同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念课件

同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念一、问题的提出一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt ,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于, t 运动时间运动时间tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬瞬时时速速度度.0gt 同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲线线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念二、导数的定义二、导数的定义,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数定义定义同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念.,0慢慢程程度度而而变变化化的的快快因因变变量量随随自自变变量量的的变变化化反反映映了了它它处处的的变变化化率率点点导导数数是是因因变变量量在在点点 x.)(,)(内内可可导导在在开开区区间间就就称称函函数数处处都都可可导导内内的的每每点点在在开开区区间间如如果果函函数数IxfIxfy 关于导数的说明：关于导数的说明：同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf 同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念播放播放2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.,),(),()(000可可导导性性的的讨讨论论在在点点设设函函数数xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)(0存存在在xf 同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念则则)(xf在在点点0 x可可导导，,)(0存存在在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 且且.)(0axf 且且同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念三、由定义求导数三、由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念例例3 3.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念例例6 6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念例例7 7.,)2 ,21(1方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连连续续在在点点函函数数xxf)0(0 x 同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(. 1000函函数数在在角角点点不不可可导导的的角角点点为为函函数数则则称称点点若若连连续续函函数数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角点点为为处处不不可可导导在在xfxx 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念., )()(. 30点点不不可可导导则则指指摆摆动动不不定定不不存存在在在在连连续续点点的的左左右右导导数数都都函函数数xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0处不可导处不可导在在 x011/1/xy同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念.)()(,)(. 4000不可导点不可导点的尖点的尖点为函数为函数则称点则称点符号相反符号相反的两个单侧导数的两个单侧导数且在点且在点若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念例例8 8.0,0, 00,1sin)(处处的的连连续续性性与与可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之之间间振振荡荡而而极极限限不不存存在在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念六、小结六、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念思考题思考题 函数函数)(xf在某点在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 与导函数与导函数)(xf 有什么区别与联系？有什么区别与联系？同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念思考题解答思考题解答 由导数的定义知，由导数的定义知，)(0 xf 是一个具体的是一个具体的数值，数值，)(xf 是由于是由于)(xf在某区间在某区间I上每一上每一点都可导而定义在点都可导而定义在I上的一个新函数，即上的一个新函数，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 与之对应，所以两与之对应，所以两者的者的区别区别是：一个是数值，另一个是函数两是：一个是数值，另一个是函数两者的者的联系联系是：在某点是：在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 即是导即是导函数函数)(xf 在在0 x处的函数值处的函数值同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念一一、 填填空空题题：1 1、 设设)(xf在在0 xx 处处可可导导，即即)(0 xf 存存在在，则则 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已已知知物物体体的的运运动动规规律律为为2ts ( (米米) )，则则该该物物体体在在 2 t秒秒时时的的速速度度为为_ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 设设321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 则则它它们们的的导导数数分分别别为为dxdy1= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy2= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy3= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .练练习习题题同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念4 4、 设设2)(xxf , ,则则 )(xff_ _； )(xff_._.5 5、 曲 线曲 线xey 在 点在 点)1,0(处 的 切 线 方 程 为处 的 切 线 方 程 为_._.二、二、 在下列各题中均假定在下列各题中均假定)(0 xf 存在，按照导数的定存在，按照导数的定义观察下列极限，分析并指出义观察下列极限，分析并指出A表示什么？表示什么？ 1 1、Axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、Ahhfh )(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在； 3 3、Ahhxfhxfh )()(lim000. .三、证明：若三、证明：若)(xf为偶函数且为偶函数且)0(f 存在，则存在，则0)0( f. .同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念四、四、 设函数设函数 0,00,1sin)(xxxxxfk问问k k满足什么条满足什么条件，件，)(xf在在0 x处处 (1)(1)连续；连续； （2 2）可导；）可导；（3 3）导数连续）导数连续. .五、五、 设函数设函数 1,1,)(2xbaxxxxf, ,为了使函数为了使函数)(xf在在1 x处连续且可导，处连续且可导，ba ,应取什么值应取什么值. .六、六、 已知已知 0,0,sin)(xxxxxf, ,求求)(xf. .七、七、 证明：双曲线证明：双曲线2axy 上任一点处的切线与两上任一点处的切线与两 坐标轴构成的三角形的面积都等于坐标轴构成的三角形的面积都等于22a. .同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念八八、 设设有有一一根根细细棒棒，取取棒棒的的一一端端作作为为原原点点，棒棒上上任任意意点点的的坐坐标标为为x，于于是是分分布布在在区区间间1,0上上细细棒棒的的质质量量m是是x的的函函数数)(xmm 应应怎怎样样确确定定细细棒棒在在点点0 x处处的的线线密密度度（对对于于均均匀匀细细棒棒来来说说，单单位位长长度度细细棒棒的的质质量量叫叫作作这这细细棒棒的的线线密密度度）？同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念一、一、1 1、)(0 xf ； 2 2、)(0 xf ； 3 3、6533161,2,32 xxx； 3 3、24x, ,22x； 5 5、01 yx. .二、二、1 1、)(0 xf ； 2 2、)0(f ； 3 3、)(20 xf . .四、四、(1)(1)当当0 k时时, ,)(xf在在0 x处连续；处连续；(2)(2)当当1 k时时, ,)(xf在在0 x处可导处可导, ,且且0)0( f； (3) (3)当当2 k及及0 x时时, ,)(xf 在在0 x处连续处连续. .五、五、1, 2 ba. .六、六、 0, 10,cos)(xxxxf. . 八、八、0 xxdxdm . .练习题答案练习题答案同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.同济大学高等数学(第四版)21节导数的概念2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近是函数平均变化率的逼近函数函数.