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.一次函数综合题选讲及练习例1如图所示,直线L：y=mx+5m与x轴负半轴,y轴正半轴分别交于A、B两点1当OA=OB时,求点A坐标及直线L的解析式；2在1的条件下,如图所示,设Q为AB延长线上一点,作直线OQ,过A、B两点分别作AMOQ于M,BNOQ于N,若AM=,求BN的长；3当m取不同的值时,点B在y轴正半轴上运动,分别以OB、AB为边,点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF和等腰直角ABE,连EF交y轴于P点,如图问：当点B在y轴正半轴上运动时,试猜想PB的长是否为定值？若是,请求出其值；若不是,说明理由变式练习：1已知：如图1,一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=x的图象交于点C,点C的横坐标为31求点B的坐标；2若点Q为直线OC上一点,且SQAC=3SAOC,求点Q的坐标；3如图2,点D为线段OA上一点,ACD=AOC点P为x轴负半轴上一点,且点P到直线CD和直线CO的距离相等在图2中,只利用圆规作图找到点P的位置；保留作图痕迹,不得在图2中作无关元素求点P的坐标例2如图1,已知一次函数y=x+6分别与x、y轴交于A、B两点,过点B的直线BC交x轴负半轴与点C,且OC=OB1求直线BC的函数表达式；2如图2,若ABC中,ACB的平分线CF与BAE的平分线AF相交于点F,求证：AFC=ABC；3在x轴上是否存在点P,使ABP为等腰三角形？若存在,请直接写出P点的坐标；若不存在,请说明理由变式练习：2如图,直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点,C点与A点关于y轴对称动点P、Q分别在线段AC、AB上点P不与点A、C重合,满足BPQ=BAO1点A坐标是,BC=2当点P在什么位置时,APQCBP,说明理由3当PQB为等腰三角形时,求点P的坐标课后作业：1已知,如图直线y=2x+3与直线y=2x1相交于C点,并且与两坐标轴分别交于A、B两点1求两直线与y轴交点A,B的坐标及交点C的坐标；2求ABC的面积2如图,直线y=x+1分别与坐标轴交于A,B两点,在y轴的负半轴上截取OC=OB1求直线AC的解析式；2如图,在x轴上取一点D1,0,过D作DEAB交y轴于E,求E点坐标3如图,直线L：y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,在y轴上有一点C0,4,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动1求A、B两点的坐标；2当M在x轴正半轴移动并靠近0点时,求COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；当M在O点时,COM的面积如何？当M在x轴负半轴上移动时,求COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；请写出每个关系式中t的取值范围；3当t为何值时COMAOB,并求此时M点的坐标参考答案：例1考点一次函数综合题分析1当y=0时,x=5；当x=0时,y=5m,得出A5,0,B0,5m,由OA=OB,解得：m=1,即可得出直线L的解析式；2由勾股定理得出OM的长,由AAS证明AMOONB,得出BN=OM,即可求出BN的长；3作EKy轴于K点,由AAS证得ABOBEK,得出对应边相等OA=BK,EK=OB,得出EK=BF,再由AAS证明PBFPKE,得出PK=PB,即可得出结果解答解：1对于直线L：y=mx+5m,当y=0时,x=5,当x=0时,y=5m,A5,0,B0,5m,OA=OB,5m=5,解得：m=1,直线L的解析式为：y=x+5；2OA=5,AM=,由勾股定理得：OM=,AOM+AOB+BON=180,AOB=90,AOM+BON=90,AOM+OAM=90,BON=OAM,在AMO和OBN中,AMOONBAASBN=OM=；3PB的长是定值,定值为；理由如下：作EKy轴于K点,如图所示：点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF和等腰直角ABE,AB=BE,ABE=90,BO=BF,OBF=90,ABO+EBK=90,ABO+OAB=90,EBK=OAB,在ABO和BEK中,ABOBEKAAS,OA=BK,EK=OB,EK=BF,在PBF和PKE中,PBFPKEAAS,PK=PB,PB=BK=OA=5=点评本题是一次函数综合题目,考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强,难度较大,特别是3中,需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果变式练习：1考点一次函数综合题分析1把点C的横坐标代入正比例函数解析式,求得点C的纵坐标,然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值,则易求点B的坐标；2由SQAC=3SAOC得到点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的3倍或点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍；3如图2,以点A为圆心,AC长为半径画弧,该弧与x轴的交点即为P；如图3,作P1FCD于F,P1EOC于E,作P2HCD于H,P2GOC于G利用CAODAC,求出AD的长,进而求出D点坐标,再用待定系数法求出CD解析式,利用点到直线的距离公式求出公式,=,解出a的值即可解答解：1把x=3代入y=x得到：y=2则C3,2将其代入y=mx+5m,得：2=3m+5m,解得 m=1则该直线方程为：y=x+5令x=0,则y=5,即B0,5；2由1知,C3,2如图1,设Qa,aSQAC=3SAOC,SQAO=4SAOC,或SQAO=2SAOC,当SQAO=4SAOC时,OAyQ=4OAyC,yQ=4yC,即|a|=42=8,解得 a=12正值舍去,Q12,8；当SQAO=2SAOC时,OAyQ=2OAyC,yQ=2yC,即|a|=22=4,解得 a=6舍去负值,Q6,4；综上所述,Q12,8或6,43如图2,以点A为圆心,AC长为半径画弧,该弧与x轴的交点即为P；如图3,作P1FCD于F,P1EOC于E,作P2HCD于H,P2GOC于GC3,2,A5,0,AC=2,ACD=AOC,CAO=DAC,CAODAC,=,AD=,OD=5=,则D,0设CD解析式为y=kx+b,把C3,2,D,0分别代入解析式得,解得,函数解析式为y=5x+17,设P点坐标为a,0,根据点到直线的距离公式,=,两边平方得,5a+172=24a2,解得a=52,P152,0,P25+2,0点评本题考查了一次函数综合题,涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识,综合性较强,值得关注法二：例2考点一次函数综合题分析1根据自变量与函数值的对应关系,可得A、B、C点的坐标,根据待定系数法,可得函数解析式；2根据角平分线的性质,可得FCA=BCA,FAE=BAE,根据三角形外角的关系,可得BAE=ABC+BCA,FAE=F+FCA,根据等式的性质,可得答案；3根据等腰三角形的定义,分类讨论：AB=AP=10,AB=BP=10,BP=AP,根据线段的和差,可得AB=AP=10时P点坐标,根据线段垂直平分线的性质,可得AB=BP=10时P点坐标；根据两点间的距离公式,可得BP=AP时P点坐标解答解：1当x=0时,y=6,即B0,6,当y=0时,x+6=0,解得x8,即A8,0；由OC=OB,得OC=3,即C3,0；设BC的函数解析式为,y=kx+b,图象过点B、C,得,解得,直线BC的函数表达式y=2x+6；2证明：ACB的平分线CF与BAE的平分线AF相交于点F,FCA=BCA,FAE=BAEBAE是ABC的外角,FAE是FAC的外角,BAE=ABC+BCA,FAE=F+FCAABC+BCA=F+BCA,ABC=F；3当AB=AP=10时,810=2,P12,0,8+10=18,P218,0；当AB=BP=10时,AO=PO=8,即P38,0；设Pa,0,当BP=AP时,平方,得BP2=AP2,即8a2=a2+62化简,得16a=28,解得a=,P4,0,综上所述：P12,0,P218,0,P38,0；P4,0点评本题考查了一次函数综合题,1利用了函数值与自变量的关系求出A、B、C的值又利用了待定系数法求函数解析式；2利用了角平分线的性质,三角形外角的性质,3利用了等腰三角形的定义,分类讨论是解题关键变式练习：2考点一次函数综合题。分析1把x=0和y=0分别代入一次函数的解析式,求出A、B的坐标,根据勾股定理求出BC即可2求出PAQ=BCP,AQP=BPC,根据点的坐标求出AP=BC,根据全等三角形的判定推出即可3分为三种情况：PQ=BP,BQ=QP,BQ=BP,根据2即可推出,根据三角形外角性质即可判断,根据勾股定理得出方程,即可求出解答解：1y=x+6,当x=0时,y=6,当y=0时,x=8,即A的坐标是8,0,B的坐标是0,6,C点与A点关于y轴对称,C的坐标是8,0,OA=8,OC=8,OB=6,由勾股定理得：BC=10,故答案为：8,0,102当P的坐标是2,0时,APQCBP,理由是：OA=8,P2,0,AP=8+2=10=BC,BPQ=BAO,BAO+AQP+APQ=180,APQ+BPQ+BPC=180,AQP=BPC,A和C关于y轴对称,BAO=BCP,在APQ和CBP中,APQCBPAAS,当P的坐标是2,0时,APQCBP3分为三种情况：当PB=PQ时,由2知,APQCBP,PB=PQ,即此时P的坐标是2,0；当BQ=BP时,则BPQ=BQP,BAO=BPQ,BAO=BQP,而根据三角形的外角性质得：BQPBAO,此种情况不存在；当QB=QP时,则BPQ=QBP=BAO,即BP=AP,设此时P的坐标是x,0,在RtOBP中,由勾股定理得：BP2=OP2+OB2,x+82=x2+62,解得：x=,即此时P的坐标是,0当PQB为等腰三角形时,点P的坐标是2,0或,0点评本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,勾股定理,等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定的应用,题目综合性比较强,难度偏大课后作业：1解：1当x=0时,y=2x+3=3,则A0,3；当x=0时,y=2x1=1,则B0,1；解方程组得,则C点坐标为1,1；2ABC的面积=3+11=22解：1y=x+1,当x=0时,y=1,当y=0时,x=2,则点A的坐标为2,0,点B的坐标为0,1,在y轴的负半轴上截取OC=OB,点C的坐标为0,1,设直线AC的解析式为y=kx+b,把点A2,0,C0,1代入得：解得：y=x12由直线AB的解析式为y=x+1,DEAB,设直线DE的解析式为y=x+b,把D1,0代入得：b=0,解得：b=,直线DE的解析式为y=x,当x=0时,y=,点E的坐标为0,3解：1若x=0,则y=2,若y=0,则x+2=0,则x=4,则A的坐标是4,0,B的坐标是0,2；2M在x轴的正半轴,则S=OMOC=4t4,即S=2t+80t4；若M在O时,则S=0,此时t=4；若M在x轴的负半轴,S=t44,即S=2t8t4；3OC=OA,AOB=COM=90,只需OB=OM,则COMAOB,即OM=2,此时,若M在x轴的正半轴时,t=2,M在x轴的负半轴,则t=6故当t=2或6时,COMAOB,此时M2,0或2,06 / 6
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