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专题26 视图与投影考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一 投影一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。n 平行投影概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影。特征：1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.2.等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.平行投影变化规律:1.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西西北北东北东，影长也是由长变短再变长.2.在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.n 中心投影概念：由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影。特征：1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.2等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.考查题型（求点光源的位置）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.中心投影与平行投影的区别与联系：n 正投影正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.1.线段的正投影分为三种情况.如图所示. 线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、 线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.2.平面图形正投影也分三种情况，如图所示.当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.3.立体图形的正投影.物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.【典型例题】1（2019四川中考模拟）下列四幅图形中,表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是()ABCD【答案】A【解析】根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例，依次分析各选项即得结果A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；B、影子的方向不相同，故本选项错误；C、影子的方向不相同，故本选项错误；D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误故选A2（2019广西中考模拟）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（）A逐渐变短B先变短后变长C先变长后变短D逐渐变长【答案】B【详解】晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长故选B3（2019北京清华附中中考模拟）如果在同一时刻的阳光下，小莉的影子比小玉的影子长，那么在同一路灯下（ ）A小莉的影子比小玉的影子长B小莉的影子比小玉的影子短C小莉的影子与小玉的影子一样长D无法判断谁的影子长【答案】D【解析】由一点所发出的光线形成的投影叫做中心投影,而中心投影的影子长短与距离光源的距离有关,由题意可得,小莉和小玉在同一路灯下由于位置不同,影长也不相同,故无法判断谁的影子长,故选D.4（2019河北中考模拟）一个长方形的正投影不可能是（ ）A正方形B矩形C线段D点【答案】D【详解】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形故长方形的正投影不可能是点，故选：D5（2019湖北中考模拟）如图，左面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：根据题意：水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图应是D故选D6（2018广东中考模拟）下面四幅图是在同一天同一地点不同时刻太阳照射同一根旗杆的影像图，其中表示太阳刚升起时的影像图是（）ABCD【答案】C【解析】解：太阳东升西落，在不同的时刻，同一物体的影子的方向和大小不同，太阳从东方刚升起时，影子应在西方故选C考查题型一 中心投影的应用方法1（2018河北中考模拟）如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子( )A越长B越短C一样长D随时间变化而变化【答案】B【解析】由图易得ABCD，那么离路灯越近，它的影子越短，故选B2（2020银川外国语实验学校初三期末）如图，身高1.6米的小明站在距路灯底部O点10米的点A处，他的身高（线段AB）在路灯下的影子为线段AM，已知路灯灯杆OQ垂直于路面（1）在OQ上画出表示路灯灯泡位置的点P；（2）小明沿AO方向前进到点C，请画出此时表示小明影子的线段CN；（3）若AM=2.5米，求路灯灯泡P到地面的距离【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8米【解析】如图： 如图： ，即，解得即路灯灯泡P到地面的距离是8米3（2019泰兴市洋思中学初三期中）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米（1）求路灯A的高度；（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？【答案】（1）路灯A有6米高（2）王华的影子长米【解析】试题分析：22. 解：（1）由题可知AB/MC/NE，而MC=NECD=1米，EF=2米，BF=BD+4，BD=4米，AB=6米所以路灯A有6米高 （2） 依题意，设影长为x，则解得米答：王华的影子长米考查题型二 利用平行投影确定影子的长度1（2019吉林中考模拟）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为_米【答案】6.4【详解】解：由题可知：,解得：树高=6.4米.2（2018四川中考模拟）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB5米，某一时刻AB在阳光下的投影BC3米，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6米，则DE的长为_【答案】10cm【详解】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m， ABCDEF，AB=5m，BC=3m，EF=6m = = DE=10（m）故答案为10m3（2015甘肃中考真题）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度(1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的；(2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程【答案】(1) 平行；(2)电线杆的高度为7米【详解】（1）平行；（2）连接AM、CG，过点E作ENAB于点N，过点G作GMCD于点M，则BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5所以AN=10-2=8，由平行投影可知：即解得CD=7所以电线杆的高度为7m考查题型三 利用相似问题解决投影问题1（2019长沙市长郡双语实验中学中考模拟）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米【答案】5。【解析】根据题意，易得MBAMCO，根据相似三角形的性质可知，即，解得AM=5。小明的影长为5米。2（2015河南中考模拟）墙壁CD上D处有一盏灯(如图)，小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1.6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD_【答案】m【详解】如图：根据题意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m，BGAFCD，EAFECD，ABGACD，AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.6）m，AC=（x+1）m，,解得：x=, y=,CD=m.灯泡与地面的距离为米，故答案为m.3（2018贵州中考模拟）如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为_m2【答案】0.81【解析】如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CBAD， OBCOAD而OD=3，CD=1， OC=OD-CD=3-1=2，BC=1.2=0.6， AD=0.9 ， S=0.92=0.81m2，这样地面上阴影部分的面积为0.81m2知识点二 三视图三视图的概念：视图概念：从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.正面、水平面和侧面概念：用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.三视图概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.三视图之间的关系1.位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.2.大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.画几何体三视图的基本方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：1.确定主视图的位置，画出主视图；2.在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；3.在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.注意：几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.利用三视图计算几何体面积利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积。考查题型四 确定几何体的三视图1（2019浙江中考模拟）如图所示的工件的主视图是( ) A B C D【答案】B。【解析】从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形。故选B。2（2019天津中考模拟）如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（）ABCD【答案】D【详解】该空心圆柱体的俯视图是：故选D3（2017陕西中考模拟）如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ）ABCD【答案】C【解析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中解：由三视图可得，故选C4（2019辽宁中考模拟）如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（）A主视图B左视图C俯视图D主视图和俯视图【答案】B【解析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图故选B5（2019福建中考真题）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是( ).ABCD【答案】C【详解】解：几何体的主视图为： ，故选：C考查题型五 由三视图还原几何体的方法1（2017湖北中考模拟）主视图、左视图、俯视图分别为下列三个图形的物体是（ ）A B C D【答案】A【解析】解析：通过给出的主视图，只有A选项符合条件.故选A.2（2019湖南中考模拟）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（）ABCD【答案】C【解析】详解：A选项的主视图为矩形和三角形的结合，俯视图为圆，故错误；B、主视图和俯视图都是正方形，故错误；C、主视图为两个矩形，俯视图为三角形，故正确；D、主视图和俯视图都是三角形，故错误；则本题选C3（2014北京中考模拟）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）A圆锥B圆柱C球D三棱柱【答案】A【解析】由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥故选A4（2018天津市扶轮中学中考模拟）如图，是由几个相同的小正方体组成的一个几何体的三视图，这个几何体可能是（ ）ABCD【答案】A【详解】观察俯视图可知几何体的底面是由22=4个小正方体构成，选项B不符合，观察主视图可知几何体有两列，左边一列只有一层，右边一列有三层，选项D不符合，观察左视图，可知几何体有两列，左边一列有3层，右边一列有2层，选项C不符合，故只有选项A符合，故选A.考察题型六 由三视图确定小正方体的个数的方法1（2016黑龙江中考模拟）如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）A5 B6 C7 D8【答案】B【解析】试题分析：由主视图与左视图可以在俯视图上标注数字为：主视图有三列，每列的方块数分别是：2，1，1；左视图有两列，每列的方块数分别是：1，2；俯视图有三列，每列的方块数分别是：2，1，2；因此总个数为1+2+1+1+1=6个，故选B2（2017湖北中考模拟）如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体的三视图，则这几个几何体的小立方块的个数是（ ）A4个B5个C6个D7个【答案】B【详解】由题意可得该几何体共有两行三列，底层应该有314个小正方体，第二层应该有1个小正方体，共有5个小正方体.故选B.3（2013黑龙江中考真题）由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方形的个数最少是( )A4 B5 C6 D7【答案】C【解析】由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体；从俯视图可以可以看出最底层的个数所以图中的小正方体最少2+4=6。故选C。5（2018甘肃中考模拟）一个几何体是由若干个棱长为3cm的小正方体搭成的，从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图所示：（1）在“从上面看”的图中标出各个位置上小正方体的个数；（2）求该几何体的体积【答案】（1）见解析；（2）270cm3【详解】（1）如图所示：（2）该几何体的体积为33（2+3+2+1+1+1）=2710=270（cm3）考查题型七 根据三视图求几何体的体积或表面积的方法1（2019山东中考模拟）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）A10B15C20D30【答案】B【解析】由三视图可知此几何体为圆锥，圆锥的底面半径为3，母线长为5，圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2r=23=6，圆锥的侧面积=lr=65=15，故选B2（2019安徽中考模拟）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（ ）ABCD【答案】B【详解】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是22=1，高是3所以该几何体的侧面积为213=6故选：B3（2019黑龙江中考真题）个“粮仓”的三视图如图所示（单位：m），则它的体积是（ ）A21m3B30m3C45m3D63m3【答案】C【详解】解：观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体，其体积为：324+323=45m3，故选：C4（2014河北中考模拟）某工厂要加工一批茶叶罐，设计者给出了茶叶罐的三视图，如图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积（单位：毫米）【答案】【解析】由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶叶罐的底面直径2R为100毫米，高H为150毫米，每个密封罐所需钢板的面积即为该圆柱体的表面积，S表面积=(毫米2)，故制作每个密封罐所需钢板的面积为毫米25（2019黑龙江中考模拟）一个几何体的三视图如图所示.(1)写出这个几何体的名称.(2)求这个几何体侧面展开图的周长和面积.【答案】(1) 圆锥；（2）20+12，60.【详解】(1)由三视图可知，主视图以及左视图都是三角形，俯视图为圆形，该几何体为圆锥(2)由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为12，半径为6，高为8，则母线长为.所以侧面展开图的周长为26+20=20+12面积为(26)10=606（2019湖北中考模拟）如图所示的是某个几何体从三种不同方向所看到的图形（1）说出这个几何体的名称；（2）根据图中有关数据，求这个几何体的表面积【答案】（1）三棱柱；（2）192【详解】解：（1）根据三视图可得：这个立体图形是三棱柱；（2）表面积为：342+153+154+15519221
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