求和、取极限.一、函数的平均值第91页/共137页（1）分割：把把区区间间,ba分分成成n等等分分,1210bxxxxxann 每个小区间的长度;nabx 设各分点处的函数值为nyyyy,210函数 在区间 上的平均值近似为)(xf,ba;1210nyyyyn 每个小区间的长度趋于零.（2）求和：（3）取极限：第92页/共137页,lim1210nyyyyynn 函数 在区间 上的平均值平均值为)(xf,banababyyyyynn 1210limx niixxyab110lim1,)(lim1110 niixxxfab badxxfaby)(1几何平均值公式区间长度yab)( )()( fab 第93页/共137页例例 1 1 计计算算纯纯电电阻阻电电路路中中正正弦弦交交流流电电tIim sin 在在一一个个周周期期上上的的功功率率的的平平均均值值（简简称称平平均均功功率率）.解解设电阻为，R则电路中的电压为iRu ,sintRIm 功率uip ,sin22tRIm 一个周期区间,2, 0 平均功率tdtRIpm 2202sin12 第94页/共137页tdtRIpm 2202sin12 )(sin22022ttdRIm )()2cos1(4202tdtRIm 20222sin4 ttRIm 242 RIm22RIm .2mmUI )(RIUmm 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一第95页/共137页 通常交流电器上标明的功率就是平均功率交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为有效值有效值 周期性非恒定电流周期性非恒定电流i（如正弦交流电）（如正弦交流电）的有效值规定如下：当的有效值规定如下：当)(ti在它的一个周在它的一个周期期T内在负载电阻内在负载电阻R上消耗的平均功率，上消耗的平均功率，等于取固定值等于取固定值I的恒定电流在的恒定电流在R上消耗的功上消耗的功率时，称这个值率时，称这个值I为为)(ti的有效值的有效值.二、均方根第96页/共137页固固定定值值为为I的的恒恒定定电电流流在在R上上消消耗耗的的功功率率为为RI2,电流电流)(ti在在R上消耗的功率为上消耗的功率为Rti)(2,它在它在, 0T上的平均功率为上的平均功率为,)(102 TRdttiT,)(1022 TRdttiTRI按定义有 TdttiTI022)(1.)(102 TdttiTI有效值计算公式的推导即第97页/共137页正弦交流电正弦交流电tItim sin)( 的有效值的有效值tdtIIm 2022sin12 )(22022ttdinsIm 20222sin4 ttIm.2mI 结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 21.)(12 badxxfab函函数数)(xf在在,ba上上的的均均方方根根第98页/共137页函数的平均值函数的有效值;)(1 badxxfaby.)(12 badxxfab（理解平均功率、电流的有效值等概念）三、小结第99页/共137页思考题思考题 有有一一根根长长为为a的的细细棒棒，其其上上任任一一点点x（棒棒的的一一端端与与原原点点重重合合）的的密密度度cbx 2 ，求求棒棒的的平平均均密密度度.第100页/共137页思考题解答思考题解答棒的平均密度为密度函数在 上的平均值., 0a adxcbxa02)(01 .312cba 第101页/共137页一、计算函数一、计算函数xexy 2在在 2,0上的平均值上的平均值 . .二、二、 某可控硅控制线路中，流过负载某可控硅控制线路中，流过负载R的的)( ti电流电流（如（如教材教材 6-376-37 图）所示，即图）所示，即 2,sin50,0)(00tttttti ，0t其其中中称 为 触 发 时 间 ， 如 果称 为 触 发 时 间 ， 如 果02. 0 T秒秒 ( ( 即即)1002 （1 1） 当触发时间当触发时间0025. 00 t秒时，求秒时，求20 t内电内电 流的平均值；流的平均值；练练 习习 题题第102页/共137页(2) (2) 当触发时当触发时0t间间为为时，求时，求 2,0内电流的平均值；内电流的平均值；(3) (3) 要使要使 215 平均平均i安和安和 35安，问相应的触发时间应安，问相应的触发时间应 为多少？为多少？三、三、 算出正弦交流电流算出正弦交流电流tIim sin 经半波整流后得到经半波整流后得到的电流的电流 2,00,sintttIim的有效值的有效值 . .第103页/共137页一、一、231e . .二、二、 (1)(1)、)221(5 ( (安安) )； (2) (2)、)100cos1(50t ( (安安) )； (3)(3)、3001( (秒秒), 0.0073(), 0.0073(秒秒).).三、三、2mI. .练习题答案练习题答案第104页/共137页第105页/共137页微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名称释译名称释译所求量所求量的特点的特点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容第106页/共137页1 1、理论依据、理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定积分定积分的微分的的微分的分就是分就是这表明连续函数的定积这表明连续函数的定积于是于是即即的一个原函数的一个原函数是是则它的变上限积分则它的变上限积分上连续上连续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 第107页/共137页2 2、名称释译、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法方法称微元法计算积分或原函数的计算积分或原函数的这种取微元这种取微元积分积分的无限积累的无限积累到到从从就是其微分就是其微分所求总量所求总量知知由理论依据由理论依据dxxfdxxfUbadxxfdUAba 第108页/共137页（1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对于区间对于区间 ba,具有可加性，就是说，具有可加性，就是说，如果把区间如果把区间 ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则U相相应地分成许多部分量，而应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之等于所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；就可以考虑用定积分来表达这个量就可以考虑用定积分来表达这个量U.3 3、所求量的特点、所求量的特点第109页/共137页1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为为积分变量，并确定它的变化区间积分变量，并确定它的变化区间,ba；2）设想把区间）设想把区间,ba分成分成n个小区间，取其中任个小区间，取其中任一小区间并记为一小区间并记为,dxxx ，求出相应于这小区，求出相应于这小区间的部分量间的部分量U 的近似值如果的近似值如果U 能近似地表能近似地表示为示为,ba上的一个连续函数在上的一个连续函数在x处的值处的值)(xf与与dx的乘积，就把的乘积，就把dxxf)(称为量称为量U的元素且记作的元素且记作dU，即，即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U4 4、解题步骤、解题步骤第110页/共137页5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形abab第111页/共137页如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数第112页/共137页 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形第113页/共137页(2) 体积xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cd第114页/共137页xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积)(xA第115页/共137页(3) 平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长dxysba 21A曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为第116页/共137页C曲线弧为)( )( rr 弧长 drrs )()(22(4) 旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22侧侧第117页/共137页(5) 细棒的质量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 转动惯量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(为为线线密密度度x 第118页/共137页(7) 变力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(为为比比重重 第119页/共137页(9) 引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(为引力系数为引力系数G(10) 函数的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根 badxxfaby)(12第120页/共137页二、典型例题二、典型例题例例1 1.3;2;1)0(sincos00033体积及表面积体积及表面积体体它绕轴旋转而成的旋转它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它的弧长它所围成的面积它所围成的面积求求星形线星形线已知已知 ataytaxa aoyx第121页/共137页解解.10A设面积为设面积为由对称性,有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设弧长为设弧长为由对称性,有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a 第122页/共137页.,30VS 体积为体积为设旋转体的表面积为设旋转体的表面积为由对称性,有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 第123页/共137页例例2 2?,)2(;)0()1( .至少需作功多少至少需作功多少若再将满池水全部抽出若再将满池水全部抽出面上升的速度面上升的速度时水时水求在池中水深求在池中水深内注水内注水的半球形水池的半球形水池的流量往半径为的流量往半径为以每秒以每秒RhhRa oxyRh解解如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx 半圆的方程为半圆的方程为于是对半圆上任一点,有).0(2)(2222RyyRyRyRx 第124页/共137页时水池内水的体积为时水池内水的体积为为为的球缺的体积即水深的球缺的体积即水深故半球内高为故半球内高为的立体的立体轴旋转而成轴旋转而成圆绕圆绕因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th时已注水的时间为时已注水的时间为又设水深又设水深,)(athV 则有则有atdyyRyh 02)2(即即得得求导求导两边对两边对,t,)2(2adtdhhRh 第125页/共137页故所求速度为.)2(2hRhadtdh .)2(所需的功所需的功水全部提升到池沿高度水全部提升到池沿高度需的最小功即将池内需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所将满池的水全部抽出所的功约为的功约为所需所需降到降到抽水时使水位从抽水时使水位从dyyRyy )0()1(),(2水的比重水的比重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即功元素即功元素第126页/共137页故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R 第127页/共137页例例3 3.,4,20,3050,的静压力的静压力求闸门一侧所受的水求闸门一侧所受的水米米顶部高出水面顶部高出水面如果闸门如果闸门米米高为高为米米米和米和分别为分别为梯形的上下底梯形的上下底如图所示如图所示一等腰梯形闸门一等腰梯形闸门解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系,的方程为的方程为则梯形的腰则梯形的腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为第128页/共137页 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631( g g 67.4522 ).(1043. 47牛牛 第129页/共137页一、一、 选择题：选择题：1 1、 曲线曲线xyln 与直线与直线ex1 ，ex 及及0 y所围成所围成 的区域的面积的区域的面积 S（ ） ；） ；（A A）)11(2e ； （B B）ee1 ；（C C）ee1 ； （D D）11 e . .2 2、曲线、曲线 sin2 r与与 2cos2 r所围图形公共部分所围图形公共部分 的面积的面积 S（ ） ；） ；（A A）23112 ； （B B）41324 ；（C C）21312 ； （D D）2316 . .测测 验验 题题第130页/共137页3 3、曲曲线线,cos3 ax 3sinay 所所围围图图形形的