大学物理：第1章 1.5 功和能

1.5 1.5 功和能功和能（work and energy)1.5.11.5.1 功功1.5.21.5.2 动能定理动能定理1.5.31.5.3 保守力和势能保守力和势能1.5.4 1.5.4 机械能守恒机械能守恒 一一. . 功的概念及定义功的概念及定义质点在力质点在力 的作用下的作用下, ,发生一小段位移发生一小段位移 时，时，称此力对该质点做了功称此力对该质点做了功. .Fr 质点沿直线运动时恒力功的大小质点沿直线运动时恒力功的大小1.5.1 功功 （work )功的特点功的特点: : 标量标量. . 无方向无方向, , 但有正、负。但有正、负。0,0;,0;,0222dAdAdA 本章研究力的空间累积效应本章研究力的空间累积效应 功功 及动能、势能、动能定理、机械能守恒定律。及动能、势能、动能定理、机械能守恒定律。ABsF恒力恒力 sFFsA cos二二. . 质点沿直线运动时变力的功质点沿直线运动时变力的功设：质点沿设：质点沿 x 轴运动轴运动 F（x）x1x iixixxfA xxxiixxixdxxfxxfAAii100limlimnixxxxx .11 ixxiixixfxFAii cosF（xi） iix将各段元功叠加：将各段元功叠加：在在 处（无限小），处（无限小）， 认为不变认为不变ix()iF x例：例： 弹性力的功。以弹簧原长为坐标原点，计算弹性力的功。以弹簧原长为坐标原点，计算 m 由由 x1 x2 弹性力的功。弹性力的功。2222222112111111022222xxkxkxkxkxkxkxfx dxkxdxfAxxxxx 2121x1x2x 0m由此式可见由此式可见, ,弹力的功只与小球的弹力的功只与小球的初末位置初末位置有关有关, ,而与而与移动的移动的中间过程无关中间过程无关, ,例如若先将例如若先将 m 从从 x1 点向右拉点向右拉伸，然后再压缩至伸，然后再压缩至 x2 点点, , 弹力的功仍为上式弹力的功仍为上式iiiirFA cos 元功元功iiirFA iiiriirrFAA00ABlimlim三三质点沿曲线运动时变力的功质点沿曲线运动时变力的功iF i iABir m BAcos rdF BArdF注意：在积分过程中注意：在积分过程中, , 不仅不仅力的大小和方向力的大小和方向可能可能改变改变, , 而且力和线元之间的而且力和线元之间的夹角夹角也可能改变也可能改变. . 例：例： m 沿曲线由沿曲线由a b, ,求重力的功求重力的功hh1h2abir i img解：解： cosrdmgrdFdA mgdhdA ba21hhmgdhdAA与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的起起末位置，末位置，与与中间过程无关中间过程无关。dhrd cos 21hhmg 四四. . 合力的功合力的功 BAABrdFA合力做的总功等于每个分力合力做的总功等于每个分力沿同一路径沿同一路径做功的代数和做功的代数和五五. . 功率功率 P P1. 1. 平均功率平均功率tAP 2. 2. 瞬时功率瞬时功率dtdAtAPt lim0vF rdFFFN .21NABABABBABABAAAArdFrdFrdF .2121例：弹簧例：弹簧( (倔强系数为倔强系数为k ) )一端固定在一端固定在A点点, ,另一端连一另一端连一质量为质量为m的物体的物体, ,靠在靠在光滑光滑的的圆圆柱体表面柱体表面( (半径半径a ),),弹弹簧原长簧原长AB，在外力作用下在外力作用下极缓慢极缓慢地沿表面从地沿表面从B到到C，求求：外力做的功外力做的功解解: : 物体物体m匀速移动合外力为零匀速移动合外力为零 切向合外力为零切向合外力为零 kamgF cos ccdakadamg 00cos CBrdFA2221sincckamga CFfNmgmAB 例例. .已知：地下贮水池横截面已知：地下贮水池横截面S，池中贮水深度，池中贮水深度 h1, 水平面与地面间水平面与地面间h0。 求：将池中水全部吸到地面需作功求：将池中水全部吸到地面需作功A= ?解：解：hdhh1h0对象：一层水（坐标如图）对象：一层水（坐标如图）)(SdhdVdm 重力：重力：gSdhdmg hgdmhdmgdA )( 100hhhgShdhdAA 2211021hhhgS h0克服重力所做的元功：克服重力所做的元功：例例. . 设作用在质量为设作用在质量为 2 kg 的物体上的力的物体上的力 (N) 12 itF 解：解： BAxBAdxFrdFA 30)(12vdttmFdtdva 如果物体由静止出发沿直线运动，在头如果物体由静止出发沿直线运动，在头3 s时间内，时间内，这个力作了多少功？这个力作了多少功？dtmFadtdv ttttdttdtmv00236121 (J) 729361230330 dtttvdtA1.5.2 动能定理动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。cosbbaaAF drFds据牛二定律据牛二定律ttdvFmamdsvdtdt且2122211122bbvtaavdvAFdsmvdtmvdvmvmvdt二、质点的动能定理二、质点的动能定理btaF ds一、动能一、动能质量为质量为m，速率为，速率为v的质点的的质点的动能动能定义为：定义为：221mvEk 单位：焦耳单位：焦耳（J）（）（SI）abm Frd3.3.在所有惯性系中在所有惯性系中, ,动能定理形式保持不变。动能定理形式保持不变。但是，动能定理的量值相对不同惯性系值不相同但是，动能定理的量值相对不同惯性系值不相同, , 即（即（V22-V12）的值不相同。的值不相同。1.1.动能定理给出了力的动能定理给出了力的空间积累空间积累效应，即功可以改效应，即功可以改变质点的动能。变质点的动能。2.2.其优点是当作用力在位移过程中不清楚时，就可其优点是当作用力在位移过程中不清楚时，就可通过始、末状态动能的增量来求得该力的功。通过始、末状态动能的增量来求得该力的功。功是功是过程量，过程量，动能是动能是状态量。状态量。2122AB2121mvmvA 2122AB2121mvmvA 讨讨论论例：长度为例：长度为L、质量为质量为M的均匀链条的均匀链条, ,置于水平光置于水平光滑桌面上。开始时滑桌面上。开始时, ,有少部分链条（长度为有少部分链条（长度为a）下下垂在桌外。在重力作用下垂在桌外。在重力作用下, ,链条下落。链条下落。求求: : 当链条尾端刚刚离开桌面时的速率当链条尾端刚刚离开桌面时的速率 v = ?解解: : 链条下落是重力做功的结链条下落是重力做功的结 果，当下落长度变化时果，当下落长度变化时, ,重力大重力大小也变化，因此为变力做功。小也变化，因此为变力做功。用动能定理可求末状态速度。用动能定理可求末状态速度。1. 1. 建立坐标建立坐标 ox , ,向下为正方向向下为正方向. .a L，M光滑光滑光滑光滑0axxL、M2.2. 某时刻端点位置为某时刻端点位置为 x. 光滑光滑0axxL、MxLMm xgLMmgf dxxgLMdxfdA dxgxLMALa 22aLLgv 0212 Mv 222121aLgLM下落部分的下落部分的质量及所受重力分别为质量及所受重力分别为例例: : 质量为质量为m的小球经长为的小球经长为 l 的摆线悬挂于固定点的摆线悬挂于固定点O,O,开始时把小球拉到水平位置开始时把小球拉到水平位置, ,并自由释放并自由释放, ,求摆线求摆线下摆角为下摆角为 0 时小球的速率时小球的速率v. . O 0lABdr d mgT解：外力为绳子张力和重力解：外力为绳子张力和重力绳子张力始终与位移垂直绳子张力始终与位移垂直, ,不作功不作功 BABAABrdgmrdFA 00cos dlmg0sin mgl mvB2 0 = mg l sin 0210sin2 glvB 由动能定理由动能定理三三. . 质点系的动能定理质点系的动能定理两个质点的系统两个质点的系统21, ff-为内力为内力. .21, FF-为外力为外力. .分别应用质点动能定理分别应用质点动能定理: : 21121111111112121ABvmvmrdfFBA 22222222222222121ABvmvmrdfFBA 2222112222112211221121212211221121212121AABBvmvmvmvmrdfrdfrdFrdFBABABABAm1A1 B11F1f1rdA2B22fm22rd2F 2222112222112211221121212211221121212121AABBvmvmvmvmrdfrdfrdFrdFBABABABAA外外 + A内内 = EkB - EkA外力总功外力总功+ +内力总功内力总功= =系统总动能的增量系统总动能的增量内力虽不能改变系统的动量，但内力虽不能改变系统的动量，但能改变系统的动能能改变系统的动能。例例: :炸弹爆炸过程炸弹爆炸过程, ,内力内力( (火药的爆炸力火药的爆炸力) )所做的功使所做的功使得弹片的动能增加。得弹片的动能增加。内力功的和不一定为零内力功的和不一定为零（各质点位移不一定相同各质点位移不一定相同）。）。mgRA 重力重力RMm解：解：1)重力只对小球做功重力只对小球做功例：有一面为例：有一面为1/41/4凹圆柱面（半径凹圆柱面（半径R）的物体（质量）的物体（质量M）放置在光滑水平面，一小球（质量放置在光滑水平面，一小球（质量m）, ,从静止开始沿圆从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图）面从顶端无摩擦下落（如图）, ,小球从水平方向飞离大物小球从水平方向飞离大物体时速度体时速度 v ，求：求：1 1）重力所做的功；）重力所做的功；2 2）内力所做的功。）内力所做的功。222121mvMVAA 内力内力重力重力2)对整个系统用动能定理对整个系统用动能定理221122AMVmvmgR内力对对 m，内力所做的功，内力所做的功mgRmv 221对对M，内力所做的功，内力所做的功222221MvmMV * 本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。RMm0 MVmvMmvV 水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒。水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒。222122m vAmvmgRM内力四、一对力的功四、一对力的功 分别作用在两个物体上的分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反大小相等、方向相反的力，的力， 我们称之为我们称之为“一对力一对力”。 一对力通常是作用力与反作用力，但也可以不是一对力通常是作用力与反作用力，但也可以不是。如图示的如图示的 f1与与 f2就不是作用力与反作用力，但仍是就不是作用力与反作用力，但仍是一对力。另外，一对力中的两个力也并不要求必须在一对力。另外，一对力中的两个力也并不要求必须在同一直线上。同一直线上。1.1.一对力一对力21 f2 f1 = - f2一对力所做的功，等于其中一对力所做的功，等于其中一个质点受的力和该质点相一个质点受的力和该质点相对另一质点的位移的点积。对另一质点的位移的点积。2.2.一对力的功一对力的功 m2相对于相对于m1的元位移。的元位移。 21rd2211rdfrdfdA 对对212122)(rdfrrdf A1A2B1B2m1m21r2r21rO1r d2r d1f2f1) dA对对 与参考系选取无关。与参考系选取无关。 为方便起见，计算时常认为其中一个质点静止，为方便起见，计算时常认为其中一个质点静止，并以该质点所在位置为原点，计算另一质点受力并以该质点所在位置为原点，计算另一质点受力所做的功，这就是一对力的功。所做的功，这就是一对力的功。说说明明 2) 2) 一对滑动摩擦力的功恒小于零一对滑动摩擦力的功恒小于零 Sm f地面地面S f以地面为参考系：以地面为参考系： SfSfA 对对 以滑块为参考系：以滑块为参考系：SfSfA 对对Sf 3) 3) 在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下， 一对力的功必为零。一对力的功必为零。NNv1Mv12光滑光滑m21v21v 不不垂垂直直于于N0 NA2v 不垂直于不垂直于N 0 NA0 NNAAA对对但但图中图中）即即（1212d,rNN v例例. . 固定的水平桌面上有一环带，环带与小物体的固定的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦摩擦 系数系数 m m ，在外力作用下小物体（在外力作用下小物体（质量质量 m )以速以速率率 v 做匀速圆周运动。做匀速圆周运动。 求求: : 转一周摩擦力做的功。转一周摩擦力做的功。rvmf2 解：小物体对环带压力解：小物体对环带压力摩擦力的大小摩擦力的大小: :rvmfF2 m mm mm mrom10dsFrdFdA m mdsrvmdAArr22020 m m22mv m m 1.5.3 1.5.3 保守力和势能保守力和势能一一. .保守力定义保守力定义如果力所做的功只与物体的始末位置有关而如果力所做的功只与物体的始末位置有关而与路与路径无关径无关, ,这样的力称为保守力这样的力称为保守力. .或或: : 物体沿物体沿闭合路径闭合路径绕行一周绕行一周, ,力对物体所力对物体所做的做的功等于零功等于零, , 这样的力称为保守力这样的力称为保守力如如: : 重力、万有引力、静电力、弹性力。重力、万有引力、静电力、弹性力。 二二. .非保守力非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力作功与路径有关的力称为非保守力(1)(1)作功为负，摩擦力（耗散力作功为负，摩擦力（耗散力) )；(2)(2)作功为正，爆炸力。作功为正，爆炸力。1. 1. 重力重力 A)(BB)(A21LLdAdAdAhAhBhAB12 cosBABA rdmgrdFAdhrd cos)(ABhhmghmghmgdhBA 无论物体沿无论物体沿1路径还是路径还是2路径路径结果都如此结果都如此0 ABBAhhhhmgdhmgdh三、几种保守力三、几种保守力mgirdi mg可见，重力的功只与初末位置有关，与路径无关。可见，重力的功只与初末位置有关，与路径无关。ABABrGMmrGMmA 一对万有引力做功之和只与两质点的始末相对位置有关。一对万有引力做功之和只与两质点的始末相对位置有关。rdrrGMmrdfA BA2BAAB1cosr drdrdr drrGMmArr BA2AB2.2.万有引力万有引力质点质点M和和m间有万有引力作用间有万有引力作用, ,计算这一对力的功可以计算这一对力的功可以认为认为M静止，且选静止，且选M为原点，则为原点，则M对对m的万有引力为：的万有引力为：Mmrrdr rddrArBrABLrrGMmf2 水平桌面上一个质量为水平桌面上一个质量为m的小物体的小物体, ,沿半径为沿半径为R的的圆弧移动一周圆弧移动一周, , 设摩擦系数为设摩擦系数为 m ms , , 求摩擦力的求摩擦力的 功。功。 fdsrdfA四四. .非保守力非保守力摩擦力的功摩擦力的功fdrRRmgdsmgsRs m mm m 220 2122212121kxkxdxfAxxx 3.3.弹性力弹性力弹力的功只与始末位置有关，与中间过程无关。弹力的功只与始末位置有关，与中间过程无关。x1x2x om摩擦力的功与所经历的路径有关摩擦力的功与所经历的路径有关, ,沿封闭回路的功不为零沿封闭回路的功不为零四、势能四、势能 ( Potential Energy )因此，可定义一个只与位置有关的函数因此，可定义一个只与位置有关的函数 EP , 该该函数被称为系统的势能函数函数被称为系统的势能函数 。222121BAkxkx 弹力的功弹力的功 AAB=重力的功重力的功 AAB= mghA- mghB)()(2121BArmGmrmGm 万有引力的功万有引力的功 AAB=1、几种保守力的功、几种保守力的功特点：保守力的功可以写成两项之差，第一项只特点：保守力的功可以写成两项之差，第一项只与与初位置有关初位置有关，第二项只与，第二项只与末位置有关末位置有关。保守力所作的功等于势能增量的负值保守力所作的功等于势能增量的负值PPPEEEA BAAB(势能差势能差)上式只定义了势能差上式只定义了势能差, , 这样势能的绝对值可以这样势能的绝对值可以相差一个任意常数相差一个任意常数. .2、势能、势能要想求出某点势能值，则应规定一要想求出某点势能值，则应规定一势能零点势能零点如：若规定如：若规定C点的势能为零，点的势能为零，0 pcE即：即：则系统在任意点则系统在任意点 A 的势能为：的势能为： CAACACrdfEEEApppA质点在空间某点的势能值等于把其从该点沿任意质点在空间某点的势能值等于把其从该点沿任意路径移到势能为零的参考点保守力所做的功。路径移到势能为零的参考点保守力所做的功。说明说明: :1)1)势能势能零点零点不同不同, , 势能表达式也不同，各点势能表达式也不同，各点势能值势能值也就不同也就不同, ,但不影响任意两点的但不影响任意两点的势能差势能差. .2） 势能的势能的“所有者所有者”应是系统共有应是系统共有, ,它不属于某它不属于某一一 个质点。它实质上是一种相互作用能。个质点。它实质上是一种相互作用能。3）势能是标量、是状态量。势能是标量、是状态量。 只有对保守内力才能引入相应的势能。只有对保守内力才能引入相应的势能。3、几种保守力的势能、几种保守力的势能mghEp 221kxEp rGmMEp 重力势能：重力势能：弹性势能：弹性势能：万有引力势能：万有引力势能：零点在零点在 h = 0 处。处。零点在零点在 x=0自然伸长处。自然伸长处。零点选在零点选在 处。处。 r4、由势能求保守力、由势能求保守力 cospABdEAFdlFdl cosFFl lddEP PEF yEFPy xEFPx zEFPz PPPEEEFijkxyz 已知保守力可以求势能已知保守力可以求势能如果已知势能分布如果已知势能分布, , 如何求保守力如何求保守力? ? F 在在dl 方向的分量方向的分量,用用Fl 表示表示. B FlAl dlFrmGmEp21 rrmGmrrmGmdrdF)(221211.5.4 1.5.4 机械能守恒定律机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy） 一、功能原理一、功能原理kAkBEEAA 内内外外功能原理功能原理外力和非保守内力做的功等于系统机械能的增量外力和非保守内力做的功等于系统机械能的增量由质点系的动能定理由质点系的动能定理将内力分为两部分将内力分为两部分kAkBEEAAA 内内非非内内保保外外pBpAEEA 内内保保 pAkApBkBEEEEAA 内内非非外外EEEAAAB 内非内非外外系统的机械能系统的机械能 机械能守恒定律机械能守恒定律 当当 只有保守内力做功时系统机械能守恒只有保守内力做功时系统机械能守恒 二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律 三、能量守恒定律三、能量守恒定律一个不受外力作用的系统称为一个不受外力作用的系统称为孤立系统孤立系统1.1.若系统内非保守内力为零，或它不做功，则系统机若系统内非保守内力为零，或它不做功，则系统机械能守恒。械能守恒。2. 2. 若非保守内力作功不为零若非保守内力作功不为零, , 机械能则不守恒机械能则不守恒, ,但各但各种形式能量种形式能量( (包括热能包括热能, ,化学能化学能, ,光能光能) )的总和仍守恒的总和仍守恒, ,这就是这就是普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律, ,这是自然界最普遍的定律这是自然界最普遍的定律之一之一. .由功能原理由功能原理BAAAEE外内非内非0AA外外内非内非0A外ABEE上节课主要内容上节课主要内容 (2) 保守力保守力 (4) 势能势能 重力、万有引力、弹力和静电力重力、万有引力、弹力和静电力 ABABPPPAEEE (5)保守力功与势能保守力功与势能 （1）动能定理）动能定理2122AB2121mvmvA 0f drrGmMEp 零点选在零点选在 处。处。 r作功与具体路径无关作功与具体路径无关（3）一对力的功）一对力的功一对力所做的功，等于其中一个质点受的力和该质点一对力所做的功，等于其中一个质点受的力和该质点相对另一质点的位移的点积。相对另一质点的位移的点积。上节课主要内容上节课主要内容 0AApEf dr势能 点PEF BAAAEEE 外内非(8)功能原理：功能原理： (7)由势能求保守力由势能求保守力 (6)求求A点势能点势能 (9)机械能守恒定律机械能守恒定律 (10)能量守恒定律能量守恒定律四、守恒定律的意义四、守恒定律的意义 1. 1. 守恒定律是关于变化过程的规律。守恒定律是关于变化过程的规律。当满足一定条件下当满足一定条件下, ,不必考虑过程的细节不必考虑过程的细节, ,而对系统而对系统的初、末状态进行讨论。的初、末状态进行讨论。这就是各个守恒定律的特点和优点。这就是各个守恒定律的特点和优点。2. 2. 当守恒定律不成立时当守恒定律不成立时, , 再考虑动量定理、动能定再考虑动量定理、动能定理理, , 分析力的两个积累效应。分析力的两个积累效应。121221kkBAttEErdFAPPdtFI443. 3. 若研究物体瞬时状态若研究物体瞬时状态, , 用牛顿运动定律。用牛顿运动定律。解：设碰撞后两球速度解：设碰撞后两球速度21vvv 由动量守恒由动量守恒21vv,两边平方两边平方22212122vvvvv 由机械能守恒（势能无变化）由机械能守恒（势能无变化）22212vvv 021 vv两球速度总互相垂直两球速度总互相垂直例：在光滑的平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中例：在光滑的平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一球速度一球开始时处于静止状态，另一球速度 v。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。例例: : 一种实验小车质量为一种实验小车质量为M，摆球质量为，摆球质量为m, ,轻摆杆轻摆杆长为长为L，摆从水平位置自由下摆，求到达最低点时小，摆从水平位置自由下摆，求到达最低点时小车和摆球的速度车和摆球的速度V和和v. . 计算中忽略摩擦计算中忽略摩擦. . VvmML解解: : 取取 m, M, 地球地球作为一个系统作为一个系统, ,水平方向不受外力水平方向不受外力, , 水平动量守恒水平动量守恒，另外整个过程只有保守力，另外整个过程只有保守力( (重力重力) )做功做功, , 整个过程机械能守恒整个过程机械能守恒 水平动量守恒水平动量守恒: : - mv + MV = 0 机械能守恒：机械能守恒： mv 2 + MV2 = mgL2121解之得：解之得： gLMmMv2 gLMmMmV2)(2 例 质点在力的作用下由 移到 ，路程为 s，若力函数分别为 和 ，其中 k1 和 k2 为常数，和 是单位矢量，求 和 的功，并判断是否为保守力。11fk r22fk varbr r v1f2frdrrOarbrdr rsrd解：1111()babrarbaAk r drk drk rr1cosr drdrdr 1cos0v drdrdrds 两个力的功分别为2222bbaaAk v drk dsk s所以 的功与路径无关，为保守力； 的功与路径有关，为非保守力。1f2f例：例： 两小球质量为两小球质量为 m1, m2，其间距为其间距为 l0，它们间只存在的万有引它们间只存在的万有引力，初始时刻力，初始时刻m2静止。若使小球静止。若使小球 m1 以匀速以匀速 v0 沿两小球连线方向沿两小球连线方向向外运动，需加一变力向外运动，需加一变力 F 。求求:(1) 两小球间的最大距离及最大距两小球间的最大距离及最大距离时所加的外力离时所加的外力 F 的大小；的大小；(2) 变力变力 F 在此过程中所做的功。在此过程中所做的功。外力外力 F 等于两小球间的万有引力；等于两小球间的万有引力；m2 受受万有引力作用从静止开始做变加速运动，万有引力作用从静止开始做变加速运动，当速度达到当速度达到 v0 ，两小球间的距离最大。两小球间的距离最大。解解:voFm1m2l0ff考虑考虑 m1 、 m2 构成系统，以构成系统，以 m1 为为参照系，参照系， m2 以初速度以初速度 v0 离开，离开， m2 只受万有引力，机械能守恒：只受万有引力，机械能守恒：max00lmGmlmGmvm212121202 对两小球构成的系统，由功能原理：对两小球构成的系统，由功能原理：)(0()(vm21(A021max21202FlmGmlmGmE202vm 2maxlmGm21F注意：注意： 势能是一种相互作用能（系统内部保守力的功），不能势能是一种相互作用能（系统内部保守力的功），不能在用隔离物体法考虑单个物体时应用势能的概念。在用隔离物体法考虑单个物体时应用势能的概念。maxlm2 只受万有引力，机械能守恒：只受万有引力，机械能守恒：初时刻：动能，势能初时刻：动能，势能末时刻：动能，势能末时刻：动能，势能maxlmGm21 0lmGm21 202vm21max00lmGmvm21lmGm2120221 m2 只受万有引力，机械能守恒：只受万有引力，机械能守恒：初时刻：动能，势能初时刻：动能，势能末时刻：动能，势能末时刻：动能，势能maxlmGm21 0lmGm21 202vm21max00lmGmvm21lmGm2120221 牛顿力学的基础框架和理论体系：牛顿力学的基础框架和理论体系：(1)微元分析法；微元分析法； （2）科学抽象法；）科学抽象法； （3)分析守恒条件。分析守恒条件。