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第九章 压杆稳定 习题解习题9-1 在9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆,按图a所示坐标系及挠度曲线形状,导出了临界应力公式。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状时,压杆在作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同,由此所得公式又是否相同。解: 挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关,与挠曲线的位置无关。因为(b)图与(a)图具有相同的坐标系,所以它们的挠曲线微分方程相同,都是。(c)、(d)的坐标系相同,它们具有相同的挠曲线微分方程:,显然,这微分方程与(a)的微分方程不同。临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关,与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此,以上四种情形的临界力具有相同的公式,即:。 习题9-2 图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小(图f所示杆在中间支承处不能转动)? 解:压杆能承受的临界压力为:。由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆,它们能承受的压力与 原压相的相当长度的平方成反比,其中,为与约束情况有关的长度系数。(a)(b)(c)(d)(e)(f)(下段);(上段)故图e所示杆最小,图f所示杆最大。习题9-3 图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接,但第一根杆(图a)的基础放在弹性地基上,第二根杆(图b)的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为?为什么?并由此判断压杆长因数是否可能大于2。 螺旋千斤顶(图c)的底座对丝杆(起顶杆)的稳定性有无影响?校核丝杆稳定性时,把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为的压杆是否偏于安全?解:临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座,所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定,一端自由的情况,它的长度因素,其临界力为:。但是,(a) 为一端弹簧支座,一端自由的情况,它的长度因素,因此,不能用来计算临界力。 为了考察(a)情况下的临界力,我们不妨设下支座(B)的转动刚度,且无侧向位移,则:令,得: 微分方程的通解为: 由边界条件:,;,解得: ,整理后得到稳定方程:用试算法得: 故得到压杆的临界力:。因此,长度因素可以大于2。这与弹性支座的转动刚度C有关,C越小,则值越大。当时,。 螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接,即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。当轴向压力不是很大,或地面较滑时,底座与地面之间有相对滑动,此时,不能看作固定端;当轴向压力很大,或地面很粗糙时,底座与地面之间无相对滑动,此时,可以看作是固定端。因此,校核丝杆稳定性时,把它看作上端自由,下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况,算出来的临界力比“把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为的压杆”算出来的临界力要小。譬如,设转动刚度,则: ,。因此,校核丝杆稳定性时,把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为的压杆不是偏于安全,而是偏于危险。习题9-4 试推导两端固定、弯曲刚度为,长度为的等截面中心受压直杆的临界应力的欧拉公式。 解:设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时,两端的竖向反力为,水平反力为0,约束反力偶矩两端相等,用表示,下标表示端部end的意思。若取下截离体为研究对象,则的转向为逆转。,令,则 上述微分方程的通解为:.(a)边界条件: ;: ;。 :;。把A、B的值代入(a)得: 边界条件: ;:, : 以上两式均要求:, 其最小解是:,或。故有:,因此:。习题9-5 长的10号工字钢,在温度为时安装在两个固定支座之间,这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数,。试问当温度升高至多少度时,杆将丧失稳定性?解: 习题9-6 两根直径为的立柱,上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接,如图所示。试根据杆端的约束条件,分析在总压力F作用下,立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状,分别写出对应的总压力F之临界值的算式(按细长杆考虑),确定最小临界力的算式。解:在总压力F作用下,立柱微弯时可能有下列三种情况:(a)每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳: (b)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面失稳 失稳时整体在面弯曲,则1,2两杆组成一组合截面。 (c)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳 故面外失稳时最小:。习题9-7 图示结构ABCD由三根直径均为的圆截面钢杆组成,在B点铰支,而在A点和C点固定,D为铰接点,。若结构由于杆件在平面ABCD弹性失稳而丧失承载能力,试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。解:杆DB为两端铰支 ,杆DA及DC为一端铰支一端固定,选取 。此结构为超静定结构,当杆DB失稳时结构仍能继续承载,直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力,故 习题9-8 图示铰接杆系ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面ABC失稳而引起毁坏,试确定荷载F为最大时的角(假设)。解:要使设计合理,必使AB杆与BC杆同时失稳, 即:习题9-9 下端固定、上端铰支、长的压杆,由两根10号槽钢焊接而成,如图所示,并符合钢结构设计规中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢,强度许用应力,试求压杆的许可荷载。解:查型钢表得: 习题9-10 如果杆分别由下列材料制成:(1)比例极限,弹性模量的钢;(2),含镍3.5%的镍钢;(3),的松木。试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。解:(1) (2) (3) 习题9-11 两端铰支、强度等级为TC13的木柱,截面为150mm150mm的正方形,长度 ,强度许用应力。试求木柱的许可荷载。解: 由公式(9-12a): A习题9-12 图示结构由钢曲杆AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。已知结构所有的连接均为铰连接,在B点处承受竖直荷载,木材的强度许用应力。试校核BC杆的稳定性。解:把BC杆切断,代之以轴力N,则由公式(912b)得:因为,所以压杆BC稳定。习题9-13 一支柱由4根的角钢组成(如图),并符合钢结构设计规中实腹式b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支,柱长,压力为。若材料为Q235钢,强度许用应力,试求支柱横截面边长a的尺寸。解: (查表: , ),查表得: m4= mm习题9-14 某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体,并符合钢结构设计规中实腹式b类截面中心受压杆的要求,截面形式如图所示,材料为Q235钢,。若按两端铰支考虑,试求杆所能承受的许可压力。解:由型钢表查得 角钢: 得 查表: 故 习题9-15 图示结构中,BC为圆截面杆,其直径;AC边长的正方形截面杆。已知该结构的约束情况为A端固定,B、C为球形铰。两杆的材料均为Q235钢,弹性模量,可各自独立发生弯曲互不影响。若结构的稳定安全系数,试求所能承受的许可压力。解:BC段为两端铰支, AB杆为一端固定,一端铰支, 故 习题9-16 图示一简单托架,其撑杆AB为圆截面木杆,强度等级为TC15。若架上受集度为 的均布荷载作用,AB两端为柱形铰,材料的强度许用应力 ,试求撑杆所需的直径d。解:取以上部分为分离体,由 ,有设 , m则 求出的 与所设 基本相符,故撑杆直径选用 m。习题9-17 图示结构中杆AC与CD均由Q235钢制成,C,D两处均为球铰。已知 mm, mm, mm; , , ;强度安全因数 ,稳定安全因数 。试确定该结构的许可荷载。解:(1)杆CD受压力 梁BC中最大弯矩 (2)梁BC中 (3)杆CD (Q235钢的 = (由梁力矩平衡得) 故,由(2)、(3)可知,习题9-18 图示结构中,钢梁AB及立柱CD分别由16号工字钢和连成一体的两根角钢组成,杆CD符合钢结构设计规中实腹式b类截面中心受压杆的要求。均布荷载集度。梁及柱的材料均为Q235钢,。试验算梁和立柱是否安全。解:(1)求多余约束力把CD杆去掉,代之以约束反力。由变形协调条件可知,查型钢表得:16号工字钢的,L形角钢的面积:,(2)梁的强度校核 () AC段:; 令 ,得:当时, CB段: x00.7671233.2334M0.000 14.119 12.817 -22.367 12.817 14.119 0.000 因为 所以 符合正应力强度条件,即安全。(3)立桩的稳定性校核 由柔度查表得稳定因素 因为, ,而且, 所以压杆会失稳。不安全。
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