正定矩阵及其应用

-本科毕业论文(设计)正定矩阵及其应用学生：学 号：专 业：指导老师：答辩时间：装订时间：. z.-A Graduation Thesis(Project)Submitted to School of Science， Hubei University for NationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016Positive definite matrices and their applicationsStudent Name: Student No.: Specialty:s Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:. z.-摘要矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用.关键词：矩阵 正定二次型 正定矩阵 极值 AbstractThe matri* is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , e*tending from the m- atrices, the positive definite matri* is a special matri*, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholarsattention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matri*primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matri* and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function e*tremum.Keywords: matri*， positive definite quadratic， positive definite matri*， e*tremum . z.-目录摘要IAbstractII1绪论11.1 课题背景11.2 课题研究的目的和意义11.3 国外研究概况22 预备知识32.1 矩阵32.2二次型53正定矩阵83.1正定二次型83.2正定矩阵的判定定理94正定矩阵的应用134.1正定矩阵的相关命题134.2正定矩阵在函数极值中的应用14总结与展望18致19. z.-1绪论我们知道矩阵是高等代数中非常重要的容之一. 在学习高等代数时，矩阵方面的知识也经常被用到. 而正定矩阵又是矩阵中的重点，它不单单用来解决数学中的问题，还应用于许多的科学领域. 本课题阐述了正定矩阵研究背景、正定矩阵的研究的目的和意义、正定矩阵的现状以及发展方向，明确指出了研究正定矩阵应用所面临的问题.1.1 课题背景正定矩阵作为一类常用矩阵，对它的研究最早出现在二次型中. 它也是从正定二次型中抽象出来的一个概念，有了正定矩阵的概念后，解决二次型的问题就变得简单方便. 不仅在代数学中应用广泛，在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 因此它的性质、定理以及应用问题一直备受学者关注. 而在实际生活问题中也经常出现一些相关数学问题，而用正定矩阵解决问题可能会更方便简洁一点. 这就需要我们研究正定矩阵的应用，如正定矩阵在四则运算、在函数极值、在不等式中的应用. 因此可以使得我们可以更好地使用正定矩阵这一重要工具. 本文通过对正定矩阵的理解和掌握，查阅各种相关资料，对正定矩阵及其相关知识点进行归纳总结，并且由此给出了正定矩阵在四则运算和函数极值及中的应用.根据课题研究容和手中相关文献资料，了解课题研究现状，学习掌握相关理论基础知识，并进行初步研究，撰写开题报告.1.2 课题研究的目的和意义矩阵是代数中一个非常重要的概念，是研究和解决数学问题的一个重要工具. 而正定矩阵是一类非常重要的矩阵，在矩阵中扮演着重要的角色，因此是我们学习矩阵时不可忽略的重点. 本文对我们对数学感兴趣的学生深入理解和掌握正定矩阵理论有非常重要的意义. 能够加强我们对正定矩阵的掌握，也可以促进正定矩阵理论的进一步完善，丰富正定矩阵的应用，加强我们对正定矩阵的理解，丰富矩阵的理论知识. 有助于我们对整个高等代数知识的一体化的认识. 从而可以培养我们对代数知识的串联思想. 正定矩阵多方面的应用，能够开阔我们的视野，加强我们的联想能力，引起我们对数学的探究欲望，对知识的渴望. 研究矩阵的正定性，在代数理论和应用中具有重要意义. 正定矩阵不仅在数学方面，在其他各个领域都具有广泛的应用价值，因此引起了学者们极大的研究兴趣. 这些研究不断丰富了正定矩阵的理论知识，也引起了我们对正定矩阵的兴趣.1.3 国外研究概况随着数学的影响力越来越大，矩阵对数学的研究也显得越来越重要. 在代数方面，正定矩阵也同样占有非常重要的地位. 因此人们对正定矩阵的研究也越来越广泛. 因而对正定矩阵的理解和应用也越来越深入，其应用围也越来越广泛. 在函数学、几何学、经济学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用.在历史上，正定矩阵的相关研究最早出现在二次型和Hermite型中. 但是当时对于的正定矩阵局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵. 1970年，Johnson引入了不再局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵实对称矩阵的概念. 他给出了正定矩阵较为广义的定义. 1985年，炯生也给出了正定矩阵较为广义的定义. 1984年，佟文廷再次将正定矩阵的定义进行了推广. 他给出了推广正定矩阵的各种定义. 1988年，夏长富将实对称矩阵的正定性做了深入推广. 他又进一步极大的丰富了正定矩阵的理论. 1990年，屠伯埙将各类广义正定矩阵进行深度结合. 他重新定义了广义正定矩阵，将它称之为亚正定矩阵. 在研究正定矩阵的过程中，许多学者取得了惊人的理论成果，其成果也得到了广泛的应用. 除了对正定矩阵的研究，许多学者还对正定矩阵相关容进行了研究，同样取得了巨大的成就. 近年来，在完善正定矩阵理论成果的历史中，得出了许多其他的概念和定理，将各类正定阵统一起来. 这些新的研究成果对完善正定矩阵的理论和其应用具有非常大的价值.虽然对正定矩阵的研究这么广泛，但是这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面. 它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. z.-2 预备知识2.1 矩阵定义2.1.1 由个数排成的行列的数表，称为矩阵，记作特殊地，当时，矩阵称为方阵.定义2.1.2 把一矩阵的行列互换，所得到的矩阵称为的转置. 记为(或者记为).即， 设，所谓的地转置就是指矩阵显然，矩阵的转置是矩阵，即，则转置矩阵满足以下运算规律 数域上的矩阵称为对称矩阵，如果.即若,且满足,则称为对称矩阵. 任意一个阶实对称矩阵，都存在一个阶正交矩阵，使得成对角型. 对角线上的元素为矩阵的特征根.定义2.1.4 数域上的矩阵称为非退化的，如果；否则称为退化的. 即，若则为非退化的.级方阵称为可逆的，如果有级方阵，使得 （1）这里是级单位阵.如果矩阵适合（1），则称为的逆矩阵，记为.注1：只有方阵才可能可逆；注2：非零的矩阵不一定可逆；注3：若可逆，则（1）中的必唯一；注4：若，且可逆，则.设是阶可逆矩阵，下列结论成立：定理2.1.2 矩阵是可逆的充分必要条件是是非退化的.定义2.1.6 数域上矩阵称为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使合同是矩阵之间的的一个关系，不难看出，合同关系具有:（1） 反身性：（2） 对称性：由即得（3） 传递性: 由和 即得定义2.1.7 设是两组文字，系数在数域中的一组关系式（2）称为由到的一个线性替换，或者简称线性替换，如果系数行列式则线性替换（2）称为非退化的.2.2二次型设是一数域. 一个系数在数域中的的二次齐次多项式 (3) 称为数域上的一个元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型.令，由于，所以二次型（3）可以写成 （5）把（5）的系数排成一个矩阵，它就称为二次型（5）的矩阵. 令于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来.故定理2.2.1 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角阵. 即，对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵使成对角矩阵. 二次型经过非退化的线性替换所变成的平方和形式称为二次型的一个标准形. 即为二次型的标准形. 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规形. 且规形是唯一的.即任一复数的对称矩阵合同于的对角阵.定义2.2.4 实二次型经过*一个非线性替换，可使 变成标准形，再做一次非退化线性替换就变成，称为实二次型 的规形.3正定矩阵在二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 作为本章的开始，我们给出了它的定义，引出正定矩阵的定义. 正定矩阵同样占有非常特殊的地位，我们给出了正定矩阵的判定定理.3.1正定二次型定义3.1.1 在实二次型 的标准型形中，正平方项的个数称为 的正惯性指数；负平方项的个数称为 的负惯性指数；它们的差称为 的符号差. 实二次型 称为正定的. 如果对于任意一组不全为零的实数 都有 .定理3.1.1 元实二次型 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于.推论3.1.1 正定矩阵的行列式大于零.定义3.1.3 在阶矩阵中任选行，再取相同行号的列，所选取的行列交汇处的个元素组成的新的矩阵称为阶矩阵的一个阶主子式. 子式，称为矩阵的顺序主子式.实二次型是正定的充分必要条件为：矩阵的顺序主子式全大于零.定义3.1.5 若对于方阵存在一个非零向量和实数，使得成立. 则称为矩阵的特征值，称为相对于的特征向量. 设实二次型（为对称矩阵). 如果对于任意的，有，则称该二次型为正定二次型. 矩阵为正定矩阵.注：本文所讨论的都为实正定矩阵.3.2正定矩阵的判定定理实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵，使得. 证明 必要性 因为矩阵为正定矩阵，所以矩阵合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵，使得， 即，若我们记，则有 充分性 设存在可逆矩阵使得，则对任意 ， 有，若我们记. 则，所以矩阵为正定矩阵.实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵，使得. 证明 充分性 因为矩阵为正定矩阵，所以矩阵对应的是正定二次型. 因此可以经过非退化线性替换. 其中. 使得所以有. 必要性 存在可逆矩阵使得 ，则其对应的二次型 因为正定二次型，所以也为正定二次型. 所以其对应的矩阵为正定矩阵.实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵的正惯性指数. 证明 充分性 因为矩阵为正定矩阵. 由定理3.2.2知矩阵合同于单位阵. 所以矩阵的正惯性指数为. 必要性 因为矩阵的正惯性指数为，由定理3.1.1知矩阵对应的二次型为正定二次型. 因此矩阵为正定矩阵.实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵的所有顺序主子式都大于零. 证明 充分性 因为矩阵为正定矩阵，所以矩阵对应的二次型为正定二次型. 则构造函数也为正定二次型. 所以其对应的矩阵顺序主子式为正定矩阵，即. 所以正定矩阵的所有顺序主子式都大于零. 必要性 因为矩阵的所有顺序主子式都大于零，所以矩阵的任一顺序主子式对应的二次函数都为正定二次型. 因此当时对应的二次型为正定二次型. 即对应的矩阵为正定矩阵.例3.2.1 设二次型，求的取什么围，使得为二次型.解 二次型的矩阵为.由定理3.2.4得得得综合可知当时，正定.实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵的所有主子式都大于零. 证明 设正定矩阵，则它的任一阶主子式为.作二次型和 对任意，都有其中，由于正定，所以. 从而 由的任意性即证是正定二次型，即 例3.2.2 判断是否为正定矩阵. 解 我们直接可以看出矩阵的主子式不全大于零.实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵的所有特征值都大于零. 证明 由定理2.1.1知对于对称矩阵存在一个阶正交矩阵. 使得成对角型. 对角线上的元素为矩阵的特征根. 充分性 因为矩阵为正定矩阵，所以存在正交矩阵，满足. 其中是矩阵的全部特征值. 则矩阵对应的二次型为. 令，则有又因为矩阵为正定矩阵，所以二次型为正定二次型. 因此矩阵的特征值全部大于零. 必要性 因为矩阵的特征值都是大于零，所以存在正交矩阵，满足. 则矩阵所对应的二次型 所以二次型是正定二次型. 因此矩阵为正定矩阵.4正定矩阵的应用正定矩阵作为本论文的中心容，我们不仅仅只是研究它的定义和性质，它的应用也是我们需要研究的反向. 正定矩阵的应用非常广泛，它在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 本论文主要研究了它在理论证明中和在函数极值中的应用.4.1正定矩阵的相关命题 若矩阵是阶正定矩阵，则矩阵也是正定矩阵. 证明 因为矩阵为正定矩阵，所以对所有. 因此.命题4.1.2 若矩阵是阶正定矩阵，则也为正定矩阵. 证明 因为所有，所以. 若矩阵都是阶正定阵，则也是正定阵.证明 因为，所以. 所以是对称矩阵 又因为为正定矩阵，所以存在可逆矩阵，使得 因此. 又因为正定， 且与相似，所以正定.命题4.1.4 设矩阵是正定阵，则为正定阵. 证明 因为矩阵为正定矩阵. 所以存在可逆矩阵，使得. 因此 . 所以 正定. 又因为，所以也是正定阵.命题4.1.5 设矩阵为正定阵，则与矩阵合同的矩阵也是正定阵. 证明 因为正定矩阵合同于单位矩阵，又因为合同矩阵具有传递性 所以结论成立.命题4.1.6 若矩阵为正定矩阵，则矩阵的绝对值最大的元素一定在矩阵的主对角线上. 证明 设，. 这与矩阵为正定矩阵矛盾.判断矩阵是不是正定矩阵. 解 因为绝对值最大的元素不在主对角线上，所以矩阵不是正定矩阵.4.2正定矩阵在函数极值中的应用定义4.2.1 设元函数在的*个邻域存在一阶和二阶连续偏导数.记.称为函数在点处的梯度，或记为设元函数有二阶连续偏导数，并且在处的一阶偏导全部为零. 则称为的一个驻点，则阶矩阵.称为在点的黑塞矩阵.定理4.2.1 设函数的一阶和二阶连续偏导数存在.并且在处的一阶偏导为零. 则由函数二阶偏导所确定的元黑塞矩阵，满足 （1）当为正定矩阵时，在处取得极小值； （2）当为负定矩阵时，在处取得极大值； （3）当为不定矩阵时，在无极值. 证明 因为在的所有二阶偏导数都存在，所以由泰勒公式得 又因为在处的一阶偏导为零， 所以 所以我们可以得到 当时，所以.因为时 所以存在的一个领域，使得在这个区域的符号与的符号一致.所以由实二次型及正定矩阵的定义可以证明以上定理的正确性.例4.2.1 求三元函数的极值. 解 求驻点 所以驻点为. 求得二阶偏导分别为 所以矩阵 ， 由以上判定定理可知为正定矩阵. 所以在处取得极小值，极小值为例4.2.2 求三元函数的极值. 解 求驻点 所以驻点为，. 求得二阶偏导分别为 所以矩阵. 所以矩阵 在处的顺序主子式为 由定理3.2.4知矩阵不是正定矩阵，所以不是的极值点. 在处的顺序主子式为 由定理3.2.4知矩阵是正定矩阵，在处取得极小值，极小值为 总结与展望正定矩阵在高等代数中有很多重要的应用，其实质就是简化二次型的运算. 本文一共有四章. 第一章主要介绍了本文的研究背景和现状；第二章归纳了部分矩阵知识和二次型知识；第三章通过正定二次型导出正定矩阵的定义，并且整理了正定矩阵的相关知识，着重归纳证明了正定矩阵的六个判定定理及其证明；第四章在前面两部分的知识基础上，给出了正定矩阵的六个命题及其证明，给出了解决了函数极值存在问题的方法，即正定矩阵在函数极值中的应用. 从代数方面解决分析问题，使我意识到数学的跨度非常大，我们应该加强自己的逻辑思维和联想能力并且要学会多方面思考问题.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，也可能总结不太完整，归纳的不够完善，这就希望其它研究者完善，还有它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 本文作者知识和写作水平有限，不足之处请读者和专家批评指正.致在论文完成之际，我首先要向我的指导老师老师表示最真挚的意，本论文是在导师老师的悉心指导下完成的.在论文写作期间，老师一边要兼顾自己的学业一边还耐心认真地指导我的论文，不辞辛苦，花费了许多宝贵时间和心血. 导师渊博的学识，宽厚待人的学者风，严谨求学的治学态度，忘我的敬业精神让我受益匪浅. 能够师从先平老师，是我的幸运，更是我的荣幸.衷心感和我是同一个指导老师的付江林同学. 感他帮助我指正和修改我论文的不足之处. 因为他的帮助我才能顺利完成我的论文.感我的室友们，感他们的督促与各方面的帮助.还有感我的家人们，没有他们的支持，我的论文不可能顺顺利利的完成.最后，向评阅论文和参加论文答辩的老师们表示由衷的感.由于我知识水平的限制，再加上我写此论文的时间仓促. 文中难免有错误和有待改进之处. 真诚欢迎各位老师、同学提出宝贵意见.参考文献1 慕生. 高等代数M. 复旦大学, 2007.9.2 王蕚芳. 石生明. 高等代数M. . 高等教育, 2003.9.3 岳贵鑫. 正定矩阵及其应用J. 省交通高等专科学校学报, 2008, 10(5):31-33.4 周杰. 矩阵分析及应用M. 大学, 2009.7.5 王松江. 矩阵不等式M. 科学. 科学, 2006.5.6 文杰. 静. 多元函数的极值问题J. 工业大学学报:自然科学版, 2004, 24(1):27-30.7 邵东南. 马鸿. 正定矩阵的性质及应用.大学学报:自然科学版(2), 1999, 59-62.8 黄云美. 正定矩阵的性质及其应用.职业学院学报, 17.3(2011).9 王昊. 正定矩阵的性质及应用J. 城市建设理论研究:电子版, 2011(20):59-62.10 路红军. 一类正定矩阵的性质及其应用J. 工学院学报, 2003, 12(3):6-7.11 史秀英. 正定矩阵的等价命题及其应用J. 学院学报:自然科学版, 2000(2):44-47.12 Roger A.Horn . 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