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第一章 事件与概率1.3 一个工人生产了个零件，以事件表示他生产的第个零件是合格品。用表示以下事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。解 (1) ; (2) ; (3) ;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品，可表示为；1.4 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件“所得分数为既约分数包含个样本点。于是。1.5 一个小孩用13个字母作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的等可能的，问“恰好组成“MATHEMATICIAN一词的概率为多大？解 显然样本点总数为，事件“恰好组成“MATHEMATICIAN包含个样本点。所以1.6 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为。事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯。所以包含个样本点，于是。1.7 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8的概率为多大？解 用表示“牌照号码中有数字8，显然，所以-1.10 任取一个正数，求以下事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1；解 (1) 答案为。(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。用事件表示“该数的立方的最后两位数字都是1，那么该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为，那么该数的立方的最后两位数字为1和3的个位数，要使3的个位数是1，必须，因此所包含的样本点只有71这一点，于是。1.11 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到根草的情形。解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有种接法，同样对尾也有种接法，所以样本点总数为。用表示“6根草恰好连成一个环，这种连接，对头而言仍有种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。所以包含的样本点数为，于是(2) 根草的情形和(1)类似得上任取三点，求：(1) 位于之间的概率。(2) 能构成一个三角形的概率。解 (1) (2) 1.15己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。那么事件“该点命中的中点的概率等于零，但不是不可能事件。、为两个随机事件，证明：(1) ;(2) .证明 (1) =(2) 由(1)和得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.17 对于任意的随机事件、，证明：证明 个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解 用表示“第张考签没有被抽到， 。要求。，所以1.22 从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？解阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为，当且仅当的排列中存在使时这一项包含主对角线元素。用表示事件“排列中即第个主对角线元素出现于展开式的某项中。那么 ，所以1.23 一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的。解 用分别表示男孩和女孩。那么样本空间为：其中样本点依年龄大小的性别排列。表示“有女孩， 表示“有男孩，那么件产品中有件是不合格品，从中任取两件，(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解1设表示“所取产品中至少有一件是不合格品， 表示“所取产品都是不合格品，那么 (2)设表示“所取产品中至少有一件合格品， 表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品。那么 1.28 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：(1)前个人都没摸到，求第个人摸到的概率；(2)第个人摸到的概率。解 设表示“第个人摸到， 。(1) (2) 1.30 一个母鸡生个蛋的概率为，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为，证明：一个母鸡恰有个下一代即小鸡的概率为。解 用表示“母鸡生个蛋， 表示“母鸡恰有个下一代，那么 1.31 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解 用表示“任选一名射手为级， ，表示“任选一名射手能进入决赛，那么1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解 用表示“任取一只产品是甲台机器生产表示“任取一只产品是乙台机器生产 表示“任取一只产品是丙台机器生产 表示“任取一只产品恰是不合格品。那么由贝叶斯公式： 1.32某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？解 那么 ， ，由贝时叶斯公式得 1.35证明：假设三个事件、独立，那么、及都与独立。证明 1= 2 3=1.38 试举例说明由不能推出一定成立。解 设， ， 那么 ， 但是1.37 事件相互独立且互不相容，求注：表示中小的一个数。解 一方面，另一方面，即中至少有一个等于0，所以1.40 一个人的血型为型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求以下事件的概率(1)两个人为型，其它三个人分别为其它三种血型；(2)三个人为型，两个人为型；(3)没有一人为。解 (1)从5个人任选2人为型，共有种可能，在其余3人中任选一人为型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为型，共有2种可能，另一人为型，顺此所求概率为： (2) (3) 1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为，求在成功次之前已失败了次的概率。解 用表示“在成功次之前已失败了次， 表示“在前次试验中失败了次， 表示“第次试验成功那么 第二章 离散型随机变量2. 2随机变量只取正整数，且与成反比，求的分布列。解 根据题意知，其中常数待定。由于，所以，即的分布列为，取正整数。个白球、个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了个白球，求的分布列。解 设“表示前次取出白球，第次取出黑球，那么的分布列为：2.6 设某批电子管的合格品率为，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第次为首次测到合格品，求的分布列。解 2.4 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以表示取出球的取大号码，求的分布列。解 2.7抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，设为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求的分布列。解，其中。2.8两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。解 设，表示第二名队员的投篮次数，那么+；。2.9 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解 设为该种商品当月销售数，为该种商品每月进货数，那么。查普哇松分布的数值表，得。2.10 如果在时间分钟内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的普哇松分布。在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解 设为时间内通过交叉路口的汽车数，那么 时，所以；时，因而。2.11 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上每一页的印刷符号超过500个。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解 在指定的一页上出现某一个错误的概率，因而，至少出现三个错误的概率为 利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于212 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，假设要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解 设每箱至少装个产品，其中有个次品，那么要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相当于，查普哇松分布数值表，得。2.13 设二维随机变量的联合分布列为： 求边际分布列。解 。2.15 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为、，求的联合分布列与各自的边际分布列。解 ， ，； ，； ，。2.16 抛掷三次均匀的硬币，以表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求的联合分布列及边际分布列。与独立，且，又，定义，问取什么值时与独立？解=而，由得 2.21 设随机变量与独立，且，定义，证明两两独立，但不相互独立。 证明因为所以相互独立。同理与相互独立。但是，因而不相互独立。2.22 离散型随机变量的分布列为，求的分布列。解 , , , 2.24 设离散型随机变量的分布列为： ， ：，且相互独立，求的分布列。解 2.25 设独立随机变量分别服从二项分布：与，求的分布列。解 设为重贝努里试验中事件发生的次数在每次试验中，为重贝努里试验中事件发生的次数在每次试验中，而相互独立，所以为重贝努里试验中事件发生的次数，因而。2.26 设为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为 求的分布列。解2.27 设随机变量具有分布：，求、及。解， +4+4=27229设离散型随机变量的分布列为：，问是否有数学期望？解 ，因为级数发散，所以没有数学期望。2.30对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为、。试证发生故障的仪器数的数学+。证 令为发生故障的仪器数，那么，所以+。2.31如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解 设，那么的分布列为，因而。设为查得的不合格品数，那么，所以。2.32 把数字任意在排成一列，如果数字恰好出现在第个位置上，那么称有一个匹配，求匹配数的数学期望。解 设那么的分布列为：于是，设匹配数为，那么，因而。2.34 从数字0，1，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解 设为所选两个数字之差的绝对值，那么，于是。2.35 设为取非负整数值的随机变量，证明：(1) ;(2) 证明 (1)由于存在，所以该级数绝对收敛。从而。(2) 存在，所以级数也绝对收敛，从而2.36 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解 设成功与失败均出现时的试验次数为，那么，利用上题的结论，+=1+2.39 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率，当生产出个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解 设第个不合格出现后到第个不合格品出现时的产品数为，又在两次检修之间产品总数为，那么因独立同分布，由此得：，。，。2.44 设随机变量与独立，且方差存在，那么有由此并可得证明 2.45在整数0到9中先后按以下两种情况任取两个数，记为和：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在的条件下的分布列。解 (1) .(2) , 次贝努里试验中，事件出现的概率为，令求在的条件下，的分布列。解 。，相互独立，分别服从参数为与的普哇松分布，试证： 证明 由普哇松分布的可加性知+服从参数为+的普哇松分布，所以 第三章 连续型随机变量3.2 随机变数的分布函数为，求常数与及相应的密度函数。解：因为 所以因而。3.4 设随机变数具有对称的分布密度函数，即证明：对任意的有1； 2P； 3。 证：1 = = ； 2，由1知1- 故上式右端=2； 3。 3.5 设与都是分布函数，又是两个常数，且。证明也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为与都是分布函数，当时，于是又所以，也是分布函数。取，又令这时显然，与对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故不是离散型的，而不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.3 随机变数的分布函数为（1） 求相应的分布函数；（2） 求。解：3.7在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求的分布函数。解：当0时所以 3.8 某城市每天用电量不超过一百万度，以表示每天的耗电率即用电量除以一万度，它具有分布密度为假设该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？解： 因此，假设该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,假设每天的供电量为90万度，那么供电量不够需要的概率为。 设随机变数服从0，5上的均匀分布，求方程有实根的概率。 解：当且仅当 1成立时，方程有实根。不等式1的解为：或。因此，该方程有实根的概率。3.14 证明：二元函数 对每个变元单调非降，左连续，且，但是 并不是一个分布函数。 证：1设，假设，由于，所以，假设，那么。当时，； 当时，。所以 。 可见，对非降。同理，对非降。 2时 =， 时， =， 所以对、左连续。 3，。 4， 所以不是一个分布函数。3.15 设二维随机变数的密度求的分布函数。解：当，时， =所以 3.16 设二维随机变数的联合密度为（1） 求常数；（2） 求相应的分布函数；（3） 求。解：1，所以； 2时， =，所以 3 = =。317 设二维随机变数有密度函数求常数及的密度函数。解： 所以，；3.18 设二维随机变数的密度函数为求1。解：3.21 证明：假设随机变数只取一个值，那么与任意的随机变数独立。证：的分布函数为设的分布函数、的联合分布函数分别为。当时，。当时，。所以，对任意实数，都有，故与相互独立。3.22 证明：假设随机变数与自己独立，那么必有常数，使。证：由于，所以，。由于，非降、左连续，所以必有常数，使得故。3.23设二维随机变量的密度函数为问与是否独立？是否不相关？解：。同理，。由于，所以与不相互独立。又因关于或关于都是偶函数，因而，故， 与不相关3.26 随机变数在任一有限区间上的概率均大于例如正态分布等，其分布函数为，又服从上的均匀分布。证明的分布函数与的分布函数相同。解：因为在任一有限区间上的概率均大于，所以是严格上升函数。由于上的均匀分布，所以的分布函数，对任意的都成立。所以与的分布函数相同。3.30 设随机变数服从分布，求的分布密度。解：在时，。所以的分布密度。3.31 设随机变数服从分布，求的分布密度。解：的反函数。由服从分布，推得的分布密度为与独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为求+的密度函数。解： ，当时，当时，所以3.34 设随机变量与独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为证明：也服从同一分布。证：所以即也服从相同的柯西分布。3.35 设随机变量与独立，分别具有密度函数其中，求+的分布密度。解：时，时，与独立，都服从上的均匀分布，求的分布。解：服从上的均匀分布，据3.48(2)知，在时，的分布函数所以的分布密度为与独立，且分别具有密度函数为证明服从分布。证：由得。故令，那么所以服从分布。与独立，都服从上的均匀分布，求的密度函数。解：当时，当时所以的密度函数为与独立，都服从参数为的指数分布，求的密度函数。解：在时，在时，。的联合分布密度为证明：与不独立，但与独立。证：由于，所以与不独立。由于所以对一切的，都有，故与相互独立。3.46 设随机变量具有密度函数求。解：3.46 设随机变量具有密度函数求及。解 ， ， 。3.63 设随机变量的分布函数为试确定常数，并求与。解：由分布函数的左连续性，故。 =，。3.64 随机变量具有密度函数其中求常数及。解： =，故。 = 3.66 设随机变量服从上的均匀分布，求的数学期望与方差。解：。3.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客候车时间为秒，那么服从上的均匀分布，那么，。第四章 大数定律与中心极限定理4.1 设为退化分布：讨论以下分布函数列的极限是否仍是分布函数？解：12不是；3是。4.2 设分布函数如下定义：问是分布函数吗？解：不是。弱收敛于分布函数，且为连续函数，那么在上一致收敛于。证：对任意的，取充分大，使有对上述取定的，因为在上一致连续，故可取它的分点：，使有，再令，那么有 1这时存在，使得当时有 2成立，对任意的，必存在某个，使得，由2知当时有 3 4由1，3，4可得，即有成立，结论得证。4.5 设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有。证：对任意的有，故即对任意的有成立，于是有从而成立，结论得证。4.6 设随机变量序列，分别依概率收敛于随机变量与，证明：1；2。证：1因为故即成立。2先证明这时必有。对任给的取足够大，使有成立，对取定的，存在，当时有成立这时有 从而有由的任意性知，同理可证，由前述1有故，结论成立。4.7 设随机变量序列，是一个常数，且，证明。证：不妨设对任意的，当时有，因而。于是有 。结论成立。4.9 证明随机变量序列依概率收敛于随机变量的充要条件为：证：充分性，令，那么，故是的单调上升函数，因而，于是有 对任意的成立，充分性得证。必要性，对任给的，令，因为，故存在充分大的使得当时有，于是有 ，由的任意性知，结论为真。4.10 设随机变量按分布收敛于随机变量，又数列，证明也按分布收敛于。证：先证明按分布收敛于。时为显然，不妨设时的修改为显然，假设，的分布函数分别记作，与，那么=，当是的连续点时，是的连续点，于是有，再由4.6(1)知按分布收敛于，结论得证。按分布收敛于随机变量，随机变量序列依概率收敛于常数，证明按分布收敛于。证：记的分布函数分别为，那么的分布函数为，设是的连续点，那么对任给的，存在，使当时有 1现任取，使得都是的连续点，这时存在，当时有 2 3对取定的，存在，当时有 4于是当时，由1，2，4式有又因为于是由1，3，4式有 6由5，6两式可得由的任意性即知按分布收敛于，结论得证。按分布收敛于，随机变量序列依概率收敛于，证明.证：记的分布函数分别为，对任给的，取足够大，使是的连续点且因为，故存在，当时有令，因为，故存在，当时有而其中，当时有因而，由的任意性知，结论为真。4.13 设随机变量服从柯西分布，其密度函数为证明。证：对任意的，有故。4.14 设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为其中为常数，令，证明。证：对任意的，为显然，这时有对任意的，有故成立，结论得证。4.15 设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为令，证明。证：设的分布函数为，有这时有对任意的，有故成立，结论得证。为一列独立同分布随机变量，都服从上的均匀分布，假设，证明。证：这时也是独立同分布随机变量序列，且由辛钦大数定律知服从大数定理，即有，令，那么结论成立。为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为，且方差存在，证明。证：，记，令，那么对任给的，由契贝晓夫不等式有故，结论得证。为一列独立同分布随机变量，且存在，数学期望为零，证明。证：这时仍独立同分布，且，由辛钦大数定律知结论成立。4.21 设随机变量序列按分布收敛于随机变量，又随机变量序列依概率收敛于常数，那么按分布收敛于。，而按分布收敛于按分布收敛于，结论成立。为独立同分布的随机变量序列，证明的分布函数弱收敛于分布。证：这时也为独立同分布随机变量序列，且，由辛钦大数定律知，又服从分布，当然弱收敛于按分布收敛于分布，结论得证。4.26 在贝努里试验中，事件出现的概率为，令证明服从大数定律。证：为同分布随机变量序列，且，因而，又当时，与服从大数定律，结论得证。为一列独立同分布随机变量，方差存在，又为绝对收敛级数，令，那么服从大数定律。证：不妨设。否那么令，并讨论即可。记，又。因为，故有服从大数定律，结论得证。为一列独立同分布随机变量，共同分布为试问是否服从大数定律？答：因为存在，由辛钦大数定律知服从大数定律。为一列独立同分布随机变量，共同分布为其中，问是否服从大数定律？答：因为存在，由辛钦大数定律知服从大数定律。4.32 如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率的差小于，问至少应该做多少次试验？解：令据题意选取试验次数应满足，因为比拟大，由中心极限定理有故应取，即，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有，因而，故可取。4.33 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率。解：令因为排版与校对是两个独立的工序，因而是独立同分布随机变量序列，令，其中，由中心极限定理有其中，查分布表即可得，即在校对后错误不多于15个的概率。4.34 在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0。006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问：1保险公司亏本的概率多大？2保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多大？解：保险公司一年的总收入为120000元，这时（1） 假设一年中死亡人数，那么公司亏本；（2） 假设一年中死亡人数，那么利润中死亡人数元；假设一年中死亡人数，那么利润中死亡人数元；假设一年中死亡人数，那么利润中死亡人数元；令那么，记已足够大，于是由中心极限定理可得欲求事件的概率为1同理可求得24.35 有一批种子，其中良种占相差多少？解：令那么，记，其中，据题意即要求使满足。令，因为很大，由中心极限定理有由分布表知当时即能满足上述不等式，于是知相差不超过。4.36 假设某产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少？解：令那么，记，其中，记，由中心极限定理有即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。4.37 某螺丝钉厂的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95？解：令那么，记，其中尚待确定，它应满足，由中心极限定理有查分布表可取，由此求得，即在一盒中应装103只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95。4.39 用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布的普哇松定理。证：设独立同二项分布，即的特征函数为，记的特征函数记作，因为，故，于是有而是参数为的普哇松分布的特征函数，由特征函数的逆极限定理即知定理成立，证毕。4.40 设随机变量服从-分布，其分布密度为证：当时，的分布函数弱收敛于分布。证：的特征函数为，易知的特征函数为而因而有故，所以相应的分布函数弱收敛于分布，命题得证。为一列独立同分布随机变量，且服从上的均匀分布，证明对成立中心极限定理。证：易知，于是故，对任意的，存在，使当时有，因而，从而当，假设，由此知即林德贝尔格条件满足，所以对成立中心极限定理，结论得证。4.42 设皆为独立同分布随机变量序列，且独立，其中，证明：的分布函数弱收敛于正态分布。证：这时仍是独立同分布随机变量序列，易知有由林德贝尔格-勒维中心极限定理知：的分布函数弱收敛于正态分布，结论得证。4.45 利用中心极限定理证明：证：设是独立同分布随机变量序列，共同分布为的Poisson分布，故，由林德贝尔格-勒维中心极限定理知由Poisson分布的可加性知服从参数为的Poisson分布，因而，但，所以成立，结论得证。
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