2021-2022年三年级数学 奥数讲座 应用同余问题

2021-2022年三年级数学 奥数讲座 应用同余问题专题简析：同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的：两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。记作：ab（mod ）。读做：同余于模。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做1247（mod5）。同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：322（mod5），194（mod5），32+192+41（mod5）性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。应用同余性质解题的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。例题1：求199259除以7的余数。应用同余性质（2）可将199259转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“43”除以7的余数与“199259”除以7的余数应该是相同的，通过求“43”除以7的余数就可知道199259除以7的余数了。因为199259435（mod 7）所以199259除以7的余数是5。练习1：1求4217364除以6的余数。2求133965512除以13的余数。3求87943765283除以11的余数。例题2：已知xx年的国庆节是星期一，求xx年的国庆节是星期几？一星期有7天，要求xx年的国庆节是星期几，就要求从xx年到xx年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。但在计算中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。xx年国庆节到xx年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“3662+3657”天。因为3662224（mod 7），3657170（mod 7），3662+365722+174+04（mod 7）答：xx年的国庆节是星期五。练习2：1已知xx年元旦是星期二。求xx年元旦是星期几？2已知xx年的“七月一日”是星期一。求xx年的“十月一日”是星期几？3今天是星期四，再过365的15次方是星期几？例题3：求xx的xx次方除以13的余数。xx除以13余12，即xx12（mod 13）。根据同余性质（4），可知xx的xx次方12的xx次方（mod 13），但12的xx次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经试验可知12的平方1（mod 13），而xx21001+1。所以（12的平方）的1001次方1的1001（mod 13），即12的xx次方1（mod 13），而12的xx次方12的xx次方12。根据同余性质（2）可知12的xx次方1211212（mod 13）因为：xx的xx次方12的xx次方（mod 13）12的平方1（mod 13），而xx21001+112的xx次方12的xx次方1211212（mod 13）所以xx的xx次方除以13的余数是12。练习3：1求12的200次方除以13的余数。2求3的92次方除以21余几。39个小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分给他们，最后剩下几粒？例题4：自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，m最大是多少？自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，换句话说就是165201490314177（mod m）。根据同余性质（3），这三个数同余，那么它们的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少？因为1652014903=1617=37的平方111652014177=2343=31171 1490314177=726=2311的平方M是这些差的公约数，m最大是311=33。练习4：1若2836、4582、5164、6522四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同。除数是多少？2一个整数除226、192、141都得到相同的余数，且余数不为0，这个整数是几？3当1991和1769除以某一个自然数m时，余数分别为2和1，那么m最小是多少？例题5：某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？我们可从较大的除数开始尝试。首先考虑与1模8同余的数，91（mod 8），但9输以7余数不是5，所以某数不是9。171（mod 8），17除以7的余数也不是5。251（mod 8），25除以7的余数也不是5。331（mod 8），33除以7的余数正好是5，而且33除以6余数正好是3，所以这个数最小是33。上面的方法实际是一种列举法，也可以简化为下面的格式：被8除余1的数有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，其中被7除余5的数有：33，89，这些数中被6除余3的数最小是33。练习5：1某数除以7余1，除以5余1，除以12余9。这个数最小是几？2某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。附送：2021-2022年三年级数学 奥数讲座 应用题（一）专题简析：应用题是小学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们小朋友用学到的数学知识来解决生产、生活中的一些实际问题。学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握数量关系，找到问题的突破口。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求的问题；也可以从问题出发，找到必须的两个条件。在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系，灵活运用这两种方法。有时，借助线段图来分析应用题的数量关系，解答就更容易了。例题1 学校里有排球24只，足球的只数比排球的2倍少5只，学校有排球、足球共多少只？思路导航：根据题意画出线段图 从上图可以看出，把24只排球看作1倍数，足球的只数比这样的2倍还少5只，用2425=43（只）可以求出足球的只数，再用4324=67只可以求出两种球的总只数。练 习 一1小红每分钟跳绳25下，小军每分钟跳的下数比小红的3倍少16下，小军每分钟比小红多跳几下？2王奶奶家养鸡12只，养鹅的只数比鸡的只数的4倍还多7只。王奶奶家共养鸡、鹅多少只？3少先队员种柳树30棵，种的杨树的棵数比柳树棵数的3倍多14棵。少先队员种的杨树、柳树共多少棵？例题2 人民广场花圃中有180盆郁金香，比月季花盆数的3倍少15盆。月季花有多少盆？思路导航：从上图可以看出，把月季花的盆数看作1倍数，郁金香的盆数是这样的3倍少15盆。如果郁金香再增加15盆，就正好是月季花盆数的3倍。因此用（18015）3=65（盆）就可求出月季花的盆数。练 习 二1小明的父亲每月工资1000元，比小明母亲每月工资的2倍少200元。小明母亲每月工资多少元？2饲养场养母鸭400只，比公鸭只数的7倍还多36只。饲养场养公鸭多少只？3水果店卖出9筐水果，平均每筐重45千克。卖出水果的千克数比剩下的3倍还多27千克，还剩多少千克水果？例题3 小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只，白鸡的只数正好是黑鸡的2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？思路导航：根据“黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只”，从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多1312=25只，这相当于黑鸡的21=1倍，这样也就求出黑鸡的只数为251=25只，黄鸡的只数是2513=38只，白鸡的只数是252=50只。练习三1商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多12条，蓝围巾比红围巾多20条，蓝围巾的条数正好是白围巾的5倍。红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？2有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只苹果，丙筐苹果个数是乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有多少只苹果？3男女学生参加小组交流会，如果少去1名女生，男女生人数相等；如果少去一名男生，女生人数是男生的2倍。参加交流会的男女生各多少人？例题4 用一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。如果每本20页，可以少装订多少本？思路导航：根据“如果每本16页，可装订400本”，可得这批纸的总页数16400=6400页；再用总页数640020=320本求出如果每本20页可装订的本数，400320=80本则表示少装订的本数。练 习 四1水果市场要将一些水果装箱，如果每箱10千克，可装30箱。如果每箱15千克，可少装多少箱？2服装厂有一些布料加工窗帘，如果把窗帘做成3米长，可做140幅。如果每幅窗帘做成2米长，则可多做多少幅？3同一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。如果每本多装订9页，则少装订多少本？例题5 李师傅原计划6小时加工零件480个，实际2小时加工192个。照这样的效率，可以提前几小时完成？思路导航：根据“实际2小时加工192个”，可以求出李师傅的实际工作效率为1922=96（个/小时），再用要加工的零件总数除以实际工作效率，即48096=5小时，求出实际完成的时间。65=1小时，则表示提前完成的时间。练 习 五1王奶奶计划10小时做纸盒400个，实际3小时已加工150个。照这样的效率，可以提前几小时完成？2暑假中，小宁30天共要写大字600个，实际12天已写大字360个。照这样的速度，小宁可以提前几天写完同样多的字？3自行车制造厂四月份（30天）共生产自行车3600辆，五月份改进技术后9天已生产自行车1350辆。照这样的效率，可以提前几天完成四月份的任务？