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第 一 章常用逻辑用语常用逻辑用语知能整合提升知能整合提升1四种命题及其关系四种命题及其关系(1)命题命题可以判断真假的语句叫做命题，它由条件和结论两可以判断真假的语句叫做命题，它由条件和结论两部分组成，是用语言、符号或式子表达的，能够判部分组成，是用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈述句它陈述了我们所思考的对象具有断真假的陈述句它陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性即它总是肯定什某种属性，或者不具有某种属性即它总是肯定什么，或者否定什么么，或者否定什么(2)四种命题四种命题命题命题表述形式表述形式原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若p则则q逆否命题逆否命题若若q则则p注意其中的否命题是既否定条件又否定结论的注意其中的否命题是既否定条件又否定结论的命题命题(3)四种命题间的关系四种命题间的关系原命题原命题逆否命题，逆命题逆否命题，逆命题否命题，即互否命题，即互为逆否关系的命题是等价命题，它们的真假为逆否关系的命题是等价命题，它们的真假相同相同2命题与逻辑联结间命题与逻辑联结间“且且”“”“或或”“”“非非”(1)逻辑联结词逻辑联结词数学中的逻辑联结词有且、或、非，简单命题是数学中的逻辑联结词有且、或、非，简单命题是不含逻辑联结词的命题，复合命题是由简单命题不含逻辑联结词的命题，复合命题是由简单命题和逻辑联结词构成的命题复合命题的结构有和逻辑联结词构成的命题复合命题的结构有p且且q、p或或q、非、非p三种形式，三种形式，“非非p”是命题是命题p的否的否定定(2)复合命题的真假复合命题的真假pq非非pp且且qp或或q真真真真假假真真真真真真假假假假假假真真假假真真真真假假真真假假假假真真假假假假对于复合命题真假的判断，首先要分清复合命题对于复合命题真假的判断，首先要分清复合命题的结构形式，分离出构成它的简单命题的结构形式，分离出构成它的简单命题p，q，并，并对简单命题对简单命题p，q的真假作出判断，然后再根据以的真假作出判断，然后再根据以上真值表对复合命题的真假作出判断上真值表对复合命题的真假作出判断3全称量词与存在量词全称量词与存在量词(1)短语短语“对所有的对所有的”“”“对任意一个对任意一个”在逻辑中叫做在逻辑中叫做全称量词，用符号全称量词，用符号“”表示含有全称量表示含有全称量词词的命的命题题叫全称命叫全称命题题短短语语“存在一个存在一个”“”“至少一个至少一个”在在逻辑逻辑中叫做存在量中叫做存在量词词，用符号，用符号“”表示含有存在量表示含有存在量词词的命的命题题叫特称命叫特称命题题(2)含有量词命题真假的判断：要判定一个全称命题含有量词命题真假的判断：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合是真命题，必须对限定集合M中的每个元素中的每个元素x验证验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，只要找出集成立；但要判定一个全称命题是假命题，只要找出集合合M中的一个中的一个xx0使得使得p(x0)不成立即可这就是通不成立即可这就是通常人们所说的举出一个反例就可推翻结论常人们所说的举出一个反例就可推翻结论要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中中，至少找到一个，至少找到一个xx0，使得，使得p(x0)成立即可否则，成立即可否则，这个特称命题就是假命题这个特称命题就是假命题(3)全称命题全称命题p：xM，p(x)，它的否定，它的否定p：x0M，p(x0)，即全称命题的否定是特称命，即全称命题的否定是特称命题；特称命题题；特称命题p：x0M，p(x0)，它的否定，它的否定p：xM，p(x0)，即特称命题的否定是全称命，即特称命题的否定是全称命题题4充分条件与必要条件的判断与应用充分条件与必要条件的判断与应用(1)数学命题数学命题“若若pq”蕴蕴涵多涵多层层含含义义：它表示：它表示“若若p则则q”为为真；表示真；表示“由由p经过经过推理可以得出推理可以得出q”；表示；表示“如果如果p成立，那么成立，那么q一定成立一定成立”；表；表示示“如果如果q不成立，那么不成立，那么p一定不成立一定不成立”；表示；表示“p是是q的充分条件，的充分条件，q是是p的必要条件的必要条件”对对于于条件和条件和结论结论之之间间的因果关系可作出以下概括：的因果关系可作出以下概括：充分条件、必要条件和充要条件反映了条件充分条件、必要条件和充要条件反映了条件p和结和结论论q之间的因果关系，结合具体问题进行判断的步之间的因果关系，结合具体问题进行判断的步骤是：第一步，分清条件是什么，结论是什么；骤是：第一步，分清条件是什么，结论是什么；第二步，尝试用条件推结论，用结论推条件；第第二步，尝试用条件推结论，用结论推条件；第三步，确定条件是结论的什么条件要证明命题三步，确定条件是结论的什么条件要证明命题的条件是充要条件，既要证明原命题成立，又要的条件是充要条件，既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题是证明条件的证明它的逆命题成立，证明原命题是证明条件的充分性，证明逆命题是证明条件的必要性充分性，证明逆命题是证明条件的必要性热点考点例析热点考点例析思维点击思维点击先明确原命题的条件先明确原命题的条件p与结论与结论q，把，把原命题写成原命题写成“若若p，则，则q”的形式，再去构造其的形式，再去构造其他三种命题，对具有大前提的原命题，在写出他三种命题，对具有大前提的原命题，在写出其他三种命题时，应保留这个大前提其他三种命题时，应保留这个大前提规范解答规范解答(1)逆命题：若逆命题：若xB，则，则x(AB)根据集合根据集合“并并”的定义，逆命题为真的定义，逆命题为真逆否命题：若逆否命题：若x B，则，则x (AB)逆否命题为假如逆否命题为假如2 1,5B，A2,3，但，但2(AB)(2)逆命题：若自然数能被逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被整除，则自然数能被6整除整除逆命题为假反例：逆命题为假反例：2,4,14,22等都不能被等都不能被6整除整除1写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：题的真假：(1)如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；角形的三个角都相等；(2)矩形的对角线互相平分且相等；矩形的对角线互相平分且相等；(3)相似三角形一定是全等三角形相似三角形一定是全等三角形解析：解析：(1)否命题是：否命题是：“如果一个三角形的三条如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等等”原命题为真命题，否命题也为真命题原命题为真命题，否命题也为真命题(2)否命题是：否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等线不互相平分或不相等”，原命题是真命题，否命，原命题是真命题，否命题是假命题题是假命题(3)否命题是：否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三不相似的三角形一定不是全等三角形角形”原命题是假命题，否命题是真命题原命题是假命题，否命题是真命题思维点击思维点击本题主要考查全称命题与特称命题本题主要考查全称命题与特称命题的否定，要注意两者在形式上的关系的否定，要注意两者在形式上的关系规范解答规范解答(1)xR，x22x20；(2)任何三角形都不是等边三角形；任何三角形都不是等边三角形；(3)对于所有的四边形，它的对角线不可能互相对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分垂直或平分2写出下列命题的否定：写出下列命题的否定：(1)p：1和和2的平方是正数；的平方是正数；(2)p：有些自然数的平方是正数；：有些自然数的平方是正数；(3)p：任意正数均大于：任意正数均大于0；(4)p：存在三角形，其外心在三角形边上：存在三角形，其外心在三角形边上解析：解析：(1)p：1和和2的平方不全是正数；的平方不全是正数；(2)p：所有自然数的平方都不是正数；：所有自然数的平方都不是正数；(3)p：存在正数不大于：存在正数不大于0；(4)p：任何三角形的外心都不在三角形边上：任何三角形的外心都不在三角形边上思维点击思维点击要判断要判断A是是B的什么条件，只要判断由的什么条件，只要判断由A能否推出能否推出B和由和由B能否推出能否推出A即可另外，在判断时即可另外，在判断时要能恰当地给出反例要能恰当地给出反例规范解答规范解答(1)当当|p|2时，取时，取p4，则方程，则方程x24x70无实根；无实根；若方程若方程x2pxp30有实根，则由有实根，则由0推出推出p24(p3)0p2或或p6，由此可推出，由此可推出|p|2.所以所以A是是B的必要非充分条件的必要非充分条件(2)若若2k(kZ)，则，则sin sin sin sin(2k)sin sin 0(kZ)，又又sin()sin 2k0(kZ)，所以所以sin()sin sin 成立成立若若sin()sin sin 成立，成立，取取0，知，知2k(kZ)不成立，不成立，故故A是是B的充分不必要条件的充分不必要条件答案：答案：(1)必要不充分必要不充分(2)既不充分又不必要既不充分又不必要(3)充分不必要充分不必要思维点击思维点击本题属于开放题，答案不唯一由本题属于开放题，答案不唯一由条件条件MPx|5x8得出得出a的取值范围，验证的取值范围，验证即可即可思维点击思维点击首先进行各个简单命题的真假判断，首先进行各个简单命题的真假判断，然后利用真值表对复合命题的真假进行判断然后利用真值表对复合命题的真假进行判断规范解答规范解答由已知条件：由已知条件：“p或或q”为真，为真，“p且且q”为假，为假，“非非p”为真，即为真，即“命题命题p假且命题假且命题q真真”其中选项其中选项A中命题中命题p、q均假，排除；选项均假，排除；选项B中，命题中，命题p真而命题真而命题q假，排除；选项假，排除；选项D中，命题中，命题p和命题和命题q都为真，排除；故选都为真，排除；故选C.答案：答案：C答案：答案：D思维点击思维点击由题意，由题意，“p且且q”为假命题，为假命题，“p或或q”为真命题，即为真命题，即p、q一真一假化简命题一真一假化简命题p和和q得到得到a的的范围即可范围即可6设命题设命题p：c2c和命题和命题q：对任意：对任意xR，x24cx10，且，且“p或或q”为真，为真，“p且且q”为假，求为假，求实数实数c的取值范围的取值范围跟踪训练1设设a，b是向量，命题是向量，命题“若若ab，则，则|a|b|”的逆命题是的逆命题是()A若若ab，则，则|a|b| B若若ab，则，则|a|b|C若若|a|b|，则，则ab D若若|a|b|，则，则ab解析：解析：命题若命题若p则则q的逆命题为若的逆命题为若q则则p，故选，故选D.答案：答案：D2命题命题“所有能被所有能被2整除的整数都是偶数整除的整数都是偶数”的否定的否定是是()A所有不能被所有不能被2整除的整数都是偶数整除的整数都是偶数B所有能被所有能被2整除的整数都不是偶数整除的整数都不是偶数C存在一个不能被存在一个不能被2整除的整数是偶数整除的整数是偶数D存在一个能被存在一个能被2整除的整数不是偶数整除的整数不是偶数解析：解析：命题的否定是命题的否定是“存在一个能被存在一个能被2整除的整数整除的整数不是偶数不是偶数”，故选，故选D.答案：答案：D3对于函数对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图像关的图像关于于y轴对称轴对称”是是“yf(x)是奇函数是奇函数”的的()A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案：答案：B答案：答案：C5(2011天津卷天津卷)设设x，yR，则，则“x2且且y2”是是“x2y24”的的_条件条件解析：解析：x2且且y2，x2y24，x2且且y2是是x2y24的充分条件；而的充分条件；而x2y24不一定得出不一定得出x2且且y2，例如当，例如当x2且且y2时，时，x2y24亦成立，亦成立，故故x2且且y2不是不是x2y24的必要条件的必要条件答案：答案：充分不必要充分不必要6(2010安徽卷安徽卷)命题命题“对任何对任何xR，|x2|x4|3”的否定是的否定是_答案：答案：存在存在xR，使得，使得|x2|x4|37判断判断“0m2”是是“方程方程mx22x30有两有两个同号且不等实根个同号且不等实根”的什么条件？的什么条件？8已知已知a0，设命题，设命题p：函数：函数yax在在R上单调递增；上单调递增；命题命题q：不等式：不等式ax2ax10对任意对任意xR恒成立若恒成立若p且且q为假，为假，p或或q为真，求为真，求a的取值范围的取值范围解析：解析：yax在在R上单调递增，上单调递增，p：a1；又不等式又不等式ax2ax10对任意对任意xR恒成立，恒成立，0，即，即a24a0，0a4，a0也成立，也成立，q：0a4.而命题而命题p且且q为假，为假，p或或q为真，为真，那么那么p、q中有且只有一个为真，一个为假中有且只有一个为真，一个为假(1)若若p真，真，q假，则假，则a4；(2)若若p假，假，q真，则真，则0a1.所以所以a的取值范围为的取值范围为0,14，).
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