上海市虹口区高三数学三模试卷理含解析

2016年上海市虹口区高考数学三模试卷(理科)一、填空题(本大题满分 56分)本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1. 设集合 M=x| _ 0,3 _ X2. 在 ABC中，tanA=-42i3. 已知复数z=hr(iN=x|2 x 1，贝U MA N=贝V sin2A=为虚数单位)，表示z的共轭复数，则z?4.若等比数列a n的公比q满足|q| yn+1)的一个变换，我们把它称为点变换.已知P1 (1, 0), P2 (X2, y2), P3经过点变换得到的一组无穷点列，设an=y .+ .4 -则满足不等式2016的最小正整数n的值为二、选择题(本大题共 4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分15.关于三个不同平面 a , 3 , 丫与直线I，下列命题中的假命题是()A. 若a丄3，则a内一定存在直线平行于3B. 若a与3不垂直，则 a内一定不存在直线垂直于3C. 若 a 丄 丫， 3 丄 Y, a A 3 =l，则 I 丄丫D. 若a丄3，则a内所有直线垂直于316.若函数y=f (x)的图象与函数y=3x+a的图象关于直线y= - x对称，且f (- 1) +f (- 3)=3,则实数a等于()A- 1 B. 1C. 2D.17. 在锐角厶ABC中，B=60 ,A. ( 0, 12) B . - , 12)44丨：；-|=2，则：的取值范围为(C. (0, 4D. ( 0, 2t18. 在平面直角坐标系中，定义两点P (X1, y1 )与Q (X2, y2)之间的直角距离”为: (P, Q) * 已知P (1, 已知P, Q用|PQ|表示-X2|+|y 1 - y2| .现给出下列4个命题：2 22), Q (cos 0 , sin 0 ) ( 0 R),则 d R三点不共线，则必有 d (P, Q) +d (Q, P, Q两点之间的距离，则|PQ|警d ( P, Q)；(P, Q)为定值；R) d ( P, R);22 0)在区间-1, 3上的最大值为 5,最小值为19.已知函数f( x)=JT9 It.的图象过点7-：和点 一.-.丄zJ的图(x)(1 )求a, b的值及f (x)的解析式;(2 )设g (x)=，若不等式g (3x) - t?3 x 0在x 0 , 2上有解，求实数t的取值x范围.21.如图，在直四棱柱 ABCD- ABQD中，底面ABCD为菱形，AC=4 BD=2,且侧棱 AA=3.其 中O为AQ与BD的交点.(1) 求点B到平面DAC的距离；(2) 在线段BO上，是否存在一个点 P,使得直线AP与CD垂直？若存在，求出线段 BP的长；若不存在，请说明理由.2 2 2,222设椭圆C: 土 +务=1(ab0),定义椭圆C的“相关圆” E为：x2+y2_乡口 若 a2 b2a2 + b2抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的右焦点重合，且椭圆 C的短轴长与焦距相等.(1) 求椭圆C及其“相关圆” E的方程；(2) 过“相关圆” E上任意一点P作其切线I，若I与椭圆C交于A B两点，求证：/ AOB为定值(O为坐标原点)；(3) 在(2)的条件下，求 OAE面积的取值范围.23.若数列 An： ai, a2,，an (n N , n2)满足 ai=0, |a k+i - ak|=1 ( k=1, 2，n 1),则称A为L数列.记S (An) =ai+a2+an.(1 )若A为L数列，且a5=0，试写出S (A)的所有可能值；(2 )若A为L数列，且an=0，求S (An)的最大值；(3) 对任意给定的正整数 n (n 2),是否存在L数列A,使得S (A) =0?若存在，写出满足条件的一个L数列An；若不存在，请说明理由.2016年上海市虹口区高考数学三模试卷(理科) 参考答案与试题解析一、填空题(本大题满分 56分)本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1+工1.设集合 M=x| 一 0 , N=x|2 x 1，贝U MA N= 0 , 3).3 _ x交集及其运算.分别求出M与N中不等式的解集确定出M与N,找出两集合的交集即可.解：由M中不等式变形得：(x 3) (x+1)w 0，且3 x丰0,K xv 3，即 M= 1, 3),2x 1=20,即 x 0,c xJc【考点】【分析】【解答】解得：-由N中不等式变形得: N=0 , +8), 则 Mn N=0 , 3), 故答案为：0 , 3).22.在 ABC中，tanA=，贝U sin2A=4三角函数中的恒等变换应用.【考点】【分析】由题意得A为钝角，且sinA=sin2A .【解答】解： ABC中,3tanA=,434 sinA=, cosA= 求55 sin 2A=2s in AcosA= 2i3.已知复数 z= ”詁：:;(i为虚数单位)，表示 z 复数代数形式的乘除运算.的共轭复数，则z? = 1【考点】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z,再由【解答】2!2i解：z=TT=(i+V5i)(i-V5i 厂 42V5+2i V3 , 1 z?=二)2+(*)S故答案为：1 .4.若等比数列a n的公比 q 满足 |q| v 1，且 a2a4=4, a3+a4=3,贝U(a1+a?+aj = 16【考点】 等比数列的通项公式.【分析】由等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出;(ai+a2+an).【解答】 解：等比数列an的公比q满足|q| 1, 且 a2a4=4, a3+a4=3,(3引q二4由|q| 则; (a1+a2+an)故答案为：16.8(1-丄)2n=r I.竝TOO丄=16.5.若函数f (x) = (x - a) |x| (a R)存在反函数f -1 (x)，则 f (1) +f-1 (- 4) =- 1【考点】反函数.【分析】根据f (x)存在反函数f-1 (x)，得出f (X)是定义域上的单调函数，求出 a的值 以及f ( x)的解析式，即可求出 f (1) +f -1 (- 4)的值.【解答】解：t函数f (x) = (x - a) |x|= “ 三一 x +axT xCO且f (x)存在反函数f -1 (x), f (x)是定义域R的单调增函数，-X2t x0时，不符合条件， a v 0,且厶 0 a :山，-芯门故答案为：(-R, -2 一)14在平面直角坐标系中， 定义 nr ：, 丁 为点R( xn, yn)到点R+1( xn+1 ,如二 5%yn+1 )的一个变换,我们把它称为点变换已知P1( 1 ,0),P2( X2 ,y2),P3( X3 ,加,是经过点变换得到的一组无穷点列，设 an=dFLFF/,则满足不等式 +32+an 2016的最小正整数n的值为 11【考点】进行简单的合情推理.【分析】根据条件即可求得点 P1 , F2到P7的坐标，从而可以求出向量：-，：,:. I 的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出a=1 , a2=2 , a3=4 , a4=8 , a 5=16 ,从而便可看出数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求出前n项和为2n- 1,从而可以得到2n 2017 ,这样便可判断出最小正整数n的值.【解答】解：由条件得，P1(1,0),P2(1 , 1) ,P3(0 ,2) ,P4(- 2 , 2),P5(- 4 , 0),P6 (- 4, - 4), P7 (0, - 8)；-aE；”/广(0 , 1) ? (- 1 , 1) =1, a2-?匕= (- 1, 1) ? (- 2 , 0) =2a3=一： ：？；： 1=( - 2 ,0)?(-2 ,- 2)=4 , a4= ：j ； f ?-=(- 2 ,- 2)?( 0,- 4)=8 ,a5=.d?W=(0, - 4) ? (4, - 4) =16 ,数列an是首项为1,公比为2的等比数列； a1+a?+an= =2n - 1 ,1-2由 a1+a2+an 2016 得,2n- 1 2016; 2n 2017;10 11/ 2 =1024 , 2 =2048 ,满足a1+a2+an 2016的最小正整数 n=11,故答案为：11.二、选择题(本大题共 4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分15.关于三个不同平面 a , 3 , 丫与直线I ,下列命题中的假命题是()A. 若a丄3 ,则a内一定存在直线平行于 3B. 若a与B不垂直，则 a内一定不存在直线垂直于3C. 若 a 丄 丫， 3 丄 Y, a A 3 =l，则 I 丄丫D. 若a丄3，则a内所有直线垂直于 3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明.【解答】 解：对于A假设a A 3 =a,则a内所有平行于a的直线都平行3，故A正确； 对于B,假设a内存在直线a垂直于3,则a丄3,与题设矛盾，故假设错误，故B正确; 对于C,设a A Y =c, 3 A Y =d,在丫内任取一点 P,作PML c于点M, PN丄d于点N, 则PM丄a , PN丄3 ,且PM PN不可能共线.又 I ? a , I ? 3 , PM! I , PIN! I .又 PMA PN=P PM? y , PN? y , I丄丫 .故C正确.I )对于D,假设a A 3 =a,则a内所有平行于a的直线都平行3 ,故D错误.16.若函数y=f (x)的图象与函数y=3x+a的图象关于直线y= - x对称，且f (- 1) +f (- 3)-3,则实数a等于()D. 4A.- 1B. 1C. 2【考点】反函数.【分析】设(x, y)为函数y=f (x)的图象上的一点，则关于直线y= x对称的点为(y,-x).代入函数y=3x+a可得：f (x) =a-log 3 (- x).即可得出.Jf f 1 -【解答】 解：设(x, y)为函数y=f (X)的图象上的一点，则关于直线y= - x对称的点为(-y,- x).代入函数 y=3x+a 可得：-x=3-y+a，- y+a=log 3 (- x),即 f (x) =a- Iog 3 (- x).f (- 1) +f (- 3) =3,. a - 0+a - log 33=3，解得 a=2. 故选：C.17. 在锐角厶ABC中，B=60 ,| ：；-|=2，则：；？的取值范围为()A. (0, 12) B .-十 12) C. (0, 4D. (0, 2【考点】平面向量数量积的运算.【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到 C的坐标，找出三角形为锐角 三角形的A的位置，得到所求范围.【解答】 解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系， B=60, p-】-,|=|1=2 ,-c (1, Vs),设 A (x, 0) ABC是锐角三角形， A+C=120 , 30v Av 90,即A在如图的线段 DE上(不与D, E重合), 1 v x v 4,则沽-M=x2 X= (X - . ) 2-金的范围为(0, 12). 故选：A.JLa|7 .-1 B Dl2 A 3 E4 x18. 在平面直角坐标系中，定义两点P (xi, yi )与Q (X2, y2)之间的直角距离”为：d(P, Q) =|x i - X2|+|y i - y2| .现给出下列4个命题： 已知 P (1, 2), Q( cos2 0 , si n 2B ) ( 0 R),则 d (P, Q)为定值； 已知P, Q R三点不共线，则必有 d (P, Q) +d (Q, R) d (P, R); 用|PQ|表示P, Q两点之间的距离，则|PQ|2 2 若P, Q是椭圆 一 - =1上的任意两点，贝U d (P, Q)的最大值为6.54则下列判断正确的为()A.命题，均为真命题 B .命题，均为假命题C. 命题，均为假命题 D .命题，均为真命题【考点】进行简单的合情推理.【分析】先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可. 2 2 2【解答】解：已知 P( 1, 2), Q( cos 0 , sin 0 ) ( 0 R,则 d (P, Q) =|1 - cos 0 |+|2 -sin 0 |=sin 0 +2 - sin 0 =2 为定值；故正确， 已知P, Q R三点不共线，设 P (1, 0) , Q( 0 , 0), R( 0 , 1),则 d ( P , Q =|x p- xd+|y p- yo|=1 ,d (Q, R) =|x q- Xr|+ q- yR|=1 .d (P ,R)=|xp- XR|+|yp-yR|=1+1=2 ,此时 d(P,Q)+d (Q,R)=d (P ,R); d ( P , Q +d (Q, R) d (P , R)不成立，故错误， 若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQFJ匕|匸.,严 4P, Q)=|xix2|+|y i - y2| ,2 2 2/2 (a+b)( a+b),十I 尹-厂|x 1 - X2l+|y 1 - y2|，即：|PQ| d ( P, Q),则|PQ| d ( P, Q)=d ( P, Q),故正确,22 2 若P, Q是=1上的任意两点，d ( P, Q)的最大，设P ( cos a , 2sin a ), Q(-54塔cos a , - 2sin a );贝 U d ( P, G) =|x 1 - X2|+|y 1 - y2|=2 (J geos a +2sin a ) =6sin ( a + 0 ), 则d ( P, Q的最大值为6;故正确，I 1故选：D 三、解答题(本大题共 5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.m cos2i:n sin2i(1) 求函数f (x)的最大值与最小值；(2) 将函数y=f (x)的图象向左平移 $ (0V $ v n)19.已知函数f (x)=的图象过点I厶.和点-312个单位后，得到函数y=g (x)的图象；已知点P (0, 5),若函数y=g (x)的图象上存在点 Q使得|PQ|=3，求函数y=g (x) 图象的对称中心.【考点】函数y=Asin (3 x+ $)的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图 象.【分析】(1)利用条件求得 m n的值，可得函数的解析式，从而求得它的最值.(2)根据g(x)的解析式，点Q( 0,2)在y=g(x)的图象上，求得$的值，再利用正 弦函数的图象的对称性，得出结论.ncos2x，则由它的图象过点/ /I *【解答】 解：(1)易知f (x) =msin2x -TT兀 lrosin-r- 一 ncos=V 3可得;?，解得亍 4兀4兀乃- nc os- 2:工 1._:二 x-2_ In 二:一.故函数f (x)的最大值为2,最小值为-2.(2 )由(1)可知:r 二丄 d；.于是，当且仅当Q(0, 2)在y=g (x)的图象上时满足条件,g(0)=2sin(2:一：.由Ov ? n ,故： ：0)在区间-1, 3上的最大值为 5,最小值为1.(1 )求a, b的值及f (x)的解析式；(2 )设g (x)=匚，若不等式g (3x) - t?3 x 0在x 0 , 2上有解，求实数t的取值x范围.【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断.【分析】(1)解关于a, b的方程组，求出a, b的值从而求出函数的解析式即可；(2)问题转化为t 2*-2 I +1=2+ ,.在x 0 , 2上有解，通过换元法求出t的范围即可.【解答】解：(1)由 f (x)=a (x - 1) 2+b - a (a 0)及条件，可得 *f (3) =3a+b=5 f(l) =b-,b=2.故 f (x)解得a=1=x2 - 2x+2 (2)由(1)可得 g (x) =x+- 2,XX于是题设条件得 3x+ .一- 2 - t?3x 0在x 0 , 2上有解，3即t2 J-2、：+1=2+在x0,2上有解， 令=u . , 1，: x 0 , 2,1 2 1 1则t 2二| + ,：在u . , 1上有解231 1 2 1 1当 u , 1时，2+, , 1 , 于因此，实数t的取值范围为(-R,1 21. 如图，在直四棱柱 ABC- A1B1GD中，底面ABCD为菱形，AC=4 BD=2且侧棱 AA=3.其 中O为AQ与BD的交点.(1) 求点Bi到平面DAC的距离；(2) 在线段BO上，是否存在一个点 P,使得直线AP与CD垂直？若存在，求出线段BP的 长；若不存在，请说明理由.【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】(1)用向量法，找出平面上一点Di与此点Bi相连的线段所对应的向量，求出其在平面法向量上的投影的绝对值即可得到点到面的距离.(2)由题意设： - I ，可求I-.的坐标，若忑.三亍可得厂?E玩=0,解得 入的值，即可得解.【解答】(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题.解：(1)由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC与BD的交点O为原点，以射线 OA OB OO分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标 系.由已知条件，相关点的坐标为A (2,0,0), B(0,1 , 0), C (- 2 ,0 ,0) , O( 0 ,0 , 3),B (0 , 1, 3) , D (0, - 1, 3).*设平面DAC的法向量为二由 一 i” I；,丄 1-ZAXn* AC=-4x=0 二n-ADj= -2k- y+3z=0令z=1,则：.事T.因-.-：!. UIF * f ! 0,即为 1+2k2m.4kmq _ Q设 A (Xi, yi), B (X2, y2),贝U Xi +X2_ , XiX2_,1+2/l+2k2 2l+2kl+2k2可得 y$2_( kxi+m) ( kx2+m) _k2XiX2+k(X1+X2)+mf_k2?+kn(l+2k2由1与圆x2+y2=相切，可得d.-，化为命心o_2 _ n _ 9.2则，：$?: _xiX2+yiy2_0,即/ AOB_90 .l+2k2综上所述/ AOB=90为定值;(3)由于-应I卡雹丨，求Saoab的取值范围，只需求出弦长 |AB|的取值范围. 当直线I的斜率不存在时，可得|AB|_ -, Saao3当直线I的斜率存在时，|AB|_？.；g 2),是否存在L数列A,使得S (An) =0?若存在，写出满足条件的一个L数列A;若不存在，请说明理由.【考点】数列的应用.【分析】(I)根据题意，ai=a5=0, a2= 1, a4= 1，再根据|a k+i - ak|=1求出as=0或土 2, 可以得出符合题设的 E数列A5；(2) 由于A为L数列，且ai=an=O, |a k+i a 3 ( k、n N),并且 S ( An) =21+2+3+ ( k 1) +k=k 2 ,于是要使S (An)(3)令 Ck=ak+1 a (k=1, 2,n 1),贝U Ck= 1,于是由 a1=0 , 得 a2=C1 ,a3=a2+C2=C1+C2 ,a4=a3+C3=C1+C2+C3 ,an = an-1+Cn- 1=& + C2 +Cn- 1 ,故 S (An) =a1+a2+a3+an ,=(n 1) C1+ (n 2) C2+ (n 3) C3+ +2cn-2+6-1 ,=(n 1) +( n 2) +( n 3) + +2+1+ ( n 1) (C1 1) +( n 2) (C2 1) + (n 3) (C3 1 )+ +2 ( Cn- 1 1 )+ ( Cn- 1 1),(n 1) (1 cj + ( n 2) (1 C2) + ( n 3) (1 C3)+ +2 (1 Cn-2) + (1 Cn- 1.,因 Ck= 1,故 1 Ck (k=1, 2,n 1)为偶数，所以(n 1) (1 cj + ( n 2) (1 C2)+ ( n 3) (1 C3)+ +2 (1 Cn-2) + (1 Cn-1) 为偶数. 2 即 n (n - 1)为 4 的倍数，亦即 n=4m,或 n=4m+1 (m N).(i ) 当 n=4m( m N)时,L数列 A的项在满足：a4k-i=a4k-3=0, a4k-2=1, a4k= - 1 (k=1 , 2,， m)时，S (An) =0.(ii )当 n=4m+1 (m N)时，L 数列 A 的项在满足：a4k-i=a4k-3=0, a4k-2=1, a4k= 1 (k=1 , 2,，m), a4m+1=0 时 S (A) =0.23