同济六版高等数学第一章第1节课件学习教案

会计学1同济同济(tn j)六版高等数学第一章第六版高等数学第一章第1节课节课件件第一页，共49页。1.集合集合 集合是指具有某种特定(tdng)性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识.元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.下页第1页/共48页第二页，共49页。v集合(jh)的表示v列举法 v 把集合(jh)的全体元素一一列举出来. v 例如Aa, b, c, d, e, f, g. v描述法 v 若集合(jh)M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为v Mx | x具有性质P . v 例如M(x, y)| x, y为实数, x2y21. 下页第2页/共48页第三页，共49页。v几个数集v 所有自然数构成的集合(jh)记为N, 称为自然数集.v 所有实数构成的集合(jh)记为R, 称为实数集.v 所有整数构成的集合(jh)记为Z, 称为整数集.v 所有有理数构成的集合(jh)记为Q, 称为有理集.v子集v 如果(rgu)集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B).v AB若xA, 则xB.v 显然, NZ, ZQ, QR.下页第3页/共48页第四页，共49页。 设A、B是两个集合, 则 ABx|xA或xB称为A与B的并集(简称并). ABx|xA且xB称为A与B的交集(简称交). ABx|xA且xB称为A与B的差集(简称差). ACIAx|xA为称A的余集(y j)或补集, 其中I为全集.提示: 如果(rgu)研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本集. 下页第4页/共48页第五页，共49页。v集合运算(yn sun)的法则v 设A、B、C为任意三个集合, 则有v (1)交换律 ABBA, v ABBA; v (2)结合律 (AB)CA(BC), v (AB)CA(BC); v (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), v (AB)C(AC)(BC); v (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC. (AB)CACBC的证明(zhngmng)下页所以(suy)(AB)CACBC. xACBC, xAC且xBCxABxA且xB x(AB)C第5页/共48页第六页，共49页。v直积(笛卡儿乘积) v 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合v AB(x, y)|xA且yBv称为集合A与集合B的直积.v 例如(lr), RR(x, y)| xR且yR 即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2. 下页第6页/共48页第七页，共49页。 数集x|axb称为(chn wi)开区间,记为(a, b), 即 (a, b)=x|axb. a, b=x|axb闭区间(q jin). a, b)=x|axb半开区间, (a, b=x|axb半开区间.v有限(yuxin)区间 上述区间都是有限区间, 其中a和b称为区间的端点, b-a 称为区间的长度.下页3.区间和邻域 第7页/共48页第八页，共49页。 (-, b= x|xb, (-, +)= x| |x|+. a, +)= x|ax,v无限(wxin)区间 (-, b)= x|xb, (a, +)= x|a0, 则称v U(a, )=(a-, a+)=x| |x-a|v为点a的邻域, 其中(qzhng)点a称为邻域的中心, 称为邻域的半径.v去心邻域(ln y)U(a, )=x|0|x-a|下页第22页/共48页第二十三页，共49页。v单值函数与多值函数v 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯一的, 这样(zhyng)定义的函数称为单值函数. v 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如(lr), 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:下页 此多值函数(hnsh)附加条件“y0”后可得到一个单值分支 第23页/共48页第二十四页，共49页。下页 表示函数的主要方法有三种(sn zhn): 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的点集 P(x, y)|yf(x), xD称为函数yf(x), xD的图形. v函数(hnsh)的表示法第24页/共48页第二十五页，共49页。 此函数(hnsh)称为绝对值函数(hnsh), 其定义域为D=(-, +),其值域为Rf =0, + ).例 6. 函数-=0 0 |xxxxxy. 例6 例例5 函数函数(hnsh) y=2. 这是一个常值函数这是一个常值函数(hnsh),其定义域为其定义域为D=(-, +),其值域为其值域为Rf =2.下页v函数(hnsh)举例 第25页/共48页第二十六页，共49页。 此函数(hnsh)称为符号函数(hnsh),其定义域为D=(-, +) ,其值域为Rf =-1, 0, 1. 例例8 函数函数(hnsh)y=x. 例7 例 7. 函数-=01000 1sgnxxxxy . 下页注: 设x为任上实数(shsh), 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作x. 此函数称为取整函数,其定义域为D=(-, +),其值域为Rf =Z.第26页/共48页第二十七页，共49页。例 6. 函数+=1110 2xxxxy . 例9 此函数(hnsh)的定义域为D=0, 1(0, +)=0, +). f(3)=1+3=4.v分段函数v 在自变量的不同变化范围中, 对应(duyng)法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 下页第27页/共48页第二十八页，共49页。 设函数f(x)的定义域为D, 数集XD. 如果存在(cnzi)数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 则称函数f(x)在X上有上界. (1)函数(hnsh)的有界性 如果(rgu)存在数K2, 使对任一xX, 有f(x)K2, 则称函数f(x)在X上有下界. 如果存在正数M, 使对任一xX, 有|f(x)|M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 下页第28页/共48页第二十九页，共49页。 f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1.所以(suy)函数无上界.下页函数(hnsh)的有界性举例 第29页/共48页第三十页，共49页。 设函数y=f(x)在区间I上有定义(dngy), x1及x2为区间I上任意两点, 且x1x2. 如果恒有f(x1)f(x2), 则称f(x)在I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 下页第30页/共48页第三十一页，共49页。 设函数(hnsh)f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(-x)=f(x), 则称f(x)为偶函数(hnsh). 如果在D上有f(-x)=-f(x), 则称f(x)为奇函数(hnsh).(3)函数(hnsh)的奇偶性奇偶(q u)函数举例 y=x2, y=cos x都是偶函数. y=x3, y=sin x 都是奇函数.下页第31页/共48页第三十二页，共49页。奇函数的图形对称于原点偶函数的图形对称于y轴奇偶函数的图形(txng)特点下页 设函数f(x)的定义域D关于(guny)原点对称, 如果在D上有f(-x)=f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(-x)=-f(x), 则称f(x)为奇函数.(3)函数(hnsh)的奇偶性第32页/共48页第三十三页，共49页。(4)函数(hnsh)的周期性 设函数(hnsh)f(x)的定义域为D. 如果存在一个不为零的数l,使得对于任一xD有(xl)D, 且f(x+l)=f(x), 则称f(x)为周期函数(hnsh), l称为f(x)的周期.周期函数(hnsh)的图形特点下页第33页/共48页第三十四页，共49页。下页3.反函数与复合(fh)函数 v反函数v 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在(cnzi)逆映射v f 1: f(D)D, v称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯(xgun), yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 例如, 函数y=x3, xR是单射, 所以它的反函数存在, 其反函数为 31yx=, yR. 函数y=x3, xR的反函数是提问: 下列结论是否正确？第34页/共48页第三十五页，共49页。3.反函数与复合(fh)函数 v反函数(hnsh)v 设函数(hnsh) f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射v f 1: f(D)D, v称此映射f 1为函数(hnsh) f 的反函数(hnsh). 按习惯(xgun), yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 若 f 是定义在D上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数f -1必定存在, 而且容易证明f -1也是f(D)上的单调函数. 下页第35页/共48页第三十六页，共49页。 相对于反函数yf 1(x)来说, 原来(yunli)的函数yf(x)称为直接函数. 函数yf(x)和yf 1(x)的图形关于直线 yx 是对称的. 3.反函数与复合(fh)函数 v反函数v 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在(cnzi)逆映射v f 1: f(D)D, v称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, y=f(x), xD的反函数记成y=f -1(x), xf(D). 下页第36页/共48页第三十七页，共49页。3.反函数与复合(fh)函数 设函数yf(u)的定义(dngy)域为D1, 函数ug(x)在D上有定义(dngy)且g(D)D1, 则由 yfg(x), xD确定的函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义(dngy)域为D, 变量u称为中间变量. v复合(fh)函数 函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g, 即 (f o g)(x)=fg(x). 说明: g与f 构成的复合函数f o g的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域Df 内, 即g(D)Df . 否则, 不能构成复合函数. 例如下页第37页/共48页第三十八页，共49页。 设函数f(x), g(x)的定义(dngy)域依次为D1, D2, DD1D2, 则可以定义(dngy)这两个函数的下列运算: 和(差) f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD;下页第38页/共48页第三十九页，共49页。 例10 设函数(hnsh)f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l)上的偶函数(hnsh)g(x)及奇函数(hnsh)h(x), 使得f(x)g(x)h(x). 提示(tsh): 如果(rgu)f(x)g(x)h(x), 则f(x)g(x)h(x), 于是 证 则 f(x)=g(x)+h(x), 且下页第39页/共48页第四十页，共49页。v基本初等函数v 幂函数: yx (R是常数(chngsh); v 指数函数: ya x(a0且a1); v 对数函数: yloga x (a0且a1), v 特别当ae时, 记为yln x;v 三角函数: ysin x, ycos x, v ytan x, ycot x, v ysec x, ycsc x; 5.初等(chdng)函数 下页 反三角函数(snjihnsh): yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . 第40页/共48页第四十一页，共49页。5.初等(chdng)函数 v初等函数 v 由常数(chngsh)和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 都是初等(chdng)函数. 例如, 函数下页第41页/共48页第四十二页，共49页。非初等函数非初等函数(hnsh)举例举例:符号(fho)函数xysgn=取整函数(hnsh)xy =第42页/共48页第四十三页，共49页。双曲函数 应用(yngyng)上常遇到的双曲函数是: 双曲正弦:2sh xxeex-=双曲余弦:2ch xxeex-+=双曲正切:xxxxeeeexxx-+-=chshth 下页v双曲函数(hnsh)与反双曲函数(hnsh) 第43页/共48页第四十四页，共49页。v双曲函数(hnsh)与反双曲函数(hnsh) 双曲函数(hnsh)的性质比较(bjio) sin(xy)=sin x cos ycos x sin y. sh(xy)=sh x ch ych x sh y, ch2 x- sh2 x=1, ch(xy)=ch x ch ysh x sh y, sh 2x=2sh x ch x, ch 2x=ch2x+sh2x. 比较 cos(xy)=cos x cos y sin x sin y. 下页第44页/共48页第四十五页，共49页。v双曲函数(hnsh)与反双曲函数(hnsh) 反双曲函数(hnsh) 双曲函数 y=sh x, y=ch x, y=th x的反函数依次记为 反双曲正弦: y=arsh x, 反双曲余弦: y=arch x, 反双曲正切(zhngqi): y=arth x.可以证明 结束第45页/共48页第四十六页，共49页。堂上(tngshng)练习=y的反函数及其定义域.21,210 ,ln01, 12-xexxxxx2. P21 第 8题3. P22 第 16题第46页/共48页第四十七页，共49页。=y的反函数及其定义域.21,210 ,ln01, 12-xexxxxx解解:01-x当时,2xy =则1,0(,-=yyx10 x当时,xyln=则0,(,-=yexy21 x当时,12-=xey则2,2(,ln12eyxy+=反函数=y1,0(,-xx0,(,-xex2,2(,ln12exx+定义域为2,2(1,(e-212e21-yox1, 1,0(, 0,(-, 2,2(e第47页/共48页第四十八页，共49页。NoImage内容(nirng)总结会计学。所有实数构成的集合记为R, 称为实数集.。所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集.。设A、B、C为任意三个集合, 则有。设A、B是任意两个集合, 则有序对集合。元素x称为元素y(在映射f下)的一个(y )原像。设f是从集合X到集合Y的映射.。设函数f(x)的定义域为D, 数集XD.。定义域为第四十九页，共49页。