广州市小学数学青年教师解题比赛试题及参考答案

广州市小学数学学科首届青年教师解题比赛初赛试题（时间：2007年6月9日上午，时量：90分钟）一、填空题（请将答案填在答题卷指定的位置）【第16题每小题5分，第712题每小题10分，本大题共计90分】HAGACADABAAA1 将18的八个数字分别填入下式的中，使下列等式成立：FAEA 2计算（答数用分数表示）： 。3甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈。乙反方向跑，每隔15秒与甲相遇一次。求乙跑一圈所用的时间是 秒。4有一只小蚂蚁在一根弹性充分好的橡皮筋上的A点，以每秒1厘米的速度向前爬行。从小蚂蚁开始爬行的时候算起，橡皮筋在第2秒、第4秒、第6秒、第8秒、第10秒、时均匀的伸长为原来的2倍。那么，在第9秒时，这只小蚂蚁离A点厘米。5有一次考试共20题，记分方法是：做对第K题得K（K1、2、3、20）分；做错第K题则倒扣K分。小华做了所有题，得分为100分。那么小华至多做对了 题。6某工厂加工配套的机器零件要经过三道工序。第一道工序平均每人每小时做20件，第二道工序平均每人每小时做16件，第三道工序平均每人每小时做24件。现有1332名工人，要使各工序安排合理，那么，第一道工序应安排 名工人。7如右图是两个正方形，其边长分别为8cm和4cm，问：阴影部分的面积是 。8一列火车全长800米，行驶速度为每小时72千米。铁路上有两个隧道，列车通过第一个隧道用了2分钟，通过第二个隧道用了3分钟，从车头进入第一个隧道到车尾离开第二个隧道共用了6分钟。两个隧道之间的路程是 米。9两个盒子中各有12个大小一样的小球，且都是红、黄、绿色各4个。闭上眼睛，然后先从第一盒中拿出尽可能少且至少有两个颜色一样的球放入第二个盒中，再从第二个盒中拿出尽可能少的球放入第一个盒中，要使第一个盒中每种颜色的球不少于3个，这时，第一个盒中有 19 个球，第二个盒中有 5 个球。10如右图是长、宽、高分别为5，4，3的立方体，把这个长方体从上向下切4刀，从左向右切2刀，从前向后切3刀（每个方向上切的几刀都是平行于侧面的，）问：（1）一共切成 60 个小长方体。（2）切成的所有小长方体的表面积总和是 。11某数学活动小组中男孩人数大于小组总人数的40%且小于总人数的50%，这个数学活动小组的成员至少有 人。12有 2007个不同的自然数（不包括0），它们当中的任意两个数的和都是2的倍数，任意三个数的和都是3的倍数。为了使这2007个数的和尽可能小，那么这2007个数中最大的一个数是 。二、解答题（请将详细的解答过程填在答题卷指定的位置）【每小题20分，本大题共计60分】13黑板上画一个等边三角形ABC，那么在黑板上找到这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形。具有这样性质的点P共有几个？（试画出草图进行说明）14已知在分数和之间只有两个正整数，求正整数x的一切可能值的和。15用一个正方形去盖住边长为5、12、13的直角三角形，那么正方形的边长不得少于多少？广州市小学数学学科首届青年教师解题比赛初赛试题参 考 答 案（时间：2007年6月9日上午，时量：90分钟）一、填空题（共计90分）第16题每小题5分题号123456答案A=1 B=2246117432第712题每小题10分题号789101112答案24cm2200019，560，370 m3712037【解答提要】：3解：设乙跑一圈所用的时间是x秒。则乙每秒跑周。甲用40秒跑完一圈，每秒跑周。问题变为甲乙两人沿跑道反向跑，当一次相遇后再过15秒会再次相遇。于是有，解得x=24，即乙跑一圈所用的时间是24秒。4解：小蚂蚁每2秒爬2厘米，第9秒时离A点 （222）222221 6222221 142221 302161(厘米)。5解：因为若全做对，应得总分为：12320210分，而小华做了所有的题，得100分，故倒扣了（210100）255分，要使答对题目最多，则答错题目数应是最小。由于17182055，故小华至多做对17道题目。6解： 20，16，24 240 1332（240202401624024） 36 12364327解：连接DE，把阴影部分分成了两个三角形，AED和DEG，它们的面积之和就是阴影部分的面积，ADE的底和高都是4 cm，DEG的底GD为4 cm，高为8cm，所以阴影部分的面积为：SAEDSDEG。8解：72千米/小时7220米/秒，20（602）8001600（米）第一个隧道的长，20（603）8002800（米）第二个隧道的长，20（606）8006400（米）从第一个隧道的入口到第二个隧道的出口间的路程。6400160028002000（米）。9解：第一次拿球，第一盒中有三种颜色的球，故需要拿4个才能保证至少有2个球同色，这时，第一盒中剩8个球，第二盒中有16个球；第二次拿球，“最坏”的情况是第一盒中只有两种颜色的球，对应的第二盒中三种颜色的球分别有4个、4个和8个，故至少要从第二盒中取出443=11（个）球，才能保证第一盒中缺少的那种颜色的球不少于3个，这时第一盒中有19个球，第二盒中有5个球。10解：（1）共有（21）（31）（41）60（个）小长方体。 （2）由于任一方向切一刀都到2个与相应侧面面积相同的截面，因此在这个方向上切得的表面积为：（2刀数2侧面）侧面面积2（刀数1）侧面面积。所以在三个方向上切成的所有小长方体表面积总和为：2（41）（34）2（31）（45）2（21）（35）12016090370 m311解：设这个数学活动小组的成员中男孩人数为a人，由于男孩人数小于小组人数的50%，最接近的分数是，于是得。解左边的不等式得：，可取a3得，2a17。这个数学活动小组成员至少有7人。12解：根据题意，这2007个数必定同奇或同偶，且除以3的余数都相同，不然，任意两数之和不能是2的倍数，任意三数之和也不能是3的倍数了。所以这2007个数，如果从小到大顺序排列起来，从第二个数开始总比前面的数大6，所以这2007个数是个等差数列。又根据题意，为使2007个数的和尽可能小，那么就从1开始：1，7，13，19，。因此，第2007个数是：16（20071）=112036=12037。二、解答题（每小题20分，共计60分）（请写出详细的解答过程）13解：提示，如图：（1） （2） （3） （4）图（1）PAPBPC，这样的P点有1个。图（2）PBABBC且PAPC，这样的P点有3个。图（3）PA=PC=AB=BC，这样的P点有3个。图（4）PB=AB=BC，PA=PC，这样的P点有3个。共有133310（个）。评分参考：每种情况含图形10分，计算总数10分14解：因为x0,可得 由题意知，和之间只有两个正整数，故这两个正整数是5和4。 所以， 因为x是正整数，所以x11，12，13，1423，24，这些数的和是评分参考：求出x的范围10分，求和10分15解：如图，设AB x，EC y AEEF 1290 13 ABEECF 在RtABE中，AB2BE2AE2 即 即正方形边长不得小于评分参考：找出关系式10分，列方程4分，解答6分广州市小学数学学科第二届青年教师解题比赛初赛试题参考答案（时间：2008年4月 日，时量：90分钟）一、填空题【第16题每小题5分，第712题每小题10分，本大题共计90分】第16题每小题5分题号123456答案2980126066第712题每小题10分，其中第10小题每空2.5分题号789101112答案1918036（1）中位数；（2）平均数、众数；（3）中位数20【解答提要】：1计算： 。解：原式 2将化成循环小数，小数点后第2008位上的数字是 2。解：，（2008-1）63343。所以，小数点后面第2008位上的数字是2。3实验小学的学生乘汽车外出旅游，如果每车坐65人，则有5人无车可乘；如果每车多坐5人，则可少用一辆车。那么，外出旅游的学生有 980人。分析：根据题意，可以将问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐，如果每车坐70人，则会多出65570个空位，求有多少人？ 解：（5565）515（辆） 65155980（人）或（655）（151）980（人）图14用绳子三折量水深，水面以上部分绳长13米；如果绳子五折量，则水面以上部分长3米，那么水深是12米。解：（13335）212（米）5如图1：P为边长12厘米的正方形中的任一点，将P和AD、BC的三等分点，AB、CD二等分点及B、D分别相连。那么，阴影部分的面积是60 平方厘米。阴影部分面积（122）12（123）12=60（平方厘米）6口袋里装有42个红球，15个黄球，20个绿球，14个白球，9个黑球。那么至少要摸出 66 个球才能保证其中有15个球的颜色是相同的。 解：把红、黄、绿、白、黑五色当作5个抽屉，从最不利的情况想，如果开始摸出的球正好是红球14个、黄球14个、绿球14个、白球14个、黑球9个，那么口袋里剩下的是红球、黄球和绿球，这样再摸一个球，就能达到目的。 所以要摸：1449166（个）7有一个整数除300，262，205所得的余数相同，则这个整数最大是19 。分析：因为300，262，205除以同一个数时余数相同，所以300262，300205都能被该数整除，它们的最大公约数，便是所求的数。图2 解：3002623821930020595519（38，95）19，因此，所求的数为19。图3 8如图2，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点0，那么AOCDOB的度数为 180 度。答：180（利用旋转知识求解）9如图3，长方形中的24个方格都是边长为1厘米的正方形，则图中长方形ABCD的面积是 36 平方厘米。解：如图所示画上虚线，即可把长方形ABCD分成四个长方形。 右上和左下的长方形的面积是8平方厘米；中间的两个长方形的面积是10平方厘米。所以长方形ABCD的面积是36平方厘米。10在统计学中平均数、中位数、众数都可以称为一组数据的代表，下面给出一批数据，请挑选适当的代表。（1）在一个20人的班级中，他们在某学期出勤的天数是：7人未缺课，6人缺课1天，4人缺课2天，2人缺课3天，1人缺课90天。试确定该班学生该学期的缺课天数。（选取： 中位数 ）（2）确定你所在班级中同学身高的代表，如果是为了：体格检查，服装推销。（选取： 平均数 选取： 众数 ）（3）一个生产小组有15个工人，每人每天生产某零件数目分别是6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，11，12，12，18。欲使多数人超额生产，每日生产定额（标准日产量）就为多少？（选取： 中位数 ）11一家机密文件碎纸公司有许多位雇员，这些雇员在输送带前排成一列，分别编号为1，2，3，老板接到将一张文件撕碎的任务，他把这份文件撕成5块后交给第1号雇员。每当第n号雇员接到前手传来的一迭纸时，都从中取n块，把每块再分成5块，然后再传给第n+1号雇员。若第k号雇员接到前手传来的总的块数少于2006块，但传给下一位的总块数超过2006块，那么k 32 。提示：第1次操作完结后为9块；第2次操作完毕后为548=17（块）；第3次操作完毕后为54812=29（块）；，第n次操作完毕后为S=54（123n）块。当n=31时，S=523132=1989；当n=32时，S=523233=2117；所以，k=32。图412一食品柜尺寸如图4所示，一只蚂蚁在A点的正前方1分米的E处，C点有一小孔，当蚂蚁从E到C沿最短路线爬行时，经过的点F离A是分米。解：将AC平面沿AB旋转成水平。设AFx，则，解得（分米）。二、详细解答题【每小题20分，本大题共计60分】2 . 5 5 3. 6 1 5 3 07 6 50 . 9 1 8 02 . 5 5 3. 6 1 5 3 07 6 50 . 9 1 8 013分析题：张华同学在做小数乘除法习题时，发生了下面的错误。请你指出错在哪里，并分析产生错误的原因。0 . 0 1 7 0 . 8 0 . 1 3 6（1） （2） 0.890.442(余1) 20 . 44 0 . 8 9 8 8 12.160.270.08 0 . 0 80.27 2 . 1 6 2. 1 6 0（3） （4）答（1）这题的结果应该是0.0136。原来的得数是0.136，积的小数部分的位数错了。产生错误的原因是把被乘数的小数部分“017”看成两位，以为十分位上的0不算数位。（2）这题的结果应该是9.18。原来的得数是0.9180，积的小数部分的位数错了。产生错误的原因是把第一部分积末位的0未算数位。（3）这题的结果为8。原来的得数0.08，商的小数部分的位数错了。产生错误的原因是没有把被除数和除数同时扩大同数倍，使除数变成整数。（4）这题的余数是。原来的余数是1，余数错了。产生错误的原因是，被除数与除数同时扩大了100倍，余数也扩大了100倍，余数扩大100倍后为1，所以应该把1缩小100倍，即为。14循环小数究竟是等于1还是近似等于1，请你给出结论并说明或证明你的结论。（1）用纯循环小数化分数的法则来加以说明： （2）用无穷递缩等比数列的求和公式来加以说明。把用下面的形式给出： 容易看出，正好是一个无穷递缩等比数列，之和。无穷递缩等比数列的求和公式是：其中S是数列之和，a是数列首项，q是数列的公比（q1）。则15明明用四舍五入法做整数的“加法”：先将最左边的两个数相加，并把其和的个位数字四舍五入，再将其结果与第三个数相加，并把其和的个位数字四舍五入，再将结果与第四个数相加，并把其和的个位数字四舍五入如此反复进行。 例：明明计算1358时如下进行： 134 把4四舍五入得0，055 把5四舍五入得10，10818 把18四舍五入得20。请问：（1）当明明计算123410时，答案是几？（2）当明明计算从1100的100个整数的和时，答案会因为100个整数的排列方法而有变化，请求出最大可能的数值。解：（1）首先，123，将其四舍五入为0。以下的计算通常是个位为0的整数加上下一下整数，因此预先四舍五入之后再相加答案仍不变，将3和4四舍五入为0，从5到10四舍五入为10，所以原式00010101010101060。（2）重要的是个位数字与最初两数的和（其他位数字与四舍五入法没关系）。用普通加法计算1234591055，将其分别四舍五入后计算的结果是60，比普通加法计算的和大5。于是用四舍五入法计算从1到100的和，比普通加法计算的和大51050。另外，改变最初两数的计算14235910时，因14是10，所以答案大10。从1到100的普通加法求和是5050，按题中要求的算法最大可能是数值是：505050105110。广州市小学数学学科第三届教师解题比赛初赛试题参考答案（时间：2009年2月27日，时量：90分钟）一、填空题【第16题每小题5分，第712题每小题10分，本大题共计90分】第16题每小题5分题号123456答案3844016000030平方米3，519第712题每小题10分题号789101112答案6222159（1）1:00；1:20；2:00；1小时，6千米（2）1:20至1:40，共20分；30分；3:00【解答提要】：1几个小朋友排成一圈，从小军开始顺时针数到小明是第18，逆时针数到小明是22，一圈共有 38 个小朋友。分析：因为小军和小明都被数了2次。解：18222=38（人）2河里有一行白鹅，2只前面有2只，2只后面有2只，2只中间有2只，那么最少有 4 只白鹅。分析：可以画图帮助思考。解：总共有4只。3计算：200920082007200720082009 40160000 。解：原式2009（200820081）2007（200820081）20092008200820092007200820082007（20092007）200820084016 图12200820084016401600004如右图1，正三角形ABC的面积为120平方米，那么阴影部分(正三角形)的面积= 30（平方米）。分析：小三角形如右图重新摆放后，可知解：小三角形面积大三角形面积4120430（平方米）5（这是数学教材（六上）数学广角中的一道练习题）全班一共有38人，共租8条船，每条船都坐满了，大船每条坐6人，小船每条坐4人，那么租了大船 3 条，租了小船 5 条。解：略6有大、小两堆苹果，取较大一堆苹果的和较小一堆苹果的放在一起是13千克，那么这两堆苹果合在一起至少有 19 千克（整数）。解：设较大一堆苹果为千克，较小一堆苹果为千克，根据题意，得，当时，则两堆苹果合在一起至少是19千克。7一个六位数6285，除以7余4，但能被11整除，那么这个六位数的末两位数是 62 。解：由于能被11整除，所以十位数应比个位数大4或小7，即后两位数可能是 40，51，62，73，84，95，07，18，29。由628500除以7余5及上面的9个数中只有62除以7余6知，这个六位数的末两位数是是62。8对循环小数与的乘积取近似值，要求保留一百位小数。那么，这个近似小数的最后一个数字是 2 。解：先求出这两个循环小数的积 积的循环节有六个数字，而1006164,则积的小数点后第一百个数字恰好就是循环节的第四个数字1。 图2由四舍五入可知，近似小数的最后一个数字应为2。9如图2：OEF中，OAB，ABC, BCD，CDE，DEF的面积都等于1。那么，阴影CDF的面积为 。解：设OAa，OBb，则OAB与ABC面积相等，容易推出ACOAa。又由OCB面积 ：BCD面积2 ：1 可得BDb由DCE面积：OCD面积1：3，可得CE再由DEF面积：OED面积1：4，可得DF:OD1:4，即DFOD（OBBD）（b）所以因为CBD面积1，所以CDF面积。10如图3：沿直线将一个长方形剪掉一个角后形成一个五边形，已知这个五边形5条边的长度分别是5厘米、9厘米、13厘米、14厘米、17厘米（未必是按顺序的）。这个五边形的面积最大是 215 平方厘米。图3分析：显然，长方形的长是17厘米，为叙述方便，给其余四条边标上字母，如下图：又知剪下的三角形为直角三角形，则须满足，构造如下：17145122=208 1713432=21511有一只青蛙位于一条东西向的直线上，每次可以选择向东跳（）也可以选择向西跳（）。青蛙第一次跳12cm，第二次跳22cm，第三次跳32cm，第十八次跳182cm，第十九次跳192cm。若跳完这19次后，青蛙必须到达位于原来位置东方2008cm处。假设青蛙完成此任务的方案中最后一次向西跳的距离是cm，那么所有可能的值中的最小值是 9 。分析：若青蛙每次都是向东跳，则共跳1222192=2470cm，超过目的地462cm。可知必须有若干次向西跳。因每将一个向东跳改为向西跳时，向东移动的距离会减少该次跳动距离的2倍，因此必须从12，22，192中找出和为4622=231的距离向西跳。因要使最后一次向西跳的距离最短，故要让找出的数中最大之数尽可能小。因1222324252627282=204231，故最大数至少为92。可发现1262728292=324252628292=231都可以达成目地，故所求为第9次跳动，即的最小值为9。12小明从A地出发到B地去玩。（图4中的实线表示行走路线）图4请根据图4的运行图回答下面的问题：（1）小明是 1：00 （填时间）出发， 1：20 （填时间）到达距A地3千米的某地，2：00（填时间）到达B地，共走了 1小时（填时间），行了 6 千米。（2）小明在3千米处休息了 20分 （填时间）。在B地又玩了 30分 （填时间）。 3：00 （填时间）候返回原地。解：（1）明是1：00出发，1：20到达距A地3千米的某地，2：00到达B地，共走了1小时，行了6千米。（2）小明在3千米处休息的时间是1：20至1：40，共20分。在B地又玩了30分，3：00返回到原地。二、详细解答题【每小题20分，本大题共计60分】13（1）试判断下列说法是否正确，并说明理由。 在讲授数的分解与组成时，老师指出：“5可以分解为5和0”。 答：不对。理由：无意义。 在乘法计算中，60表示0个6相加，61表示1个6相加。 答：不对。理由：根据乘法的补充定义：60=0，61=6均是规定 。 保留一位小数是2。 答：不对。理由：保留一位小数是2.0。 等腰三角形、长方形、圆形等是对称图形；平行四边形不是对称图形。 答：不对。理由：平行四边形是中心对称图形。（2）我们都知道“0不能做除数”，作为一名数学教师，你能说明“为什么0不能做除数”的道理吗？简要说明理由。答：根据乘、除法的关系，当被除数不为0时，商不存在，因为找不到一个数与0相乘会得非0数；当被除数为0时，商不确定，因为任何数与0相乘都得0。14齐威王与大将田忌又约重新赛马。每人有四匹马，分为四等。田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。田忌有多少种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛。分析：先考虑赢哪两场，由于第1场必输，故第2，3场，2，4场，3，4场是可能情况，设齐王的四匹马为8，6，4，2，自己的为7，5，3，1。若赢2，3场，则第2场用7，第3场用5，其余任意，共1=2种；若赢2，4场，则第2场用7时，第4场或5或3，其余任意，共2=4种；若赢3，4场，则第3场用5时，第4场用3或7第3场用7时，第4场用3或5其余任意，共4=8种；但赢 3场 情况被多计算了两遍，即：第2场用7，第3场用5，第4场用3。故共有：2482=12种。15甲、乙两人分别从A、B两地到C地，甲从A地到C地需3小时，乙从B地到C地需2 小时40分钟。已知A、C两地间的距离比B、C两地间的距离远10千米，每行1千米甲比乙少花10分钟。（1）求A、C两地间的距离；（2）假设AC、BC、AC这三条道路均是直的，试判定A、B两地之间的距离的取值范围。分析：（1）设每行1千米乙花分钟，则甲花分钟，由题设有。解得（舍去）。当时，（分），1801018（千米）。（2）由于A、B、C三地的位置不确定，所以B可在AC之间或B在AC的延长线上，也可能A、B、C三地不在同一直线上，故应分三种情况讨论。当B在AC之间时，则有（千米）；当B在AC延长线上时，则有ACBC18826（千米）；当A、B、C三地不在同一直线上时，易知1026.综上所述，10千米26千米。16