圆的一般方程北师大必修二

会计学1圆的一般方程北师大必修二圆的一般方程北师大必修二 把圆的标准方程把圆的标准方程(xa)2(yb)2r2展开得，展开得，x2y22ax2bya2b2r20，这是一个二元二次方程的形，这是一个二元二次方程的形式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题问题1：方程：方程x2y22x4y10表示什么图形？表示什么图形？ 提示：提示：对对x2y22x4y10配方得配方得 (x1)2(y2)24. 此方程表示以此方程表示以(1，2)为圆心，为圆心，2为半径长的圆为半径长的圆第1页/共41页 问题问题2：方程：方程x2y22x2y20表示什么图形？表示什么图形？ 提示：提示：对方程对方程x2y22x2y20配方得配方得 (x1)2(y1)20，即，即x1且且y1. 此方程表示一个点此方程表示一个点(1,1) 问题问题3：方程：方程x2y22x4y60表示什么图形？表示什么图形？ 提示：提示：对方程对方程x2y22x4y60配方得配方得 (x1)2(y2)21. 由于不存在点的坐标由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形个方程不表示任何图形第2页/共41页 1圆的一般方程的定义圆的一般方程的定义 当当D2E24F0时，二元二次方程时，二元二次方程 称为圆的一般方程称为圆的一般方程 2方程方程x2y2DxEyF0表示的图形表示的图形x2y2DxEyF0D2E24F0第4页/共41页 1圆的一般方程与标准方程可以互化圆的一般方程与标准方程可以互化形式形式标准方程标准方程一般方程一般方程转化转化对应关系对应关系D，E2b，Fa2b2r2第5页/共41页 2一个二元二次方程表示圆需要一定的条件一个二元二次方程表示圆需要一定的条件，方程，方程x2y2DxEyF0只有在只有在D2E24F0的条件下才表示圆的条件下才表示圆第6页/共41页第7页/共41页 例例1判断方程判断方程x2y24mx2my20m200能否能否表示圆若能表示圆，求出圆心和半径表示圆若能表示圆，求出圆心和半径 思路点拨思路点拨解答本题可直接利用解答本题可直接利用D2E24F0是否成是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数第8页/共41页第9页/共41页第10页/共41页 一点通一点通解决这种类型的题目，一般先看这个方解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即程是否具备圆的一般方程的特征，即x2与与y2的系数是否的系数是否相等；不含相等；不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看再看D2E24F0是否成立，也可以通过配方化成是否成立，也可以通过配方化成“标标准准”形式后，观察等号右边是否为正数形式后，观察等号右边是否为正数第11页/共41页第12页/共41页答案：答案：A第13页/共41页2下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径 (1)2x2y27x50； (2)x2xyy26x7y0； (3)x2y22x4y100； (4)2x22y24x0.第14页/共41页解：解：(1)2x2y27x50，x2的系数为的系数为2，y2的系数为的系数为1.21，不能表示圆不能表示圆(2)x2xyy26x7y0，方程中含方程中含xy项，项，此方程不能表示圆此方程不能表示圆(3)x2y22x4y100.第15页/共41页法一：法一：由由x2y22x4y100知：知：D2，E4，F10.D2E24F(2)2(4)24102040200)，当当x3时，时，y4，即高度不得超过，即高度不得超过4米米第34页/共41页第35页/共41页第36页/共41页 圆的一般方程的求法，主要是待定系数法，需要确圆的一般方程的求法，主要是待定系数法，需要确定定D、E、F的值的值 对于一些特殊条件下圆的标准方程和圆的一般方程对于一些特殊条件下圆的标准方程和圆的一般方程对比如下：对比如下：条件条件标准方程标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)一般方程一般方程x2y2DxEyF0(D2E20)圆心在圆心在原点原点ab0DE0第37页/共41页条件条件标准方程标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)一般方程一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)过原点a2+b2=r2F0圆心在圆心在x轴上轴上b0E0圆心在圆心在y轴上轴上a0b0圆心在圆心在x轴上轴上且过原点且过原点b0且且|a|rEF0第38页/共41页条件条件标准方程标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)一般方程一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心在圆心在y轴上轴上且过原点且过原点a0且且|b|rEF0与与x轴相切轴相切|b|rD24F0与与y轴相切轴相切|a|rE24F0第39页/共41页 因此，在用待定系数法求圆的方程时，应尽量因此，在用待定系数法求圆的方程时，应尽量注意特殊位置圆的特点、规律性其次，恰当地运用注意特殊位置圆的特点、规律性其次，恰当地运用平面几何知识，可使解法灵活简便若涉及弦长有关平面几何知识，可使解法灵活简便若涉及弦长有关的问题，运用弦长、弦心距、半径之间的关系及韦达的问题，运用弦长、弦心距、半径之间的关系及韦达定理等可简化过程定理等可简化过程 第40页/共41页