测试技术课件：第2章 测量误差与静态测量数据处理

3:40 AM1第二章第二章 测量误差与静态测量数据处理测量误差与静态测量数据处理2.1 2.1 测量误差概述测量误差概述2.2 2.2 不等精度测量不等精度测量2.3 2.3 函数误差与误差的传递函数误差与误差的传递2.4 2.4 测量的不确定度测量的不确定度2.5 2.5 静态测量数据处理静态测量数据处理3:40 AM22.1 测量误差概述测量误差概述2.1.1 测量误差的概念及其表示方法测量误差的概念及其表示方法1. 测量误差测量误差：对某一参数进行测量时，由于各种因素的影响，使测量值与被测参数的真值之间存在一定的差值，此差值就是测量误差。测量误差的产生原因主要有四个方面(四要素)：测量方法；测量设备；测量环境；测量人员素质。2. 研究测量误差的意义研究测量误差的意义 正确认识测量误差的性质与分析测量误差产生的原因，寻求最大限度地减小与消除测量误差的途径。寻求正确处理测量数据的理论和方法，以便在同样条件下，能获得最精确最可靠地反映真值的测量结果。3:40 AM3测量误差的表示方法测量误差的表示方法 绝对误差绝对误差：或 其中X为测定值，为真值，为约定真值。 一般来说，真值无法求得，约定真值应是理论真值的最佳估计值。可用实测量的算术平均值或满足规定准确度的测量值作为约定真值，如高一级测量仪表的读数。 相对误差相对误差：（/）100 或 =（/）100%示值误差 =指示值X-真值 引用误差引用误差：引用误差引（示值误差 /测量范围上限Xm）100% ， 称为测量值为时的引用误差。 引用误差有最大值：引（/）100(向上圆整后)。 称为电工仪表的等级指数，共7级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。使用级精度仪表时可保证： 在相同误差下，显然，X越接近，相对误差越小。（/）（/）。3:40 AM42.1.2 2.1.2 测量误差的分类测量误差的分类系统误差系统误差：对某一参数在相同条件下进行多次重复测量时，以确定的规律影响各次测量值的误差。 系统误差不能用增加测量次数来减少。随机误差随机误差：对某一参数在相同条件下进行多次重复测量时，误差的符号及大小变化无规律，呈现随机性的误差。 可用数理统计理论对随机误差进行研究，作出估计。粗大误差粗大误差：由于某些原因造成的使测量值受到显著歪曲的误差，可在重复测量比较分析后消除。产生原因：测量者的粗心大意，环境的改变，如受到振动、冲击等。 含粗大误差的测定值应根据一定的客观标准予以剔除。如3标准等。 3:40 AM51.随机误差的特点随机误差的特点 随机误差的存在导致每次测量结果有些不同，将测量值进行分组统计(将最大值与最小值之间进行N等分，在直角坐标系中横轴表示测量值，纵轴表示测量值落在每一等分内的个数即频数)，作出直方图，此图显现中间高、两边低，两边对称的特点。具有这种分布特点的随机变量称之为服从正态分布。 测量值与测量误差都服从正态分布，只是分布中心不同。随机误差具有如测量值与测量误差都服从正态分布，只是分布中心不同。随机误差具有如下特点：下特点： 单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大； 对称性；绝对值相同、符号相反的误差出现的可能性相等； 相消性：随着测量次数的无限增加，随机误差的算术平均值趋近于零。 有界性：绝对值大于某数值的随机误差不会出现。2.1.3 2.1.3 随机误差的特点及估计随机误差的特点及估计1lim0Nini 1lim0Nini 1lim0Nini1lim0NiNi3:40 AM6 22222exp12exp122uxfx 具有这样特性的事件称之为服从正态分布（高斯分布），具有这样特性的事件称之为服从正态分布（高斯分布），正态分布的概率密度：正态分布的概率密度：测量值测量值的的分布中心可用求算术平均值的方法求得：分布中心可用求算术平均值的方法求得：NiixNxu113:40 AM72201111lim()limNNiiNNiixxNN211()1NiiSxxN 1）等精度测量中单次）等精度测量中单次测量测量值的可靠性值的可靠性或用或用的估计值的估计值单次测得值的可靠性常用单次测量的标准差单次测得值的可靠性常用单次测量的标准差来评定：来评定：3:40 AM8tlimtuxtu1tuxtuP单次测量的极限误差单次测量的极限误差：t称为置信系数其数值与误差出现的概率有关，设测量值x落在区间的概率 -称为显著水平当t值不同时,概率不同,见P7 表2-1若取t=1则p=68.26%t=2，p=95.45%t=3，p=99.73% 接近于100%而测量值超出u-3, u+3 的概率很小,认为不可能出现.3:40 AM93limt通常取3,此时 2）等精度测量中算术平均值的可靠性）等精度测量中算术平均值的可靠性算术平均值的可靠性常用算术平均值的标准差来评定。NiixxxNNNSN12)() 1(1算术平均值的极限误差：xxt.limt通常取33:40 AM10当测量次数较少时当测量次数较少时,按按t分布计算算术平均值的极限误差，分布计算算术平均值的极限误差， 则:NSktx)(lim k自由度=N-1 N 为测量次数-显著水平=1-p（置信概率）lim( )3.2503.2510 xStk 例:有10个测量数据,要求测量结果的置信概率为99%则:=1-0.99=0.01 k=N-1=9 从P7表2-2可知 3 3）粗大误差的消除粗大误差的消除:当测量值产生的误差3|1 xx时,便可认为是粗大误差予以剔除.3:40 AM11精密度精密度：说明测定值的分散程度，用随机误差的分布范围（极限误差lim）或标准差来评定。精密度描述随机误差。 准确度准确度：说明测定值的算术平均值偏离真值的程度。用系统误差的大小来评定。准确度描述系统误差。 精确度精确度：对随机误差和系统误差的综合评定。 精度：精度：常指精确度，但有时也指精密度。 2.1.4 精密度、准确度、精确度精密度、准确度、精确度3:40 AM122.2 不等精度测量不等精度测量 2.2.1 2.2.1 等精度测量与不等精度测量等精度测量与不等精度测量 在测量过程中，若测量的方法、仪器、环境、人员水平及测量次数（对多次重复测量）(五要素)都不变，则任何一次测量值或算术平均值（对多次重复测量）都具有相同的可靠程度，称之为等精度测量。 若使方法、仪器、环境、人员水平及测量次数中的任一项改变，则每改变一次后的测量结果与前一次测量结果的可靠性不同，称之为不等精度测量。 不等精度测量的目的是对不同条件下的测量结果加以比较分析，以便获得更精确的测量结果。 3:40 AM132.2.2 不等精度测量结果的表示不等精度测量结果的表示加权算术平均值加权算术平均值 不等精度测量因各组测量值的可靠程度不同，故不能用算术平均值来表示，而应遵从一个原则：即可靠性高或精确度高的测量值在最终测量结果中所占的比重要大一些，而可靠程度小或精确度低的结果在最终测量结果中所占的比重要小一些。而普通算术平均值反映不出这种关系。因此引入了加权算术平均值的概念。 3:40 AM141. 权的概念与确定权的概念与确定 权值反映了某一测量值在最终测量结果中的比重，用p来表示。权值的大小与测量值的标准差有关。设在不等精度测量中，各组的算术平均值为设在不等精度测量中，各组的算术平均值为x1, x2, x3, xm，对应的，对应的标准差为标准差为1 , 2 m 。则各组的权值为：12m22212111P : P : P=:m 即每组的权值与其标准差的平方方差成反比。(2-11)3:40 AM15123222123222111P : P : P =:111:1:16: 40.040.010.02 若不等精度测量仅为重复次数不同，而其它测量条件都不变，若不等精度测量仅为重复次数不同，而其它测量条件都不变，则可用各组的重复次数则可用各组的重复次数ni做该组的权值做该组的权值pi。即：即：pi=ni例如，已知三组不等精度测量结果对应的标准差分别为：例如，已知三组不等精度测量结果对应的标准差分别为：则：则： 可取：可取：p1=1, p2=16, p3=4 02.0,01.0,04.03213:40 AM1611miiimiip xXp12320. 5020. 4620. 40 xxx=1 20.501620.46420.4020.451 164x2. 加权算术平均值的计算加权算术平均值的计算接上例，设则 3:40 AM171iiixxmpiip21(1)1()miiixmmpiip XXiXX3. 加权算术平均值的标准差加权算术平均值的标准差已知各组已知各组i 若已知各组的权且组数足够多时若已知各组的权且组数足够多时其中，为测量组数，为第i组平均值，为加权算术平均值。(与各组的算术平均值的分布有关)pi按(2-11)求3:40 AM182.3函数误差与误差的传递函数误差与误差的传递一、直接测量与间接测量一、直接测量与间接测量直接测量直接测量测量的物理量就是所研究的参数.间接测量间接测量测量某些基本物理量,再根据函数关系求解所要研究的参数.研究函数误差就是解决间接测量中的误差传递问题(也称为第一类问题)另外还要解决误差的分配(也称为第二类问题)举例说明:电路中的VIR1.对电流测量可以用间接法.先测量R .V 再算出电流I及误差.(第一类问题)2.若对电路电流误差有要求,则要求V和R的测量误差应保证在一定的范围之内(第二类问题)3:40 AM1912(,)myf x xx121211.mmmmiiiiiifffdydxdxdxxxxfdxC dxxiifCx二二. 函数的误差传递函数的误差传递已知直接测量参数的误差,求间接测量参数的误差1.误差传递函数误差传递函数:设直接测量参数与间接测量参数的关系式为设直接测量参数与间接测量参数的关系式为:当测量基本参数X1.Xm时存在误差,则计算出的y值的准确性必然受到影响.y值的误差可以用求微分的方法求出:式中: ,称之为误差传递系数,它反映了第i个测量参数的误差对最终测量值y的影响程度.或者说xi的误差是通过Ci传递给y的.3:40 AM201miiiyC x 函数的系统误差函数的系统误差 函数的随机误差函数的随机误差2.函数误差的计算函数误差的计算:式中 ij 为相关系数 一般 11ij 它反映了两个参数(或者随机变量)之间是否成线性关系。221myiiiCmiiiyC1函数随机误差的标准差： miiiyyCt12.lim2.lim函数随机误差的标准差（各基本参数的随机误差两两独立时）： 函数的极限误差（各基本参数的随机误差为正态分布，且互相独立时）： mjijiijjimiiiyCCC112223:40 AM21例例:测平板上两圆孔的中心距L,选择一种较好的测量方法.已知:12120.5.0.7.0.8.1.0ddllumumumum12122ddLl12222ddLl122llL解解:.式+式有:. 3:40 AM22111llCl1212ddCC222222222111122110.80.50.70.9()44Lllddddcccum方法方法1: 21lC1212ddCC 222222222221122111.00.50.71.09()44Lllddddcccum方法方法2: 3:40 AM23112lC212lC222221122110.80.64()44Lllllccum方法方法3: 由此可见第三种方法最好.3:40 AM24三三.函数误差的分配函数误差的分配误差传递的反问题：给定函数误差给定函数误差, ,要求确定各基本参数所允许的测量误要求确定各基本参数所允许的测量误差差. .步骤：按等作用原则分配误差按实际测量的难易调整误差验算 y2221miiyic考虑各基本参数相互独立,给定 则有:在这个方程中有m个未知数(,1,.,)iim 根据已知条件只能列出一个方程,因此,解该方程必须再给定附加条件.3:40 AM251.等作用原则等作用原则:设各基本参数的误差对函数误差的影响相等.即2222222221222.mmiiycccmc222|yyiiiicmmc i=1,2,.m.2.按实际过程调整误差按实际过程调整误差:由上式可知,当|Ci|很大时, i很小，意味着对Xi的测量要求很高的精度,而|Ci|很小时,则可放宽测量要求.在实际中,如果|Ci|太大,对Xi的测量要求过高,现有设备仪器可能满足不了,这时可以适当提高其他参量的测量精度,而保证总的22iic2y 仍然满足小于3:40 AM263.调整后的验算调整后的验算2221miiyic若 ，则可使不易保证测量精度的基本参数的 扩大；2221miiyic若 ，则可使容易保证测量精度的基本参数的 缩小。3:40 AM27有关误差的的综合问题是误差理论中争论最多的问题,目前的趋势是用不确定度来代替各种误差的称呼.有关这部分内容,请参考有关的误差理论论著.2.4测量的不确定度测量的不确定度.误差的合成也称为误差的综合误差的综合,它是解决如何根据各分项误差来评定最后的测量结果的误差.分项误差分项误差:指由某一因素或环节产生的测量误差,如系统误差,随机误差等.3:40 AM282.5静态测量数据处理静态测量数据处理一一.测量数据表示法测量数据表示法.在测量过程中在测量过程中,被测量与测试仪器的输出之间存在一定的关系被测量与测试仪器的输出之间存在一定的关系.为把这种为把这种关系建立起来关系建立起来,常常在特定的条件下改变被测量的量值常常在特定的条件下改变被测量的量值,测出对应的输出测出对应的输出,特别是对传感器而言特别是对传感器而言,这种工作称为标定这种工作称为标定.即给出传感器输入即给出传感器输入/输出之间输出之间的关系的关系.比如比如:测力传感器测力传感器,输入为力输入为力,输出为电流输出为电流,这样力与电流的关系可这样力与电流的关系可用不同的表示方法表示出来用不同的表示方法表示出来.1.列表法列表法:输入力(N)输出电流(mA)6012.27014.28016.29018.310020.415030.43:40 AM292.图示法图示法,即描点作图即描点作图坐标可采用直角坐标坐标可采用直角坐标,极坐标等极坐标等.上述两种方法直观但不便于从理论上分析研究上述两种方法直观但不便于从理论上分析研究,所以通常还要采用所以通常还要采用第三种方法第三种方法.3.回归方程回归方程经验公式法经验公式法.根据数理统计的方法根据数理统计的方法,求出两个求出两个(甚至多个甚至多个)量之间的关系量之间的关系,用一个数用一个数学方程来表示，该方程称之为回归方程学方程来表示，该方程称之为回归方程,而建立该方程的过程称之而建立该方程的过程称之为回归分析为回归分析,回归分析包括一元线性回归回归分析包括一元线性回归,一元非线性回归一元非线性回归,多元线性多元线性回归及多项式回归等回归及多项式回归等.常用的是一元线性回归分析常用的是一元线性回归分析.3:40 AM30二二.一元线性回归方程的建立一元线性回归方程的建立.对一组数据Xi 、Yi,若它们之间是线性相关的.则可用一条直线来表示即 ： ym xb(对线性关系的评价由相关函数来评价) 通常这条直线可用最小二乘法获得,即设实测值yi与理论计算值y之差的 平方和为最小,可列成下式: 21()minNiiQyy Q为剩余平方误差3:40 AM31即即:21()minNiiiQymxb若要使若要使Q最小最小,可通过求极值的办法来确定可通过求极值的办法来确定.m,b两个未知量两个未知量,即令即令:112()0002()0NiiiiNiiiQQymxb xmmQQymxbbb m b为未知量 解方程便可求得解方程便可求得m和和b 3:40 AM321221NiiiNiix yN x ymxNx bymx1111NiiNiixxNyyN其中其中: 3:40 AM33采用线性回归的条件采用线性回归的条件:当x、y两变量之间的相关系数的绝对值大于最小相关系数，即时才能采用线性回归方程,最小相关系数的确定与N及概率有关. min补：两变量之间的相关关系与相关系数的理论:线性相关系数yxxy11()(),NxyiiixxyyN协方差NiixxxN12)(1NiiyyyN12)(1-1,1分：正相关、负相关，完全正相关、完全负相关，独立（无线性关系）。参见p12标准差3:40 AM34回归方程的使用应注意回归方程的使用应注意:1. 回归方程一般只适用于原测量数据所适用的范围,超出标定曲线的范围则误差很大.2. 用最小二乘法求回归方程是以自变量误差较小或无误差为前提的,即只考虑Y的误差而不考虑x的误差.3. 如果两变量中一个变量的误差可以忽略,则应采用另一个变量对该变量的回归直线.4. 如果两变量的误差大体相当,则可以采用两条相交的回归直线的平均直线.（p21,图2-5）5. 如果两个变量的误差不相当,一个误差大,一个误差小,则所采用的中间直线应偏向于误差大的变量对另一变量的回归直线.3:40 AM35本章要点本章要点:1. 误差; 系统误差、随机误差、粗大误差; 误差产生的原因.2. 精密度、准确度、精确度.3. 单次测量值的标准差和极限误差，算术平均值的标准差和极限误差.4. 不等精度测量：加权算术平均值及其标准差.5. 函数误差的计算，函数误差的分配.6. 一元线性回归方程.End of chapter 2