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启用前：绝密广东六校联盟第三次联考试题数学（理科）（满分150分） 考试时间：120分钟参考公式：柱体的体积公式，锥体的体积公式.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）UAB1. 设集合，则图中阴影部分所表示的集合为( ）A.B.C. D.2. 已知复合命题是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）A.B.C.D.3. 已知向量，若，则（ ）A.B.C. D. 111122主视图 侧视图俯视图4. 下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（ ）A. B. C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.6. 已知等差数列中，前项和为，等比数列满足，前项和为，则（ ）A. B. C. D.7. 已知直线，,若，则（ ）A.或 B.或 C. D.8. 已知函数的定义域为，如果存在实数，使对任意的，都有，则称函数为有界函数，下列函数： ； 为有界函数的是（ ）A. B. C. D.二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）9. 函数在点处的切线方程为_.10. 在中，则此三角形的最短边的长度是_.11. 已知递增的等差数列满足，则_.12. 已知圆上的点到直线的最近距离为，则_.13. 如图，为了测量两座山峰上两点P、Q之间的距离，选择山坡上一段长度为米且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是,可求得P、Q两点间的距离为 米.14. 已知；如果是的充分但不必要条件，则的取值范围是_ .三、解答题（本大题共六个小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.（本小题满分12分）已知函数（其中）的最小正周期为.（1）求的值；（2）设，求的值.16（本小题满分12分）寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织垃圾分类宣传，网络知识讲座，现场春联派送三项活动，甲组计划的同学从事项目，的同学从事项目，最后的同学从事项目；乙组计划的同学从事项目，另的同学从事项目，最后的同学从事项目，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目的总人数不得多于人，从事项目的总人数不得多于人，从事项目的总人数不得多于人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？17.（本小题满分14分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边，连接A1B,A1C,A1D.（1）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；C1ABCDA1B1D11（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由.18.（本小题满分14分）已知数列中， ，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.19.（本小题满分14分）已知直角坐标系中，圆的方程为，两点，动点P满足.（1）求动点P的轨迹C方程；（2）若对于轨迹C上的任意一点P，总存在过点P的直线交圆于M,N两点，且点M是线段PN的中点，求的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）若，函数的图像上存在两点，其横坐标满足，且的图像在此两点处的切线互相垂直，求的取值范围.六校联盟第三次联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：CBAD DABC二、填空题：9.； 10.； 11. 12.0或者； 13. 900；14. 或者填写或者直接均可三、解答题：15. 解： 3分，所以. 6分注：如果等正确结果的话相应给分即可.所以 7分所以 8分因为，所以，10分所以. 12分16.解：设甲组名同学，乙组名同学，根据题意有：1分OA（24，20） 整理得：7分，约束条件和图像各3分，不化简不扣分 可行域如图：参加活动的总人数，变形为，当经过可行域内的点，斜率为的直线在轴上截距最大时，目标函数取得最大值. 由可行域图像可知，直线经过和的交点A时，在轴上截距最大. 8分解方程组得： 10分所以 11分答：甲组24名同学参加，乙组20名同学参加，此时总人数达到最大值44人.12分ABCDA1B1C1DM17.解：法一： 根据题意，长方体体积为 2分当且仅当，即时体积有最大值为1所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形 4分作BMA1C于M，连接DM，BD 5分因为四边形ABCD为正方形，所以与全等，故DMA1C，所以即为所求二面角的平面角 6分因为BC平面AA1B1B，所以为直角三角形又，所以，同理可得， 在BMD中，根据余弦定理有： 8分因为，所以即此时二面角B-A1C-D的值是. 9分 若线段A1C上存在一点P，使得 A1C平面BPD，则A1CBD 10分又A1A平面ABCD,所以A1ABD，所以BD平面A1AC所以BDAC 12分底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在由知，所求点P即为BMA1C的垂足M此时， 14分法二：根据题意可知，AA1, AB,AD两两垂直，以AB为轴，AD为轴，AA1为轴建立如图所示的空间直角坐标系：长方体体积为 2分O(A)BCDA1B1C1D1当且仅当，即时体积有最大值为1 3分所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形4分则，设平面A1BC的法向量，则取，得： 6分同理可得平面A1CD的法向量 7分所以， 8分又二面角B-A1C-D为钝角，故值是.9分（也可以通过证明B1A平面A1BC写出平面A1BC的法向量） 根据题意有，若线段A1C上存在一点P满足要求，不妨，可得 即：11分解得： 13分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上处. 14分18.解： 2分 6分又，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 8分（也可以求出，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分数学归纳法证明过程如下： 当时，符合通项公式； 假设当时猜想成立，即，那么当时，即时猜想也能成立综合可知，对任意的都有. 当时，左边=不等式成立；9分当时，左边=不等式成立； 10分当时，左边= 不等式成立 14分19.解： 设，因为，所以 消去并注意到可得动点P的轨迹C即为线段AB，方程为： 5分，不写出的范围扣1分 设，则方程组即有解 7分法一：将方程组两式相减得： 8分原方程组有解等价于点到直线的距离小于或等于，即 9分整理得：即也就是，对任意的恒成立 10分根据二次函数的图像特征可知，在区间上，当或者时，；当时， 12分所以， 13分特别的，当时，圆与切于点，此时过C上的点没有合乎要求的直线，故，即所求的范围为. 14分法二：上述方程组有解即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，故对于任意的都有成立 9分整理得：对任意的恒成立 10分根据二次函数图像特征可知，在区间上，当或者时，；当时， 12分所以， 13分特别的，当时，圆与切于点，此时过C上的点没有合乎要求的直线，故，即所求的范围为. 14分20.解：函数的定义域为， 1分当时，原函数在区间上有，单调递增，无极值；当时，原函数在区间上有，单调递增，无极值；2分当时，令得： 3分当时，原函数单调递增；当时，原函数单调递减 4分所以的极大值为 5分 由知，当时 6分函数图像上存在符合要求的两点，必须，得：； 8分当时，函数在点处的切线斜率为；当时，函数在点处的切线斜率为； 10分函数图像在两点处切线互相垂直即为：，即 11分因为，故上式即为 12分所以，解得：综合得：所求的取值范围是. 14分
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