2018南通一模(四)数学

2018届高三年级第一次模拟考试数学参考公式：柱体的体积公式：V柱体Sh,其中S为柱体的底面积,h为高一、 填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分1. 已知集合A1,0,a,B0,若BA,则实数a的值为_2. 已知复数z,其中i为虚数单位,则复数z的实部为_3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400,400,500.为了解该校学生的身高情况,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本,则应从高三年级抽取_名学生4. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为_5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个,则数学建模社团被选中的概率为_6. 若实数x,y满足则2xy的最大值为_7. 在平面直角坐标系xOy中,已知点F为抛物线y28x的焦点,则点F到双曲线1的渐近线的距离为_8. 在各项均为正数的等比数列an中,若a21,a8a66a4,则a3的值为_9. 在平面直角坐标系xOy中,将函数ysin的图象向右平移个单位长度,若平移后得到的图象经过坐标原点,则的值为_10. 若曲线yxlnx在x1与xt处的切线互相垂直,则正数t的值为_11. 如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm,圆柱的底面积为9cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件,则该正三棱柱的底面边长为_cm.12. 如图,已知矩形ABCD的边长AB2,AD1.点P,Q分别在边BC,CD上,且PAQ45,则的最小值为_13. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B,从直线AB上一点P向圆x2y24引两条切线PC,PD,切点分别为C,D.设线段CD的中点为M,则线段AM的长度的最大值为_14. 已知函数fgx212a.若函数yfg有4个零点,则实数a的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题,共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 如图,在三棱锥PABC中,ABPC,CACB,M是AB的中点点N在棱PC上,D是BN的中点求证： MD平面PAC； 平面ABN平面PMC.16. 在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2b2c2bc,ab. 求sinB的值； 求cos的值17. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆1b0的离心率为,两条准线之间的距离为4. 求椭圆的标准方程； 已知椭圆的左顶点为A,点M在圆x2y2上,直线AM与椭圆相交于另一点B,且AOB的面积是AOM的面积的2倍,求直线AB的方程18. 如图,某小区中央广场由两部分组成,一部分是边长为80m的正方形ABCD,另一部分是以AD为直径的半圆,其圆心为O.规划修建的3条直道AD,PB,PC将广场分割为6个区域：、为绿化区域,、为休闲区域,其中点P在半圆弧上,AD分别与PB,PC相交于点E,F. 若PB经过圆心,求点P到AD的距离： 设POD,.试用表示EF的长度；当sin为何值时,绿化区域面积之和最大19. 已知函数gx3ax2bx有极值,且函数fex的极值点是g的极值点,其中e是自然对数的底数 求b关于a的函数关系式； 当a0时,若函数Ffg的最小值为M,证明：M.20. 若数列an同时满足：对于任意的正整数n,an1an恒成立；若对于给定的正整数k,ankank2an对于任意的正整数nk恒成立,则称数列an是R数列 已知an判断数列an是否为R数列,并说明理由； 已知数列bn是R数列,且存在整数p1,使得b3p3,b3p1,b3p1,b3p3成等差数列,证明：bn是等差数列2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题21. 选做题本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并作答若多做,则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修41：几何证明选讲如图,已知O1的半径为2,O2的半径为1,两圆外切于点T.点P为O1上一点,PM与O2切于点M.若PM,求PT的长B. 选修42：矩阵与变换已知xR,向量是矩阵A的属于特征值的一个特征向量,求与A1.C. 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,直线yx与曲线相交于A,B两点,求线段AB的长D. 选修45：不等式选讲已知a1,b1,求的最小值必做题第22题、第23题,每题10分,共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图,在四棱锥PABCD中,AP,AB,AD两两垂直,BCAD,且APABAD4,BC2. 求二面角PCDA的余弦值； 已知点H为线段PC上异于C的点,且DCDH,求的值23. 用数学归纳法证明：当nN*时,cosxcos2xcos3xcosnx； 求sin2sin3sin4sin2 018sin的值.2018届#、#高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 12. 3. 254. 105. 6. 57. 8. 9. 10. e211. 212. 4413. 314. 15. 解析： 在ABN中,M是AB的中点,D是BN的中点,所以MDAN.因为AN平面PAC,MD平面PAC,所以MD平面PAC. 在ABC中,CACB,M是AB的中点,所以ABMC.因为ABPC,PC平面PMC,MC平面PMC,PCMCC,所以AB平面PMC.因为AB平面ABN,所以平面ABN平面PMC.16. 解析： 在ABC中,根据余弦定理与a2b2c2bc得,cosA.因为A,所以A.在ABC中,由正弦定理得sinBsinA. 因为abb,所以AB,即0B.又sinB,所以cosB.在ABC中,ABC,所以coscoscos.17. 解析： 设椭圆的焦距为2c,由题意得,4,解得a2,c,所以b.所以椭圆的方程为1. 方法一：因为SAOB2SAOM,所以AB2AM,所以M为AB的中点因为椭圆的方程为1,所以A设M,则B所以xy,1, 由得9x18x0160,解得x0,x0把x0代入,得y0,所以kAB,因此,直线AB的方程为y,即x2y20或x2y20.方法二：因为SAOB2SAOM,所以AB2AM,所以M为AB的中点设直线AB的方程为yk由得x28k2x8k240,所以x4k220,解得xB.所以xM,yMk,代入x2y2得,化简得28k4k220,即0,解得k,所以直线AB的方程为y,即x2y20或x2y20.18. 解析：以AD所在直线为x轴,以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系 直线PB的方程为y2x,半圆O的方程为x2y2402,由得y16.所以点P到AD的距离为16m 由题意得P直线PB的方程为y80,令y0,得xE40.直线PC的方程为y80,令y0,得xF40,所以EF的长度为fxFxE,.区域、的面积之和为S180,区域的面积为S2EF40sin40sin,所以S1S2.设sin2t,则2t3,则S1S21 6001 6006 400,当且仅当t2,即sin22时等号成立所以休闲区域、的面积S1S2的最小值为6 400m2.故当sin22时,绿化区域、的面积之和最大19. 解析： 因为fexexex.令f0,解得xa1.f,f随x的变化列表如下：所以当xa1时,f取得极小值因为g3x22axb,由题意可知g0,且4a212b0,所以322ab0,化简得ba24a3.由4a212b4a2120得a,所以ba24a3. 因为Ffgex,所以Ffgex3x22axex记hex3xa3,则hex3,令h0,解得xln 3.h,h随x的变化列表如下：所以当xln3时,h取得极小值,也是最小值,此时heln 33ln3a363ln3a3a3lnaa0.令F0,解得xa1.F,F随x的变化列表如下：所以当xa1时,F取得极小值,也是最小值,所以MFea13a2bea12令ta1,则t1,记mett2ett3t2,t1,则met3t22t,t1.因为e1et5,所以m0,所以m单调递增所以met22,所以M.20. 解析： 当n为奇数时,an1an2120,所以an1an.an2an2212122an；当n为偶数时,an1an22n20,所以an1an.an2an2224n2an.所以数列an是R数列 由题意可得bn3bn32bn,则数列b1,b4,b7,是等差数列,设其公差为d1,数列b2,b5,b8,是等差数列,设其公差为d2,数列b3,b6,b9,是等差数列,设其公差为d3.因为bnbn1,所以b3n1b3n2b3n4,所以b1nd1b2nd2b1d1,所以nb1b2,nb1b2d1.若d2d1时,不成立；若d2d10,则当n时,不成立若d2d10,则和都成立,所以d1d2.同理得d1d3,所以d1d2d3,记d1d2d3d.设b3p1b3p3b3p1b3p1b3p3b3p1,则b3n1b3n2b3p1db3p1db3p1b3p1dd.同理可得b3nb3n1b3n1b3nd,所以bn1bnd.所以bn是等差数列另解：b3p1b3p3b2db3db2b3d,b3p1b3p1b1pdb2db1b2d,b3p3b3p1b3pdb3b1,以上三式相加可得32d,所以d,所以b3n2b1db1,b3n1b2db1ddb1,b3nb3db1db1,所以bnb1,所以bn1bn,所以数列bn是等差数列21. A. 解析：延长PT交O2于点C,连结O1P,O2C,O1O2,则O1O2过点T.由切割线定理得PM2PCPT3.因为O1TPO2TC,O1TP与O2TC均为等腰三角形,所以O1TPO2TC,所以2,所以,即PCPT.因为PCPTPTPT3,所以PT.B. 解析：由已知得,所以所以A.设A1,则AA1,即,所以a1,bc0,d,所以2,A1.C. 解析：曲线的普通方程为yx22x.联立解得或所以A,B,所以AB.D. 解析：因为a1,b1,所以44b,44a.两式相加444b4a,所以8.当且仅当4且4时,等号成立,即当ab2时,取得最小值为8.22. 解析：以,为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A,B,C,D,P 由题意可知,设平面PCD的法向量为n1,则即令x1,则y2,z2.所以n1平面ACD的法向量为n2,所以|cosn1,n2|,所以二面角PCDA的余弦值为. 由题意可知,设,则因为DCDH,所以,化简得32410,所以1或.因为点H异于点C,所以.23. 解析：当n1时,等式右边cosx等式左边,等式成立假设当nk时等式成立,即cosxcos2xcos3xcoskx.那么,当nk1时,有cosxcos2xcos3xcoskxcosxcosxsin2sinxcosxsinxcosxcosxsinx2sinxcosx.这就是说,当nk1时等式也成立根据和可知,对任何nN*等式都成立 由可知,cosxcos2xcos3xcos2 018x,两边同时求导,得sinx2sin2x3sin3x2 018sin2 018xcosxsinxsinxcosx,所以sin2sin3sin2 018sincossinsincos,所以sin2sin3sin4sin2 018sin.11 / 11