浙江省2018年中考数学总复习 第五章 基本图形(二)第27讲 图形与变换 第1课时 图形轴对称与中心对称讲解篇

第27讲图形与变换第1课时图形轴对称与中心对称1轴对称与轴对称图形考试内容考试要求轴对称轴对称图形a定义把一个图形沿某一条直线折叠，如果能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是 ，两个图形的对应点叫做对称点如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分能够完全 ，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的 区别轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形轴对称的性质1.对称点的连线被对称轴_；2对应线段_；3对应线段或延长线段的交点在_上；4成轴对称的两个图形 c2.中心对称与中心对称图形考试内容考试要求中心对称中心对称图形a定义把一个图形绕着一点旋转 后，如果与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，这个点叫做其对称中心，旋转前后重合的点叫做对称点把一个图形绕着某点旋转 后，能与其自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做 区别中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形中心对称的性质1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过_，而且被对称中心_；2成中心对称的两个图形 c考试内容考试要求基本思想转化思想：有关几条线段之和最短的问题，都是把它们转化到同一条直线上，然后利用“两点之间线段最短”来解决c1 (2016绍兴)我国传统建筑中，窗框(如图1)的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图2，它是一个轴对称图形，其对称轴有()A1条 B2条 C3条 D4条2(2016湖州)为了迎接杭州G20峰会，某校开展了设计“YJG20”图标的活动，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()3 (2017衢州)如图，矩形纸片ABCD中，AB4，BC6，将ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于()A. B. C. D.4(2017丽水)如图，由6个小正方形组成的23网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是_【问题】给出下列图形(1)这些图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是_；(2)画出平行四边形ABCD关于DC所在直线对称的平行四边形A1B1C1D1；(3)通过(1)、(2)解题体验，你想到哪些知识和方法？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理轴对称图形和中心对称图形；轴对称和中心对称以及画图类型一轴对称与轴对称图形、中心对称与中心对称图形(1)(2015无锡)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A等边三角形 B平行四边形 C矩形 D圆(2)(2017山东模拟)如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为_【解后感悟】(1)轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图形折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合；(2)解答的关键是菱形是中心对称图形，并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半1 (1)如图，ABC中，ABAC，ABC与FEC关于点C成中心对称，连结AE，BF，当ACB为_度时，四边形ABFE为矩形()A90 B30 C60 D45(2) (2015阳谷模拟)若AOB45，P是AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连结OP1，OP2，则下列结论最准确的是()AOP1OP2 BOP1OP2COP1OP2 DOP1OP2且OP1OP2(3) (2017温州模拟)如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有种类型二网格、平面直角坐标系中的图形变换如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，4)，请解答下列问题：(1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2)画出A1B1C1绕原点O旋转180后得到的A2B2C2，并写出点A2的坐标【解后感悟】本题运用图形的轴对称变换及旋转变换解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连结即可2(1)(2015杭州模拟)如下图均为22的正方形网格，每个小正形的边长均为1，请分别在四个图中各画出一个与ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形(2)(2017宁波)在44的方格中，ABC的三个顶点都在格点上在图1中画出与ABC成轴对称且与ABC有公共边的格点三角形(画出一个即可)；将图2中的ABC绕着点C按顺时针方向旋转90，画出经旋转后的三角形(3)(2015南昌)如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标类型三轴对称变换解决折叠问题(1)(2016齐齐哈尔)如图，在边长为2的菱形ABCD中，A60，点M是AD边的中点，连结MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为.【解后感悟】此题运用菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形(2)如图，在ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DEBF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B，C处，线段EC与线段AF交于点G，连结DG，BG.求证：12；DGBG.【解后感悟】本题运用轴对称的性质、平行四边形的性质、全等三角形的证明等知识，首先折叠问题是一种常见题型，折叠前后的两个图形对应边、对应角相等，也就是说折叠变换就是全等变换另外本题考查了一种常见的解题思路，证明两条线段相等或两个角相等，可以证明它们所在的两个三角形全等3. (1)(2015莆田)数学兴趣小组开展以下折纸活动：对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察，探究可以得到ABM的度数是()A25 B30 C36 D45(2) (2016河南)如图，已知ADBC，ABBC，AB3.点E为射线BC上一个动点，连结AE，将ABE沿AE折叠，点B落在点B处，过点B作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B为线段MN的三等分点时，BE的长为.类型四轴对称变换解决最小值问题(2015内江)如图，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE最小，则这个最小值为()A. B2 C2 D.【解后感悟】此题主要运用了轴对称求最短路线以及正方形、等边三角形的性质，把线段PD与PE长度之和转化为两点之间线段最短是解题关键4(2016百色)如图，正ABC的边长为2，过点B的直线lAB，且ABC与ABC关于直线l对称，D为线段BC上一动点，则ADCD的最小值是()A4 B3 C2 D2【探索研究题】(2017台州)如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BEBF，将AEH，CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时，则为()A. B2 C. D4【方法与对策】利用菱形的翻折变换(折叠问题)为背景给出问题的信息，借助基本图形，即阴影部分是菱形，揭示数量关系，设AB4y，BEx，从而得出阴影部分边长为4y2x，再由重叠部分面积是菱形ABCD面积的，可得阴影部分边长为y，根据4y2xy，求出x，从而得出答案【对称图形的概念理解不透】以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A等边三角形 B矩形 C等腰梯形 D平行四边形参考答案第27讲图形与变换第1课时图形轴对称与中心对称【考点概要】1重合对称轴重合对称轴垂直平分相等对称轴全等2.180180对称中心对称中心 平分全等【考题体验】1B2.D3.B4.【知识引擎】【解析】(1)(2)(3)轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形以及对称变换画图【例题精析】例1(1)A(2)12例2(1)如图所示：点A1的坐标(2，4)； (2)如图所示，点A2的坐标(2，4)例3(1)如图，过点M作MFDC于点F，在边长为2的菱形ABCD中，A60，M为AD中点，2MDADCD2，FDM60，FMD30，FDMD，FMDMcos30，MC，ECMCME1.故答案为：1.(2)证明：由折叠知，1CEF，又由平行四边形的性质知，CDAB，2CEF，12. 由折叠知，BFBF，又DEBF，DEBF，由知12，GEGF，又由平行四边形的性质知，CDAB，DEFEFB，由折叠知，EFBEFB，DEFEFB，即DEG1GFB2，DEGGFB，DEGBFG(SAS)，DGBG.例4由题意，可得BE与AC交于点P.点B与D关于AC对称，PDPB，PDPEPBPEBE最小正方形ABCD的面积为12，AB2.又ABE是等边三角形，BEAB2.故所求最小值为2.故选B.【变式拓展】1(1)C(2)D(3)32(1)(2)画出下列其中一个即可(3) 根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，对称中心的坐标是(0，2.5)A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：422，B，C的坐标分别是(2，4)，(2，2)，A1D12，D1的坐标是(0，3)，A1的坐标是(0，1)，B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3)，综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(2，4)，(2，2)，(2，1)，(2，3)3. (1)B(2)或4.A【热点题型】【分析与解】依题可得阴影部分是菱形设BEx，AB4y.阴影部分边长为4y2x.又重叠部分面积是菱形ABCD面积的，阴影部分边长为y.4y2xy.xy，AE(4)yy，.故答案为A.【错误警示】B等边三角形只是轴对称图形，等腰梯形也只是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形，故选B.11