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专题08 整式的乘除和因式分解考点总结【思维导图】 【知识要点】知识点一 整式乘法幂的运算性质（基础）：l amanamn （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加【同底数幂相乘注意事项】1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。2）不能疏忽指数为1的情况。3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。1（2018河北中考真题）若2n+2n+2n+2n=2，则n=（）A1B2C0D【答案】A【详解】2n+2n+2n+2n=2，42n=2，22n=1，21+n=1，1+n=0，n=1，故选A2（2012江苏中考真题）若39m27m=，则的值是（ ）A3 B4 C5 D6【答案】B【详解】39m27m=332m33m=31+2m+3m1+2m+3m=21m=4故选B3（2019山东中考模拟）化简(a2)a5所得的结果是( )Aa7Ba7Ca10Da10【答案】B【详解】 (-a2)a5=-a7.故选B.l (am)namn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。1（2019浙江省温岭市第四中学中考模拟）下列计算正确的是（）Aa2a3a6B（a2）3a6Ca6a2a4Da5+a5a10【答案】B【详解】A、a2a3=a5，错误；B、（a2）3=a6，正确；C、不是同类项，不能合并，错误；D、a5+a5=2a5，错误；故选B2（2019辽宁中考模拟）下列运算正确的是（）Aa2a2=2a2Ba2+a2=a4C（a3）2=a6Da8a2=a4【答案】C【详解】A、a2a2=a4，错误；B、a2+a2=2a2，错误；C、（a3）2=a6，正确；D、a8a2=a6，错误，故选C3（2018浙江中考模拟）计算（a3）2的结果是（）Aa5Ba5Ca6Da6【答案】C根据幂的乘方和积的乘方的运算法则可得：（a3）2=a6故选Cl (ab)nanbn （n为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积1（2018湖南中考真题）下列运算正确的是（ ）ABCD【答案】D【详解】A、错误应该是x3x3=x6；B、错误应该是x8x4=x4；C、错误（ab3）2=a2b6D、正确故选D2（2018贵州中考真题）下列运算正确的是（）A（a2）3=a5 Ba3a5=a15 C（a2b3）2=a4b6 D3a22a2=1【答案】C【详解】解：A. （a2）3=a6，故此选项错误；B. a3a5=a8 ，故此选项错误；C.（a2b3）2=a4b6 ，正确；D. 3a22a2=a2，故此选项错误；故选：Cl am anamn （a0，m、n都是正整数，且mn） 同底数幂相除，底数不变，指数减【同底数幂相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数a0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。3.注意指数为1的情况，如x8x= x7 ，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。l a01 （a0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l1（2016江苏中考真题）下列计算正确的是（ ）Aa3+a2=a5Ba3a2=a5C(2a2)3=6a6Da6a2=a3【答案】B【详解】A选项：a2、a3不是同类项，不能合并，故是错误的；B选项：a2a3=a5，故是错误的；C选项：(a3)2=a6，故是正确的；D选项：a8a4=a6，故是错误的；故选C.2.（2018丹东市第十八中学中考模拟）下列计算正确的是( ).ABCD【答案】D【详解】A选项中，因为，所以A中计算错误；B选项中，因为，所以B中计算错误；C选项中，因为，所以C中计算错误；D选项中，因为，所以D中计算正确.故选D.3（2016福建中考模拟）下列运算正确的是( )A2a2+a=3a3B(m2)3=m5C(x+y)2=x2+y2Da6a3=a3【答案】D【详解】A、2a2与a不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（m2）3=m23=m6，故本选项错误；C、（x+y）2=x2+2xy+y2，故本选项错误；D、a6a3=a6-3=a3，故本选项正确故选D考查题型一 幂的运算法则的应用1（2019浙江杭州外国语学校中考模拟）若2m5，4n3，则43nm的值是( )ABC2D4【答案】B【详解】2m5，4n3，43nm=故选B.2（2019海口市长流中学中考模拟）已知x+y4=0，则2y2x的值是()A16B16CD8【答案】A【详解】x+y4=0，x+y=4，2y2x=2x+y=24=16.故选A.3（2012山东中考真题）若3x=4,9y=7，则3x-2y的值为（ ）A47B74CD27【答案】A【详解】3x=4,9y=7，3x-2y=3x32y=3x9y=47;故选A。4（2018江苏中考模拟）若，则的值分别为( )A9，5B3，5C5，3D6，12【答案】B（ambn）3=a9b15，a3mb3n=a9b15，3m=9，3n=15，m=3，n=5，故选B5（2018湖南中考模拟）已知am=2，an=3，则a3m+2n的值是（）A24 B36 C72 D6【答案】C【详解】am=2，an=3，a3m+2n=a3ma2n=（am）3（an）2=2332=89=72故选C.考查题型二 运用幂的原酸法则比较大小1（2019杭州市余杭区乾元中学中考模拟）若，则下列结论正确是（ ）AabBCabD【答案】B【详解】，故选B.2（2017湖北中考模拟）已知则的大小关系是（ ）ABCD【答案】A【详解】解：故选A.知识点二 整式乘除n 单项式单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法易错点：【注意】1. 单项式乘以单项式的结果仍是单项式。2. 运算顺序：先算乘方，再算乘法。1（2017安徽中考模拟）不等于（ ）AB CD【答案】C【详解】=.A中，=，故A正确；B中，=（）m=, 故B正确；C中，=，故C错误；D中，=, 故D正确.故选C.2（2018山东中考模拟）计算：（x）32x的结果是A2x4 B2x3 C2x4 D2x3【答案】A【详解】（x）32x=x32x=2x4故选：A3（2018湖南中考模拟）如果单项式3x4aby2与x3yab的和是单项式，那么这两个单项式的积是（）A3x6y4B3x3y2C3x3y2D3x6y4【答案】D【详解】由同类项的定义，得，解得所以原单项式为：-3x3y2和x3y2，其积是-3x6y4故选：Dn 单项式多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加【单项式乘以多项式注意事项】1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。1.（2018湖北中考真题）计算（a2）（a+3）的结果是（）Aa26Ba2+a6Ca2+6Da2a+6【答案】B【详解】（a2）（a+3）=a2+3a-2a-6=a2+a6，故选B2（2019山东中考真题）计算的结果是（ ）A8m5B-8m5C8m6D-4m4+12m5【答案】A【详解】原式=4m22m3=8m5，故选A3（2019广西中考真题）计算：（）ABCD【答案】B【详解】解：；故选：Bn 多项式多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加【多项式乘以多项式注意事项】多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。1（2018内蒙古中考模拟）计算的结果为( )ABCD【答案】B【详解】解：原式 故选B.2（2018湖北中考模拟）计算（x2）（x+5）的结果是Ax2+3x+7Bx2+3x+10Cx2+3x10Dx23x10【答案】C【详解】x-2x+5=x2+5x-2x-10=x2+3x-10. 故选：C.3（2015广东中考真题）若（x+2）（x1）=x2+mx+n，则m+n=（ ）A1B-2C-1D2【答案】C【详解】依据多项式乘以多项式的法则，进行计算（x+2）（x-1）=+x2 =+mx+n，然后对照各项的系数即可求出m=1，n=2，所以m+n=12=1故选：Cn 乘法公式 完全平方公式：（ab）2a22abb2 （ab）2a22abb2【扩展】扩展一(公式变化)： a2+ b2=(a+b)2-2ab a2+b2=(a-b)2+2ab扩展二： (a+b)2+ (a-b)2= 2(a2+ b2) (a+b)2 - (a-b)2= 4ab扩展三： a2+ b2+ c2= (a+b+c)2-2ab-2ac-2bc 平方差公式：（ab）（ab）a2b2【运用平方差公式注意事项】1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式如：(a3b)(3a-b)，不能运用平方差公式2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误1（2018河北中考真题）将9.52变形正确的是（）A9.52=92+0.52B9.52=（10+0.5）（100.5）C9.52=1022100.5+0.52D9.52=92+90.5+0.52【答案】C【详解】9.52=（100.5）2=1022100.5+0.52，或9.52=（9+0.5）2=92+290.5+0.52，观察可知只有C选项符合，故选C2（2018四川中考模拟）已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）A10B10C20D20【答案】B【详解】x2+mx+25是完全平方式，m=10，故选：B3（2018甘肃中考模拟）已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加（）A4cm2B（2R+4）cm2C（4R+4）cm2D以上都不对【答案】C【详解】半径为Rcm的圆的面积是S1=R2，若这个圆的半径增加2cm，则其面积是S2=（R+2）2，用增加后的圆的面积减去增加前圆的面积，利用平方差公式计算即可详解：S2S1=（R+2）2R2=（R+2R）（R+2+R）=4R+4，它的面积增加4R+4cm2故选C4（2019上海中考模拟）下列各式的变形中，正确的是( )A(xy)(xy)x2y2 B1xx1-xxCx24x3(x2)21 Dx(x2x)1x1【答案】A【详解】根据平方差公式可得A正确；根据分式的减法法则可得：B=1-x2x；根据完全平方公式可得：C=(x-2)21；根据单项式除以多项式的法则可得：D=1x+1n 单项式单项式一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.【同底数幂相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数a0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。3.注意指数为1的情况，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。1（2018陕西中考模拟）下列各式中，计算正确的是（）A2x+3y=5xy Bx6x2=x3C（2x3y）3=8x9y3 Dx2yx3y=x5y【答案】C【详解】2x+3y= 2x+3y5xy，故A错误. x6x2=x4，故B错误，x2yx3y=x5y2，故D错误.选C.2（2018湖南中考真题）下列运算正确的是( )ABCD【答案】D【详解】A、2a与3b不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、原式=a2b2，故本选项错误；C、原式=a6，故本选项错误；D、原式=2a3，故本选项正确故选：D3.（2019江苏中考真题）如图，数轴上有、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）下列选项中，与点表示的数最为接近的是（）ABCD【答案】D【详解】A. （）（）=2，观察数轴，可知A选项不符合题意；B. （）=4，观察数轴，可知B选项不符合题意；C. （）=20，观察数轴，可知C选项不符合题意；D. （）=40，从数轴看比较接近，可知D选项符合题意，故选Dn 多项式单项式一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【解题思路】多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。1（2019河南中考模拟）下列运算结果正确的是（）A（x3x2+x）x=x2x B（a2）a3=a6 C（2x2）3=8x6 D4a2（2a）2=2a2【答案】C【详解】A、（x3-x2+x）x=x2-x+1，此选项计算错误；B、（-a2）a3=-a5，此选项计算错误；C、（-2x2）3=-8x6，此选项计算正确；D、4a2-（2a）2=4a2-4a2=0，此选项计算错误.故选：C2（2017海南中考模拟）已知长方形的面积为18x3y49xy227x2y2，长为9xy，则宽为()A2x2y3y3xyB2x2y22y3xyC2x2y32y3xyD2x2y3y3xy【答案】D由题意得：长方形的宽故选D3（2015福建中考真题） 下列运算正确的是（ ）A(a2)3=a5Ba2+a4=a6Ca3a3=1D(a3-a)a=a2【答案】C【详解】A(a2)3=a6，故错误；Ba2与a4布什同类项，不能进行合并；Ca3a3=1，正确；D(a3-a)a=a2-1，故错误，故选Cn 整式的混合运算运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。1（2017安徽中考模拟）设M=(x3)(x7)，N=(x2)(x8)，则M与N的关系为( )AMNBMNCM=ND不能确定【答案】B【详解】解：M=（x-3）（x-7）=x2-10x+21，N=（x-2）（x-8）=x2-10x+16，M-N=（x2-10x+21）-（x2-10x+16）=5，MN故选B2（2018广西中考模拟）点A（a，3）与点B（4，b）关于y轴对称，则（a+b）2017的值为（）A0 B1 C1 D72017【答案】B【详解】解：由题意，得a=-4，b=3（a+b）2017=（-1）2017=-1，故选：B3（2018江苏中考真题）计算：（1）（2）2|3|（）0；（2）（x+1）2（x2x）【答案】（1）11；（2）3x+1【详解】（1）（-2）2|-3|-（）0=43-1=12-1=11；（2）（x+1）2-（x2-x）=x2+2x+1-x2+x=3x+1考查题型三 利用多项式与多项式乘积中项的特征求待定字母的值的方法1（2018山东中考模拟）若（x2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，求（2a+b+1）（2ab1）（a+2b）（2b+a）+2b的值【答案】59.【详解】解：（x2）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx2x22ax2b=x3+（a2）x2+（b2a）x2b，（x2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，a2=0且b2a=0，解得：a=2，b=4，(2a+b+1)(2ab1)(a+2b)(2b+a)+2b=(2a)2(b+1)2（a24b2）+2b=4a2b22b1a2+4b2+2b=3a2+3b21，当a=2，b=4时，原式=322+3421=12+481=59考查题型四 乘法公式的合理运用1（2019乌鲁木齐市第七十七中学中考模拟）计算：（1）（a+2bc）（a2b+c）（2）已知6x5y10，求（2x+y）（2xy）（2x3y）24y的值【答案】（1）a24b2+4bcc2；（2）5.【详解】解：（1）原式=a+（2bc）a（2bc）=a2（2bc）2=a2（4b24bc+c2）=a24b2+4bcc2（2）当6x5y=10时，3x2.5y=5原式=4x2y2（4x212xy+9y2）4y=（12xy10y2）4y=3x2.5y=5考查题型五 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用1（2018浙江中考模拟）计算：（2018）2+2017（2019）【答案】1.【详解】（2018）2+2017（2019）=20182（20181）（2018+1）=2018220182+1=1考查题型六 乘法公式的变形在解题中的应用1（2019甘肃中考模拟）已知x+=6，则x2+=（）A38B36C34D32【答案】C【详解】把x+=6两边平方得：（x+）2=x2+2=36，则x2+=34，故选：C2（2018四川中考真题）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则ab=（）A1BC1D【答案】C【详解】a+b=2，ab=，（a+b）2=4=a2+2ab+b2，a2+b2=，（a-b）2=a2-2ab+b2=1，a-b=1，故选：C3（2017江苏中考模拟）若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（ ）A-1 B1 C-4 D4【答案】B【详解】根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y）2=x2+2xy+y2=9，（xy）2= x2-2xy+y2=5，-可得4xy=4，解得xy=1.故选：B4（2019浙江中考模拟）已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（ ）A10B6C5D3【答案】C【详解】由题意得，把两式相加可得，则故选C.5（2015湖南中考真题）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ ）A3B4C5D6【答案】C【详解】根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）22ab，代入求出即可a+b=3，ab=2，a2+b2=（a+b）22ab=3222=5考查题型七 整式的化简求值1（2019辽宁中考模拟）先化简，再求值：（x2y）2+（x+y）（x4y），其中x5，y【答案】2x27xy，43【详解】原式x24xy+4y2+x24xy+xy4y22x27xy，当x5，y时，原式507432（2017江苏中考模拟）先化简，再求值：2()( 2)(，其中3， .【答案】ab-b2 ； ；【详解】原式=2b2+a2-2ab+ab-2b2-(a2-2ab+b2)=ab-b2 ；当a=-3，b= 时， 原式= 考查题型八 乘法公式和几何图形相结合的应用方法 1（2019浙江中考模拟）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积【答案】（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为33【详解】（1）矩形的长为：mn，矩形的宽为：m+n，矩形的周长为：2(m-n)+(m+n)=4m；（2）矩形的面积为S=（m+n）（mn）=m2-n2，当m=7，n=4时，S=72-42=332（2018浙江中考真题）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程方案二：方案三：【答案】见解析.【详解】详解：由题意可得：方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，方案三：a2+=a2+2ab+b2=（a+b）2知识点四 因式分解（难点）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 【因式分解的定义注意事项】 1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式因式分解的常用方法：提公因式法【提公因式法的注意事项】1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；平方差公式： a2b2（ab）（ab） 完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）21（2019安徽中考模拟）下列分解因式正确的是（ ）ABCD【答案】C【详解】A. ，故A选项错误；B. ，故B选项错误；C. ，故C选项正确；D. =（x-2）2，故D选项错误，故选C.2（2018江苏中考模拟）把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ）Aa=2，b=3Ba=-2，b=-3Ca=-2，b=3Da=2，b=-3【答案】B【详解】（x+1）（x-3）=x2-3x+x-3=x2-2x-3所以a=2，b=-3，故选B3（2018广西中考真题）下列各式分解因式正确的是（）Ax2+6xy+9y2=（x+3y）2 B2x24xy+9y2=（2x3y）2C2x28y2=2（x+4y）（x4y） Dx（xy）+y（yx）=（xy）（x+y）【答案】A【详解】A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；B、2x24xy+9y2无法分解因式，故此选项错误；C、2x28y2=2（x+2y）（x2y），故此选项错误；D、x（xy）+y（yx）=（xy）2，故此选项错误，故选A4（2019山东中考模拟）多项式4aa3分解因式的结果是（）Aa（4a2） Ba（2a）（2+a） Ca（a2）（a+2） Da（2a）2【答案】B【详解】4aa3=a（4a2）=a（2a）（2+a）故选：B5（2018安徽中考模拟）将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是()Aa2-1Ba2+aCa2+a-2D(a+2)2-2(a+2)+1【答案】C【详解】先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a21=（a+1）（a1），a2+a=a（a+1），a2+a2=（a+2）（a1），（a+2）22（a+2）+1=（a+21）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C考查题型九 利用公式法解决代数式求值问题的方法1（2018河南中考模拟）已知ab=1，则a3a2b+b22ab的值为（）A2B1C1D2【答案】C【详解】a3a2b+b22ab=a2（ab）+b22ab=a2+b22ab=（ab）2=1故选C2（2017陕西中考模拟）已知实数x满足，那么的值是（）A1或2B1或2C1D2【答案】D【详解】x2+=0（x+）2-2+x+=0，（x+）+2（x+）1=0，x+=1或2x+=1无解，x+=2故选：D3（2019江苏中考模拟）若x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则m的值为( )A-5B5C-2D2【答案】C【详解】x2+mx-15=（x+3）（x+n），x2+mx-15=x2+nx+3x+3n，3n=-15，m=n+3，解得n=-5，m=-5+3=-2 23
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