4行列式的性质

1.4 行列式的性质证令bjaji(i, j 1,2,n),则a11a1na11an1,DT，则 DTan1anna1 nann性质 1 设DDai1ainaj1ajn性质 2 设 ij, D,D1,则D1aj1ajnai1ain(1) aP11aP22aPnn(P1P2Pn)证bikajk，bjkaik(k 1,2,n)l i, j：bkaik(k 1,2,n)D1bi1bj1binbjn(1)(biPibjPj)(PiPj)(1)t(1)(bjPjbiPi)t( PjPi)biibn1bnn()b1 p1b2 p2(P1P2Pn)(P1P2Pn)(根据Th2)(1)( 1)t(aiPjajPi)(1)( 1)t(% ajqj) D推论 1 D 对调两列得D2D2D.qiPj, qjPil i,j：qiPlt( qiqj)证 因为 D 对调两列得D2,相当于 DT对调两行得 D；所以D2D；DTD推论 2 D 中某两行（列）元素对应相等D 0 .证因为对调此两行（列）后,D 的形式不变所以D D例如，对于任意的a,b, c, 都有aiia11ka1 j性质 3kai1kainkD,kDan1kanjannan1ann证 （1） 左端1) a1P1(kaipi)anPn(PiPiPn)aiPianpn) kD推论推论D 中某行（列）元素全为 0D 中某两行（列）元素成比例a11a1na11a1 na11a1nai1ainbbinCi1Cinan1annan1annan1ann证左端( 1)(a1 P1aiPi叽）(P1( 1)(a1P1SianPn)(1)(a1P1c,n),则性质Cj(j4jPiiPi右端（1）+右端若对某个 i,有ajbjPn)注性质 4 对于列的情形也成立.1ri(r2rn)解Dnx(n1)ax(n1)ax(n1)a(xn 1a)注性质 5 对于列的情形也成立.计算Dnai1ainrikrjai1aj1ainajnaj1ajnaj1ajn性质 5(ij)1533153315330105550211(5)011101610110023002302191101110211解D153315330111(5)0111002300231100310002( 5)55aax计算123450311331ai1ai, n 1ainn001 (22n2) 1.5 行列式按行（列）展开余子式：在n阶行列式中，将元素aj所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原来的相对位置构成的 n 1 阶行列式，称为元素玄耳的余子式，记作M代数余子式：儿糸aj的代数余子式 Aj(1)ijMj.a11a12a1n定理 3 Da21a22a2nan1an2annai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,n)a1 jA1ja2jA2janjAnj(j1,2,n)证证明第一式，分以下 3 步.(1 Pin 1)12 3210例 7 计算 Dn30 1n00c1jCjDnj2, ,n001a11第 1 步:Mnn(1)(P1PnP1an 1,Pn 1an 1,1a1,n 1an 1,1an 1,n 1an 1 ,n00ann(1)5Pn lPn),ai Pian 1,Pn ian,Pn( 1)(P1Pn1Pn)弘1Pnn1)(P1Pn1Pn)弘1(Pnnann( 1)(P1Pn1n)a1an 1,Pn 1an, Pn+an 1,Pn 1an, Pnan 1,Pn 1( P1Pn 1n) ( P1Pn 1)annMnnann(1)nnMnn第 2 步:D(i, j)-a1 j-D11-1-D2iai 1,ji00aij00iai 1,j:1D3；1D4-1anj-a1j1)(n i)(nj)D3D4:B!anjRii vaiEBarVHI” ?0000 ay(1)(j)aijMijaijAij第 3 步：D D(i,1)D(i,2)D(i, n)例 8 计算Dai1Ai1ai2Ai2ainAin153320 1131124131D1 i D2ai 1,jai1ai, n 1ain(1)(2n1) (2n1)ad D2(n 1)( 1)( 1)(2n1)1bc D2(n 1)(ad bc)D2(n1)(ad bc)n 1D2a bD2ad bcc dD2n(ad bc)n1：1II仁22116 02114712316(1)322120 0(1) 2 17 0例 9 计算 D2nD2n(1)12 21)( 1)20ab:ic dcdI 000 d(2n550(1)12nb0D2(n 1)c0ab= 4 “ 4 j =二.“-.i= 1寸 5 W !“ niacd108D2(n 1):1)0(2n 1)1033；ii1100 n 1 | n 1丿im * an F* bE 1；000；n例 10 计算DnD2Dn课后作业:nDm ( 1)n 1(n1)!n (n1)Dn2( 1)(n 1) 1n(n1)Dn2( 1)nn!(n 1 1)!( 1)n 1(n(n 1解Dnn(n1)!1)3D21)n 1n!n(1)4n!n 1n!1)- n1)21)3(1)32(1)n1n4(1)5(1)7(1)习题一