2018年高考数学 100题系列 第13题 函数的图像 理

第13题函数的图像I题源探究黄金母题【例1】下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速【解析】图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第23页练习第2题【母题评析】本题考查了函数的表示法之一图像法，意在培养学生的数形结合思想，也考察了学生的分析问题和解决问题的能力，同时告诉了学生生活之中处处有数学，数学来源于生活又应用与生活。【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。【例2】函数的图象如图所示（1）函数的定义域是什么？（2）函数的值域是什么？（3）取何值时，只有唯一的值与之对应？【解析】（1）函数的定义域是；（2）函数的值域是；（3）当，或时，只有唯一的值与之对应精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第25页习题12B组第1题【母题评析】本题以分段函数的图像为载体考察了函数定义域、值域的求法，加强学生对函数概念及函数三要素的理解，这对以后学习函数的性质有很大的帮助。【思路方法】函数图像解决函数问题是强有力的工具，因此培养学生的读图、识图能力很重要。【例3】函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，当时，写出函数的解析式，并作出函数的图象【解析】图象如下精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第25页习题12B组第3题【母题评析】本题是一道信息给予题，通过定义新函数，考查了学生对分段函数概念的理解及函数解析式的求法，同时培养学生阅读能力和理解能力。【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。【例4】画出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间，以及在各单调区间上函数是增函数还是减函数（1）；（2）【解析】（1）函数在上递减；函数在上递增；（2）函数在上递增；函数在上递减精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第39页习题13A组第1题【母题评析】本题以画图的方式让学生去寻找函数的单调区间，培养学生的作图、读图、识图的能力，。【思路方法】利用函数图像求函数的单调区间是一种常用的方法，数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。【例5】出函数及的图象，并且说明这两个函数的相同点和不同点，如右图所示【解析】画出函数及的图象，如下图所示：相同点：图象都在轴的右侧，都过点不同点：的图象是上升的，的图象是下降的关系：和的图象是关于轴对称的精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第73页练习第1题【母题评析】本题以和的图像为载体，让同学们再次认识对数函数图像的异同，加强学生对对数函数图像的认识。【思路方法】利用图像解决函数的问题，形象直观，过程简练，语言简洁。【例6】利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根：（1）-x2+3x+5=0；（2）2x(x-2)=-3；（3）x2=4x-4；（4）5x2+2x=3x2+5【解析】（1）令f(x)=-x2+3x+5，作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7（1）)，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根（2）2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3，作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7（2）)，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根（3）x2=4x-4可化为x2-4x+4=0，令f(x)=x2-4x+4，作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7（3）)，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根（4）5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0，令f(x)=2x2+2x-5，作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7（4）)，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第88页练习第1题【母题评析】本题以通过图像然学生去探究方程根的分布情况，意在培养学生的数形结合思想，同时也渗透了函数与方程思想。【思路方法】本题为研究方程根的分布指明了方向，即转化为判断函数图像与轴交点个数问题。【例7】设函数，若，（1）求的解析式；（2）借助计算机或计算器，画出函数的图像；（3）求出函数的零点（精确度01）【解析】（1）由题设有g(x)=2-f(x)2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2（2）函数图象如下图所示图3-1-2-10（3）由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点取区间(-3，-2)的中点x1=-25，用计算器可算得g(-25)=0187 5因为g(-3)g(-25)0，所以x0(-3，-25)再取(-3，-25)的中点x2=-275，用计算器可算得g(-275)028因为g(-3)g(-275)0，所以x0(-3，-275)同理，可得x0(-2875，-275)，x0(-2812 5，-275)由于|-275-(-2812 5)|=0062 50)（1）作出函数f(x)的图象；（2）当0ab，且f(a)f(b)时，求的值；（3）若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围【答案】（1） m4（2）两个零点（3） 2，4（4） x|0x4 (5) m|0m0的解集为：x|0x4(5)由图象可知若yf(x)与ym的图象有三个不同的交点，则0m4，集合Mm|0m4【跟踪练习】1【2018浙江名校协作体】已知函数则关于的方程的不同实根的个数为_【答案】4个【解析】函数图像如图所示，由图像2【2017宁夏石嘴山三中4月模拟】已知当，表示不超过的最大整数，称为取整函数，例如，若，且偶函数，则方程的所有解之和为_【答案】点睛: 本题主要考查函数奇偶性图象与性质，取整函数的图象，以及方程根的转化，考查数形结合思想，转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力3【2017炎德英才大联考】若函数满足，当时，若在区间上，方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是_【答案】【解析】设，则，则，根据可得：，（），于是有，则函数图像如下图，方程有两个不等的实根，转化为有两个不等的实根，即函数的图像与函数在区间上有两个不同的交点，如上图，当与（）相切时，设切点为，根据导数几何意义有，解得，此时切线斜率为，函数的图像与函数在区间上有两个不同的交点时，则有或，所以或【名师点睛】本题关键是根据及时，求出函数在区间上的解析式，然后画出分段函数的图像于是将方程有两个不等的实根，转化为两个函数图像有两个不同的交点，通过数形结合的思想方法，方程的根转化为函数的零点或函数图像的交点，体现了转化思想的重要性4【2017天津河西区二模】已知函数则函数的所有零点构成的集合为_【答案】【名师点睛】本题考查分段函数的零点问题及化归转化的思想分类整合思想分析问题解决问题的能力。求解时先从内函数的值的正负为分类标准进行分类，运用函数的对应思想和观念，分别建立对数方程和整式方程，通过分析求解方程使得问题获解。5【2017江苏苏锡常镇四市5月调研】已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围为_【答案】【解析】与相切时（正舍），与相切时，与不相切由图可知实数的取值范围为【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等6【2017北京东城区5月模拟】已知函数若有且只有个实根，则实数的取值范围是_若关于的方程有且只有个不同的实根，则实数的取值范闱是_【答案】【解析】函数图像如下图，根据上图，若只有1个实根，则；若将函数的图像向左平移T=2个单位时，如下图所得图像与的图像在上重合，此时方程有无穷多个解，所以若方程有且只有3个不同的实根，平移图像，如下图观察可知或，【名师点睛】本题主要考查函数图像，理解函数并画出函数图像，然后将方程有且只有1个实根转化为两个函数图像有且只有一个交点，主要考查函数零点的划归与转化能力另外本题考查函数图像平移，将方程有且只有个不同的实根，转化为平移后两个函数图像有且只有3个交点，考法新颖、创新性强，考查学生分析问题、解决问题的能力，重点考数形结合思想7【2018辽宁庄河高级中学、沈阳二十中高三上学期第一次联考】已知函数将的图象向右平移两个单位，得到函数的图象（1）求函数的解析式；（2）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围【答案】（1）（2）法1：设，对称轴，则或由得，即，由得无解，则法2：由，得，设，则，记，则在上是单调函数，因为故要使题设成立，只须即从而考向3 图像与解析几何相结合【例14】【2018辽宁鞍山一中一模】如图1所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点设弧的长为，若从平行移动到，则的图象大致是（）A BC D【答案】DAE=ED=DA=1，y=EB+BC+CD=AB+BC+CA(AE+AD)= 如图。又当时，图中故当时，对应的点(x，y)在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确。故选D【例15】【2018贵州遵义航天中学一模】已知P是圆上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为，若，则函数的大致图象是（）A BC D【答案】D【名师点睛】（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系【例16】【2017山西太原五中5月模拟】已知函数，如在区间上存在个不同的数，使得比值成立，则的取值集合是（）A B C D【答案】B【解析】因为的几何意义为点)与原点的连线的斜率，所以的几何意义为点与原点的连线有相同的斜率，函数的图象，在区间上，与的交点个数有1个，2个或者3个，故或，即的取值集合是，故选：B【名师点睛】本题考查两函数的交点问题，通过分析信息得到的图象，在区间上，与的交点个数确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解注意利用数形结合的数学思想方法【跟踪练习】1【2017河北保定二模】若点的坐标满足，则点的轨迹大致是（）A B C D【答案】B2【2017辽宁部分重点中学作协体高三考前模拟】某观察者站在点观察练车场上匀速行驶的小车的运动情况，小车从点出发的运动轨迹如图所示设观察者从点开始随动点变化的视角为为角，练车时间为，则函数的图象大致为（）A B C D【答案】D3已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，记椭圆的离心率为，则函数的大致图象是（）【答案】A【解析】由题意得，椭圆中，离心率，因为在直线上移动，所以，当时，所以，排除B、C选项；当时，所以，排除D选项，过作直线的对称点，则此时，此时有最小值，对应的离心率有最大值，故选A考向4 由图定式【例17】【2018河北石家庄二中八月模拟】已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是 ( )A B C D【答案】B【名师点睛】识图常用的方法（1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；（2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；（3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题【例18】【2018吉林松原模拟】若函数的图象如图所示，则的范围为（）A B C D【答案】D【解析】试题分析：显然为奇函数，图像关于原点对称，因为在单调递增，在单调递增，所以当时，即，解得【例19】【2017福建模拟】如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()ABCD【答案】A【跟踪练习】1【2017武汉汉阳一中第五次模拟】已知函数，则其导函数f(x)的图象大致是（）A B C D【答案】C【解析】，是偶函数，排除A，B，又，排除D，故选C2【2016届江西省新余市二模】如图，长方形的长，宽，线段的长度为1，端点在长方形的四边上滑动，当沿长方形的四边滑动一周时，线段的中点所形成的轨迹为，记的周长与围成的面积数值的差为，则函数的图象大致为（）【答案】C3函数（其中）的图象不可能是( )A B C D【答案】C【解析】试题分析：当时，图象为B当时，若，当且仅当时，等号成立，即函数有最小值，故A选项正确当时，若，在为增函数，故D选项正确所以图象不可能为C考向5图像的对称性【例20】【2018江西新余一中二模】已知为奇函数，与图像关于对称，若，则（）A2 B-2 C1 D-1【答案】B【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题题函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序本题是利用函数的平移变换、放缩变换后根据对称性解答的【例21】【2017安徽阜阳第二次质量检测】已知方程，有且仅有四个解，则_【答案】【解析】由图可知，且时，与只有一个交点，令，则由，再由，不难得到当时与只有一个交点，即，因此【名师点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究【例22】已知函数是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围为_【答案】【跟踪练习】1【2017吉林梅河口市五中一模】已知函数，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是_【答案】【解析】依题意可知关于对称的函数为，即，故函数图像与在区间上有交点，分别将代入，求得，故故取值范围是2【2017湖南浏阳一中6月模拟】已知定义在上的偶函数满足：时，且，若方程恰好有12个实数根，则实数的取值范围是（）A(5，6) B(6，8) C(7，8) D(10，12)【答案】B显然，结合图象可得，即，故本题选择B选项3【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（）（A）0 （B）（C）（D）【答案】C4【2016湖北咸宁】已知函数f(x)=()x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称，令h(x)=g(1-|x|)，则关于h(x)有下列命题：h(x)的图象关于原点对称；h(x)为偶函数；h(x)的最小值为0；h(x)在(0，1)上为减函数其中正确命题的序号为_(将你认为正确的命题的序号都填上)【答案】【解析】g(x)= x，h(x)= (1-|x|)，h(x)= 得函数h(x)的大致图象如图，故正确命题序号为考向6 图像的与不等式恒成立相结合【例23】【2018上海交通大学附属中学上学期开学测试】已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】根据题意，函数的图象如图，令，其图象与x轴相交于点，在区间上我减函数，在上为增函数，若不等式在上恒成立，则函数的图象在上的上方或相交，则必有，即，可得【例24】【2017湖南长沙模拟】已知定义在上的函数为增函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A B C D【答案】D【例25】【2016南通期末】设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】1，)【解析】如图作出函数f(x)|xa|与g(x)x1的图像，观察图像可知：当且仅当a1，即a1时，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范围是1，)【跟踪练习】1【2017江苏苏州模拟】已知函数若f(32a2)f(a)，则实数a的取值范围是_【答案】2【2017四川成都模拟】已知函数若恒成立，则取值范围为_【答案】-2，0【解析】由题意可作出函数图象，和函数的图象，由图象可知：函数的图象为过原点的直线，直线为曲线的切线，当直线介于和轴之间符合题意，且此时函数在第二象限的部分解析式为，求其导数可得，因为，故，故直线的斜率为，故只需直线的斜率介于与之间即可，即，故答案为【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及导数的几何意义，属于难题函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质3【2017湖南岳阳高三质量检测】已知函数，若恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】【名师点睛】解答本题的关键是借助数形结合的思想，先画出不等式中两边所表示的函数的图像，运用动静结合的思想数形结合，探究出参数（斜率）的取值范围，从而使得问题获解。考向7 图像的与立体几何相结合【例26】【2018浙江杭州模拟】如图，P是正方体ABCDA1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是( )【答案】A在三角形PAO中画出其图象，如图所示，A正确【例27】【2017江西南昌二中高二下第一次阶段性测试】如图，已知正方体的棱长为1，动点在此正方体的表面上运动，且，记点的轨迹的长度为，则函数的图像可能是A B C D【答案】B【名师点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，解题的关键是认识到的轨迹为以为球心，为半径的球面与正方体的交线，定性分析“交线”的长度变化规律即以面所在对角线的长度，体所在对角线的长度为临界值。【跟踪练习】1【2017浙江杭州高级中学高三2月模拟】如图，点在正方体的表面上运动，且到直线与直线的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点的轨迹在展开图中的形状是（）A BC D【答案】B2【2018甘肃张掖模拟】如图所示，已知二面角的平面角为，为垂足，且，设到棱的距离分别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的（）A B C D【答案】D【解析】在平面内过作，垂足为，连结，同理，即，又的轨迹是双曲线在第一象限内的部分，故选D46