资源描述
实用文案【备战 2017 年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第 22 讲平面向量中的两个定理考纲要求 :1了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件基础知识回顾 :1. 向量的数乘运算：求实数 与向量的积的运算，运算法则： (1)| a| | | a| ；(2) 当 0 时， 与的方向相同；当0 时， 的与的方向相反；当 0时， 0运算律： ( ) ( ) ； ( ) ；( ) 2. 共线向量定理向量 ( 0) 与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 2平面向量基本定理及坐标表示(1) 平面向量基本定理： 如果 e ,e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面12内的任意向量， 有且只有一对实数 1，2，使 a1 e12 e2 . 其中，不共线的向量 e1 ,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2) 平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(3) 平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x， y，使 axiy j ，把有序数对( x, y) 叫做向量的坐标，记作(x, y) ，其中叫在x 轴上的坐标，y 叫在 y 轴上的坐标设 OAxiy j ，则向量 OA 的坐标 ( x, y) 就是终点A 的坐标，即若OA( x, y) ，则 A 点坐标为 ( x, y) ，反之亦成立( O是坐标原点 )应用举例 :类型一、共线向量定理的应用【例 1】【 2017 山东省枣庄八中高三月考】设两个非零向量与b 不共线，(1) 若 AB ， BC 2 8， CD 3( ) ，求证： A， B， D三点共线；(2) 试确定实数 k，使 k和 k 同向标准实用文案【答案】见解析；k 1.【例 2】【 2017 河北正定一中高三月考】如图，在 ABC中，D，F 分别是 BC，AC的中点， AE2AD ， AB， AC3(1) 用， b 表示向量 AD ， AE ， AF ， BE ， BF ；(2) 求证： B， E， F 三点共线【答案】见解析【解析】 (1) 延长 AD到 G，使 AD 1 AG ，连接 BG， CG，得到 ? ABGC，所以 AG ，2则有 AD1 AG1()， AE 2 AD1()，22331111AF 2 AC 2， BE AE AB 3( ) 3( b2) ，BF AFAB112 ( b 2) 22(2) 证明：由 (1) 可知 BE 3 BF ，又因为 BE ， BF 有公共点 B，所以 B， E， F 三点共线点评：共线向量定理的3 个应用(1) 证明向量共线：对于向量， ，若存在实数 ，使 ，则与共线(2)证明三点共线：若存在实数，使AB AC，则A BC三点共线， ，(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程( 组 ) 求参数的值提醒 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点标准实用文案类型二、平面向量基本定理的应用【例 3】【 2017湖南衡阳八中月考】如果e ， e 是平面 内一组不共线的向量，那么下列四12组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A e1 与 e1 e2B e1 2e2 与 e1 2e2C12与1 2D 132与 62 21eeeeeeee【答案】 D1，【解析】选项 A 中，设 e1e2 e1，则无解；选项 B 中，设 e1 2e2 (e11 0 1，无解；选项 C 中，设 e1 e2 (e1 e2) ，则 1，2e2) ，则无解； 2 211选项 D 中， e1 3e2(6e2 2e1) ，所以两向量是共线向量2【例 4】【 2017 山西省怀仁县第一中学高三月考】如图，以向量OA ， OB 为邻边作 ?OADB， BM 1BC ，CN 1CD ，用，表示 OM ， ON ， MN .33【答案】见解析【例 5】【 2017 湖北省襄阳市第四中学高三月考】如图，是的重心，Q分别是边GOABPOA， OB上的动点，且P， G，Q三点共线标准实用文案(1) 设 PG PQ ，将 OG 用 ， OP ， OQ 表示；1 1(2) 设 OP x OA ， OQ y OB ，证明： x y是定值【答案】见解析【解析】 (1)OG OP PG OP PQ OP ( OQ OP ) (1 )OP OQ .(2)证明：一方面，由 (1) ，得 OG (1 )OP OQ (1 ) x OA y OB ；另一方面， G是 OAB的重心，而 OA ，OB 不共线， 由， 得1 1 x y 3( 定值 ) OG 2OM 21( OA OB)1OA 1OB .332331113 3，x ，x3解得11 y 3.y3 .方法、规律归纳:1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算2. 用向量基本定理解决问题的一般思路是： 先选择一组基底， 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决3. 解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程( 组 ) 来进行求解实战演练 :1【 2017 江西吉安一中高三月考】如图，在平行四边形中，E为边的中点，且ABABCDDCa， AD b，则 BE ()标准实用文案A b1aB b1aC a1bD a1b2222【答案】 A2【 2017 浙江省温州市高三月考试题】已知O，A， B， C为同一平面内的四个点，若 2 AC CB 0，则向量 OC 等于 ()2112A. 3OA 3 OBB 3OA 3OBC 2OA OBD OA 2OB【答案】 C设 M是 ABC所在平面上的一点，33【 2017 贵州省贵阳市一中高三月考】且MB2MA 3| MD2 MC 0， D是 AC的中点，则| BM|的值为()|11A. 3B.2C 1D 2【答案】 A【解析】 D是 AC的中点，延长 MD至 E，使得 DEMD，四边形 MAEC为平行四边形， MD1ME 1(MA MC )MB 3MA 3MC 0， MB 3(MAMC)22222|MD|MD|13MD ，| BM | 3MD| 3，故选 A.4【 2017 江西吉安一中高三月考】设 D，E，F 分别是 ABC的三边 BC，CA，AB上的点，且 DC2BD，CE2EA，AF 2FB，则 ADBE CF 与BC ()A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直【答案】 A【解析】由题意得ADAB BDAB1BC，BE BAAE BA1AC ，33标准实用文案CF CB BF CB1BA，因此 AD BE CF CB1( BCACAB)33 CB2 BC1 BC，故 AD BE CF 与 BC反向平行335. 【 2017江苏省南通市如东县一中高三月考】如图，在中，P为线段上的一点，OABABOP x OA y OB ，且 BP 2 PA ，则 ()2112A x 3， y 3B x 3， y 313D31C x ， y4 x ， y444【答案】 A【解析】由题意知OP OB BP ，又 BP 2PA，所以 OP OB2BA OB233(2OA 121OAOB)3OB ，所以 x， y .3336【 2017 湖南省永州市高三月考】设O在 ABC的内部， D为 AB的中点，且 OA OB 2OC 0，则 ABC的面积与 AOC的面积的比值为 ()A 3B 4C 5D 6【答案】 B7【 2017 河北省定州中学高三月考】在直角梯形ABCD中， A 90， B30，AB 23，BC 2，点 E 在线段 CD上，若 AE AD AB ，则 的取值范围是 _1【答案】0， 2 .【解析】由题意可求得AD 1，CD3，所以 AB 2 DC . 点 E 在线段 CD上， DE DC (0 1) 标准实用文案 AE AD DE ，又 AE AD AB AD 2 DC AD 2 DE ， 2 111，即2. 0 1， 02. 即的取值范围是0，2 .8【 2017 河北省沧州市高三月考】如图，在梯形中， ，且1， ，F分别ABCDAD BCAD3BC E为线段ADBCBAa，BCba bEF，DF，CD.与的中点 设，试用 ， 为基底表示向量【答案】见解析【解析】 EF EAABBF 1b a 1b 1b a ， DF DE EF 1b623611112b a b a， CD CF FD bb a a b.362639【 2017 西藏林芝市高三月考】设e1，e2 是两个不共线的向量，已知AB 2e1 8e2， CB e1 3e2， CD 2e1 e2.(1) 求证： A， B， D三点共线；(2) 若 BF 3e1 ke2，且 B， D， F 三点共线，求k 的值【答案】见解析10【 2017 江苏泰兴中学高三月考】已知 O，A，B是不共线的三点， 且 OP mOA nOB ( m，n R)(1) 若 m n 1，求证： A， P， B 三点共线；(2) 若 A， P， B三点共线，求证： m n 1.【答案】见解析【解析】证明：(1) 若 m n1，则 OP mOA (1 m) OB OB m(OA OB ) ， OP OB m(OA OB ) ，即 BP mBA ， BP 与 BA 共线标准实用文案又 BP 与 BA 有公共点 B， A， P， B三点共线(2) 若 A，P， B 三点共线，存在实数，使BP BA ， OP OB ( OA OB ) 又 OP mOA n OB . 故有 mOA (n 1) OB OA OB ，即 (m )OA (n 1) OB 0. O， A， B 不共线， OA ， OB 不共线，m 0， mn 1.n 10，标准
展开阅读全文