福建师范大学2021年9月《近世代数》作业考核试题及答案参考18

福建师范大学2021年9月近世代数作业考核试题及答案参考1. 试证明： 设是非空开集，r00若对任意的xG，作闭球，则是开集试证明：设是非空开集，r00若对任意的xG，作闭球，则是开集证明 设x0A，则存在xG，使得.注意到G是开集，故存在0，使得再取xB(x，)且xx以及|x-x0|r0，从而有.由此易知，存在00，使得，即A是开集2. 在一批灯泡中作寿命试验，其结果如下表： 寿命(t) 0，100 100，200 200，300 300，+在一批灯泡中作寿命试验，其结果如下表：寿命(t)0，100100，200200，300300，+个数121734358在=0.05下，检验假设H0:灯泡寿命服从指数分布待检假设H0：Xf(x)，当H0为真时，可算得 查表得 由n=300，p1=0.394，p2=0.239，p3=0.145，p4=0.222，列2检验计算表如下表所示： 区间 fi pi npi fi-npi frac(f_i-np_i)2np_i 0，100) 121 0.394 118.2 2.8 0.0663 100，200) 78 0.239 71.7 6.3 0.553 200，300) 43 0.145 43.5 -0.5 0.006 300，+) 58 0.222 66.6 -8.6 1.111 算得 经比较知2=1.736，故接受H0，认为灯泡寿命服从指数分布 3. 已知f(x)=sinx，f(x)=1-x2，且，则(x)=_已知f(x)=sinx，f(x)=1-x2，且，则(x)=_arcsin(1-x2)()4. 设y=exlnx，求y&39;。设y=exlnx，求y。y=(ex)lnx+ex(lnx) 5. 试证明： 设fn(x)是定义在R1上的实值函数列，则 (i); (ii)试证明：设fn(x)是定义在R1上的实值函数列，则(i);(ii)证明 (i)记En,=xR1：fn(x)若x0属于左端，即，则存在：，以及n0，使得fn(x0)(nn0)，即，x0属于右端；若x0属于右端，即存在：，使得.这说明存在n0，x0En,(nn0)，即fn(x0)(nn0)从而有，x0属于左端 (ii)若x0属于右端，则存在k0N，使得x0属于En,k0中的无穷多个(En,k0=xR1：fn(x)1/k0)，即存在nj，使得fnj(x0)1/k0，故.反向证略 6. 设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2。设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2。 7. 验证极限存在，但不能用洛必达法则求出验证极限存在，但不能用洛必达法则求出若用洛必达法则，则因 不存在故题设极限不能用洛必达法则求出 8. 设函数，若f(x)在(-，+)内连续，求a、b的值设函数，若f(x)在(-，+)内连续，求a、b的值a=1，b=29. 比较下列各题中的两个积分的大小：比较下列各题中的两个积分的大小：因为0x1，所以x2x4(“=”成立的z只有有限个)，又因为x2，x4是连续函数，故01x2dx01x4dx,即I1I2$因为1x2，所以x2x4(“=”成立的x只有有限个)，且x2，x4是连续函数，所以12x2dx12x4dx,即I1I2$因为3x4，所以Inx1，所以Inx(Inx)3，且Inx，(Inx)3是连续函数，所以34lnxdx34(1nx)3dx，即I1I2$设f(x)=ln(1+x)-x，则(0x1)，故当0xl时，f(x)单调递减，故f(x)f(0)=0，即ln(1+x)x(0x1)，所以01In(1+x)dx01xdx故I1I2$由于x0时，1n(1+x)x，所以1+xex，因此I1I210. (溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L(溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L的速率注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以每分钟3 L的速率流出容器问在任意时刻t容器中的含盐量是多少?正确答案：11. 设汞的密度与温度的关系为=a0+a1t+a2t2+a3t3，经实验收集了四组数据：当温度为0、10、20、30(单位：)时，汞的设汞的密度与温度的关系为=a0+a1t+a2t2+a3t3，经实验收集了四组数据：当温度为0、10、20、30(单位：)时，汞的密度分别为13. 60、13. 57、13.55、13.52(单位：t/m3)请估计当温度为15时，汞的密度为多少13.56t/m312. 已知一容器的外表面由y=x2(0y12m)绕y轴旋转而成，现在该容器盛满了水，将容器内的水全部抽出至少需作多少功已知一容器的外表面由y=x2(0y12m)绕y轴旋转而成，现在该容器盛满了水，将容器内的水全部抽出至少需作多少功？以y为积分变量，则y的变化范围为0，12，相应于0，12上的任一小区间y，y+dy的一薄层水近似看作高为dy、底面积为x2=y的一个圆柱体，得到该部分体积为ydy，水的密度P=1000kg/m3，该部分重力为1000gydy，把该部分水抽出的移动距离为12-y，因此作功为 . 13. 从形式上看，矩阵和行列式都是矩形数表，试问二者有什么区别和联系?从形式上看，矩阵和行列式都是矩形数表，试问二者有什么区别和联系?正确答案：矩阵和行列式是两个完全不同的概念。矩阵是由mn个元素排成的一张表,它的行数和列数不一定相等；而行列式是一个特定的算式,其结果为一个数,它的行数和列数必须相等。对于方阵,相应的有与之对应的行列式。方阵行列式的引入,在矩阵与行列式之间建立起了一定的联系,从而可以利用行列式来研究矩阵,如利用|A|0可以判断方阵A的可逆等。14. 设f(x，y)关于y在R上满足Lipschitz条件：对任意的R，R，有 ， (7.14) 其中L称为Lipschitz常数对后退欧拉公设f(x，y)关于y在R上满足Lipschitz条件：对任意的R，R，有，(7.14)其中L称为Lipschitz常数对后退欧拉公式yi+1=yi+hf(xi+1，yi+1)(7.15)进行迭代求解(7.16)证明当h满足hL1时，此迭代过程是收敛的首先证明是Cauchy序列由 两边取绝对值并利用条件(7.14)得 ，k=1，2，3， 递推得 ，k=1，2，3， 对任意的l，m(lm)，有 因为hL1，所以任给0，存在N，当lmN时， 因而是Cauchy序列，从而存在，设其值为y* 在(7.16)的两边令k，则得y*=yi+hf(xi+1，y*)因而 15. 设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_ (A)f(x)必有间断点设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_(A)f(x)必有间断点(B)(x)2必有间断点(C)f(x)必有间断点(D)必有间断点D解法1 反证法若没有间断点，即在(-，+)内连续，又因为f(x)连续，则由连续函数的运算法则知：f(x)=(x)也在(-，+)内连续这与题设(x)有间断点矛盾，故必有间断点 解法2 排除法令，f(x)=x2，(x)，f(x)符合题设但 f(x)=1在(-，+)内没有间断点，即(A)不正确； (x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(B)不正确； f(x)=(x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(C)不正确 故应选(D) 16. 关于函数极限和数列极限的关系，有哪些应用？关于函数极限和数列极限的关系，有哪些应用？我们有下述定理给出的更强的结果： Heine归并定理 极限存在的充分必要条件是：对任何数列xn，满足xnx0(n)且xnx0(nN+)，有存在. 这个性质称为函数极限的归并性，它有以下一些应用： (1)证明极限不存在，只需找出一个数列xn：xnx0(n)，且xnx0(nN+)，数列f(xn)发散；或找出两个数列xn和xn：xnx0，xnx0(n)，xnx0，xnx0(nN+)，数列f(xn)和f(xn)有不同的极限 (2)为求极限，可以先找一个数列xn：xnx0(n)，xnx0(nN+)，求出数列f(xn)的极限：.然后，再证明. 17. 设3个向量a，b，c两两相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则|a+b+c|=_，|ab+bc+ca|=_。<设3个向量a，b，c两两相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则|a+b+c|=_，|ab+bc+ca|=_。718. 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d 提示：应用综合除法 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d提示：应用综合除法 由 可知，以x-2除f(x)得余数d；再以x-2除商q1(x)得余数c；再以x-2除第二次商q2(x)得余数b，易知a=2，也是第三次除法所得之商 算式如下： 结果有 f(x)=2x3-x2-3x-5 =2(x-2)3+11(x-2)2+23(x-2)+13 19. 每一个次数大于0的复数系多项式一定有复根。( )每一个次数大于0的复数系多项式一定有复根。( )正确答案： 20. 设随机变量XB(200，0.01)，则P(X5)=0.9473 ( )设随机变量XB(200，0.01)，则P(X5)=0.9473 ()正确21. 求微分方程x+kx=0的通解求微分方程x+kx=0的通解特征方程为3+k=0 当k=0时，有通解为：x=C1+C2t+C3t2， 当k0时，特征根分别为通解为 22. 求微分方程y&39;&39;y&39;2y=8sin2x的通解。求微分方程y+y-2y=8sin2x的通解。23. 试将下列微分方程组化为等价的微分方程，并求出方程的解：试将下列微分方程组化为等价的微分方程，并求出方程的解：由第2式得x=4y+y，再取导数有x=4y+y将得到的x，x代入第1式便得4y+y=3(4y+y)-10y，y+y-2y=0 再利用第2式及初值条件知y(0)=8-4=4 最后得到等价的微分方程为 y+y-2y=0，y(0)=1，y(0)=4 上面二阶方程的特征方程为2+-2=(+2)(-1)=0，有根=-2，1 方程的通解为y=c1e-2t+c2et满足初值条件的解为y=-e-2t+2et及x=-2e-2t+10et$由第1式有，代入第2式得 -x+tx+t2x=-2x+x+txt2x=0 等价的微分方程为x=0 它有通解x=c1t+c2， 或由第2式有，代入第1式可得 ，t2(ty+2y)=0 等价的微分方程为ty+2y=0 令z=y，可化为tz+2z=0，有通解为进而 24. 甲、乙两车床生产同一种零件现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径(单位：mm)为： 甲：15.0，1甲、乙两车床生产同一种零件现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径(单位：mm)为：甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8假定其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高(=0.05)?25. 用来表明同类现象在不同空间、不同时间、实际与计划对比变动情况的相对数称_指数。用来表明同类现象在不同空间、不同时间、实际与计划对比变动情况的相对数称_指数。广义26. 求矩阵A特征值的QR迭代时，具体收敛到哪种矩阵是由A的哪种性质决定的?求矩阵A特征值的QR迭代时，具体收敛到哪种矩阵是由A的哪种性质决定的?设ARnn，且A有完备的特征向量组如果A的等模特征值中只有实重特征值或多重复的共轭特征值，则由QR算法产生的Ak本质收敛于分块上三角矩阵(对角块为一阶和二阶子块)且对角块中每一个22子块给出A的一对共轭复特征值，每一个一阶对角子块给出A的实特征值，即 其中m+2l=n，BI(i=1，2，l)为22子块，它给出A的一对共轭特征值 27. 直接证明下列级数的敛散性如果收敛，求其和 (1) (2) (3) (4),m1 (5)，a,bR+直接证明下列级数的敛散性如果收敛，求其和(1)(2)(3)(4),m1(5)，a,bR+(1)因为，所以 于是因此级数收敛，且其和为 (2)因为 所以 于是 因此级数收敛，且其和为 (3)因为 ，所以 因为不存在，所以不存在，故级数发散 (4)因为 而m1，所以，于是因此级数收敛，且其和为m (5)因为，所以和均收敛，且 ， 根据收敛级数的性质得知收敛，且其和为 28. 因为一元函数y=f(x)在点x0处的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这种说法对因为一元函数y=f(x)在点x0处的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这种说法对吗？该说法不对 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念 从几何意义上讲，函数在某点的导数的几何意义是该函数表示的曲线方程在该点的切线的斜率；函数在某点的微分的几何意义是该函数表示的曲线方程在该点的纵坐标的增量 29. 设矩阵Amn经初等行变换变成了矩阵Bmn，证明：A的由第j1，j2，jr列组成的向量组与.B的由第j1，j2，jr列组成设矩阵Amn经初等行变换变成了矩阵Bmn，证明：A的由第j1，j2，jr列组成的向量组与.B的由第j1，j2，jr列组成的向量组有相同的线性相关性.证 由A与B行等价知存在可逆方阵P，使得PA=B.设A，B按列分块分别为 A=1 2n，B=1 2n 则PA=B可写成 P1 P2Pn=1 2n 即Pj=j (j=1，2，n) (3-37) 设有一组数x1，x2，xr，使得 (3-38) 用矩阵P左乘上式两端，并利用(3-37)式，得 (3-39) 反过来，若有x1，x2，xr使(3-39)式成立，用P-1左乘(3-39)式两端，并利用P-1j=j，便得(3-38)式成立.故关于x1，x2，xr的两个齐次线性方程组(3-38)与(3-39)是同解的，当它们只有零解时，向量组和向量组都线性无关；当它们存在非零解时，向量组和向量组都线性相关，且如果有常数k1，ki-1，ki+1，kr，使，则对应地有.所以向量组与向量组有相同的线性相关性.本题证明了：矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量之间的线性相关性.由此可知，若A与B行等价，则为B的列向量组的极大无关组为A的列向量组的极大无关组. 30. 设an,bn二收敛级数中至少有一个为绝对收敛，又设cn=a0bn+a1bn-1+anb0，则cn必收敛，且 墨吞斯设an,bn二收敛级数中至少有一个为绝对收敛，又设cn=a0bn+a1bn-1+anb0，则cn必收敛，且墨吞斯可假定bn为绝对收敛于是根据假设便有 置n=|b0|+|b1|+|bn|，n=c0+c1+cn则 n=(a0+a1+a2+an)(b0+b1+b2+bn)-b1an- b2(an+an-1)-b3(an+an-1+an-2)-bn(an+an-1+a1)=snsn-b1(sn-sn1)-b2(sn-sn-2)-bn(sn-s0) 故 现在的情况很明白，由于 故对于任意给定的0，总可选取n，m以及n-m都充分地大，使得 |n-ss|snsn-ss|+(m-0)-A，此处A=max|sn-sn-j|(m+1jn)又|snsn-ss|亦可使之小于所设由于为任意而A及m均系有界，故得|n-ss|0