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一. 运用差商求数值微分最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商.可可用用差差商商来来逼逼近近导导数数充充分分小小时时当当,hhhxfhxfhhxfxfhxfhxfxfxiihiihiihii)2()2(lim)()(lim)()(lim)( ,000 处处在在点点根根据据导导数数定定义义第1页/共24页1()()():.iiiiiiiif xf xhffxhhffffx 称称为为 在在 点点的的一一一一阶阶阶阶向向后后差差商商式式向向后后差差分分公公1()()():.iiiiiiiif xhf xffxhhffffx 称称为为 在在 点点的的一一一一阶阶阶阶向向前前差差商商式式向向前前差差分分公公1122()()2:2().iiiiiiiihhfxfxffxhhffffx 一一 阶阶 中中 心心称称 为为在在的的 一一 阶阶 中中差差 商商 公公心心 差差 分分式式第2页/共24页11112222()( )( )()( )( )()()()iiiiiiiiiiiiffffxO hO hhhffffxO hO hhhffffxO hO hhh 一一阶阶向向前前差差商商公公式式一一阶阶向向后后差差商商公公式式一一阶阶中中心心差差商商公公式式利用Taylor展开可导出数值微分公式并估计误差.()()()( )2iiif xhf xhfxfh 得得一一阶阶向向前前差差商商公公式式2( )()()()( )2iiiif xxhTaylorhf xhf xfx hf 对对在在点点 以以 为为增增量量作作展展开开有有证证明明: :第3页/共24页一阶导数的三点公式：2121( 34)()2iiiiffffO hh 证明:231232( )2()(1)242()(2)2iiiiiiiiif xxhhTaylorhffhffO hhffhffO h 将将在在点点 处处分分别别以以增增量量 和和作作展展开开，有有412if 由由 （ ）（ ）可可消消去去可可得得到到三三点点公公式式同样的方法可以得到其它的三点公式是：21222121()()21(43)()2iiiiiiifffO hhffffO hh 第4页/共24页22211222()()()iiiiifffffxO hO hhh 二二阶阶中中心心差差商商公公式式211221111:()()()():(12)iiiiiiiiiiifffffffffff 证证验验证证明明23342334( )11()()()()()()23!11()()()()()()(223!iiiiiiiiiiif xxhTaylorf xhf xfx hfx hfx hO hf xhf xfx hfx hfx hO h （ ）（ ）对对在在点点 以以 为为增增量量作作展展开开有有)(2)(2211 2hOhfffxfhiiii 得得：两两式式相相加加除除以以第5页/共24页二、运用插值函数求数值微二、运用插值函数求数值微分分baxxLxfnxnnfn )()()(1)1()!1()(设Ln(x)是f(x)的过点x0 ，x1 ，x2 ，xn a，b的 n 次插值多项式，由Lagrange插值余项,有对任意给定的xa，b，总存在如下关系式:若取数值微分公式)()(xLxfn 误差为:)!1()()()()!1()()()()() 1(11) 1( ndxdxxnxLxfxRxnnnxnnffn 第6页/共24页(1)(1)10( )( )()()()()()(1)!(1)!nnniiniininiikkk iRxfxL xxxxnnff (1)1(1)1()( ),(1)!()()0,(1)!nxnxnxnidxdxndxdxnff 中中是是未未知知的的 其其误误差差不不能能估估计计注注意意到到在在插插值值节节点点处处此此时时的的余余项项为为因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值0110101()( )( )() ( )0,1,.,)()( )()()()()kknkkkknkkkninikkikxxxxxf xL xf x lxxxlxixxxxnxxxxx 称为n+1点求导公式。第7页/共24页常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式.当n=1时,有1 , 0)(!2)()()()(2)2(11 ixxLxfxRiiiiif 1 , 0)()()()(01011 ixxxfxfxLxfii1000011112010()()()()(1)2()()()()(2)21(2)hxxf xhf xhfxfhf xf xhhfxfhxx 令令（ ）称称为为点点的的向向前前差差商商公公式式，称称为为点点的的向向后后差差商商公公式式。第8页/共24页例1 设f(x)=lnx，x0=1.8，用2点公式计算f (x0)。0222( )(),221.81.81.81.8(1.8)(1.8)(1.8)(1.8)2(1.8)2(1.8)0.10.54067220.01543210.57158410.01730100.010.55401800.00154320.55710450.00156050.0010.5554hfhfxhhfhfhffhhhhhh 计计算算的的误误差差为为这这里里或或列列表表计计算算如如下下：解解：.0130.00015430.555709930.0001545(1.8)0.555f 第9页/共24页当n=2时,有2 , 1 , 0)()(61)(2)()(2)()(2)()()(61)()()(20)3(12021022101201201021020)3(20 ixxfxxxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxfxxfxlxfxfikkkiiiiiikkkiiikkki 当节点等距时，即有 x1=x0+h, x2= x0+2h, h0,上述公式可简化为 第10页/共24页2002012)3(221021)3(20210)3(22100,2,)(32)(3)(4)()()(62)()()()(32)()(4)(3)(xxhxxhxxfhhxfxfxfxffhhxfxfxffhhxfxfxfxfi 这这里里有时，也将xi统一表为x0,将上述公式写成如下形式2(3)000002(3)00012(3)00002003()4()(2 )()()(3)23()()()()(4)26(2 )4()3()()()(5)23,0,1,2.(3) (4) (5)3if xf xhf xhhfxfhf xhf xhhfxfhf xhf xhf xhfxfhxhxh i 、 、 称称为为 点点公公式式。n=2时，计算f(x0)的误差是O(h2),且（4）的误差最小。第11页/共24页2(3)000002(3)00012(3)000023()4()(2 )()()(3)23()()()()(4)26(2 )4()3()()()(5)23fxfxhfxhhfxfhfxhfxhhfxfhfxhfxhfxhfxfh 例2 设f(x)=xex，x0=2，用3点公式计算f (x0)。21113450.122.03231022.22879022.0545250.222.4141636.16101.35101.13102.4710()(1),(2)22.167168xhfxxef 公公式式（ ）公公式式（ ）公公式式（ ）误误差差()1.810.8893651.912.7031992.014.7781122.117.1489572.219.855030 xfx较精确第12页/共24页由上式， f (2) 22.166996，误差为：1.6910-4用5点公式计算f (2) ：当n=4时,可得到5点公式：000004(5)00(2 )8 ()8 ()(2 )()12()(6),22 ,030f xhf xhf xhf xhfxhhfxhxhh 中点求导公式：中点求导公式：第13页/共24页00004(5)00200001() 25()48()36(2 )1216(3 )3(4 )()(7)54 ,04,0fxf xf xhf xhhhf xhf xhfxxhhxhxh 端端点点求求导导公公式式：计计算算左左端端点点：，计计算算右右端端点点：5点公式计算f (x0)的误差是O(h4),且中点公式（6）的误差小于端点公式（7）。第14页/共24页 在构造数值微分公式时，不仅要考虑公式的截断误差，而且还要考虑公式的舍入误差。2(3)0001()()()()(4)26f xhf xhhfxfh 考考察察公公式式：000000()()()()()()f xhf xhe xhf xhf xhe xh 设设000002(3)1(4)()()()()()22()6f xhf xhe xhe xhfxhhhf 则则式式为为第15页/共24页计算f (x0)的总误差是：2(3)000001()()()()()( )226f xhf xhe xhe xhhf xfhh 从截断误差 (h2/6)f (3)(1）的角度看，h 越小误差越小。但从舍入误差的角度看，h不能太小。误差界为：e(h)=e/h +(h2/6)M, 这里 e=maxe(x0h), M= max f(3)(x)第16页/共24页解：利用公式(0.900)(0.900)(0.900)2fhfhfh 计算。计算。(0.900)0.0010.625000.003390.0020.622500.000890.0050.622000.000390.0100.621500.000110.0200.621500.000110.0500.621400.000210.1000.620550.00106hf 近近 似似误误 差差例3: 设 f(x)=sin x ，计算f (0.900)=cos0.900的近似值。第17页/共24页三. 运用样条插值函数求数值微分 用三转角方程和三弯矩方程可以分别求出在节点处函数f(x)的一阶导数和二阶导数的近似值.(0,1, )(0,1, )iiiifminfMin 四. 运用数值积分求数值微分( )( )( )( )( )( )( )( )xxyf xF xF xfxf xxRf xf xF t dt 设设函函数数的的导导函函数数是是，即即，则则可可将将函函数数用用定定积积分分的的形形式式表表示示出出来来，对对第18页/共24页111111,()()( )(1,2,1)kkkkxkkxxxxxf xf xF t dtkn 取取，得得到到11113( )( )2()()kkkkxxxkxF t dtF t dthF xO h 若若对对积积分分用用中中矩矩形形公公式式计计算算，即即得到311211()()2()()()()()()()2kkkkkkkf xf xhF xO hf xf xF xfxO hh 11,kkxx 这这就就是是在在上上用用中中心心差差商商构构造造的的数数值值微微分分公公式式。第19页/共24页11011(0,1, )( )(4)(1,2,1)3kkkxkkkxxxkh knhF t dtFFFkn 设设已已知知等等距距节节点点上上的的数数值值积积公公为为例例分分式式( )( )( )(0,1, ),( )()(0,1, )( )( )xkxkf xf xF t dtxknyf xfxknF xfx 试试用用构构造造在在节节点点上上 求求函函数数的的导导数数的的数数值值微微分分公公式式第20页/共24页111101(4)(1,2,1)3,kkkkknhfffffknfff这这是是一一个个关关于于的的线线性性代代数数方方程程组组111134()(1,2,1)kkkkkfffffknh解：将数值积分公式代入( )( )( )xxf xf xF t dt 第21页/共24页04114114114nffA 再再补补充充两两端端一一阶阶导导数数值值和和 ，则则上上式式就就是是一一个个封封闭闭的的线线形形方方程程组组，其其系系数数矩矩阵阵是是严严格格对对角角占占优优矩矩阵阵。0121,nnfffff 于于是是方方程程组组存存在在唯唯一一解解，可可解解出出。第22页/共24页二版习题11112122(2)iiiiiiifffhffffh （）三版习题 P251-19试导出以下数值微分公式,并估计截断误差.第23页/共24页感谢您的观看！第24页/共24页
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