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课时作业46圆的方程1(2019福建厦门联考)若a，则方程x2y2ax2ay2a2a10表示的圆的个数为(B)A0 B1C2 D3解析：方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆的条件为a24a24(2a2a1)0，即3a24a40，解得2a.又a，仅当a0时，方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，故选B.2若圆x2y22axb20的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为(B)A1 B2C. D4解析：由半径r2，得2.点(a，b)到原点的距离d2，故选B.3(2019广东珠海四校联考)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的标准方程为(B)A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：由题意设圆心坐标为(a，a)，则有，即|a|a2|，解得a1.故圆心坐标为(1，1)，半径r，所以圆C的标准方程为(x1)2(y1)22，故选B.4圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，则的最小值是(D)A2 B.C4 D.解析：由圆x2y22x6y10知，其标准方程为(x1)2(y3)29，圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，该直线经过圆心(1,3)，即a3b30，a3b3(a0，b0)，(a3b)，当且仅当，即ab时取等号，故选D.5(2019河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线xby2b10相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(B)Ax2(y1)24 Bx2(y1)22Cx2(y1)28 Dx2(y1)216解析：法一由题意可得圆心(0,1)到直线xby2b10的距离d ，当且仅当b1时取等号，所以半径最大的圆的半径r，此时圆的标准方程为x2(y1)22.法二直线xby2b10过定点P(1,2)，如图圆与直线xby2b10相切于点P时，圆的半径最大，为，此时圆的标准方程为x2(y1)22，故选B.6(2019福建三明第一中学月考)若对圆(x1)2(y1)21上任意一点P(x，y)，|3x4ya|3x4y9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是(D)A(，4 B4,6C(，46，) D6，)解析：设z|3x4ya|3x4y9|5，故|3x4ya|3x4y9|可看作点P到直线m：3x4ya0与直线l：3x4y90距离之和的5倍，取值与x，y无关，这个距离之和与P无关，如图所示，可知直线m向上平移时，P点到直线m，l间的距离之和均为m，l间的距离，即此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，1，化简得|a1|5，解得a6或a4(舍去)，a6，故选D.7(2019河南新乡模拟)若圆C：x22n的圆心为椭圆M：x2my21的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为x2(y1)24.解析：圆C的圆心为， ，m.又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0,1)，从而n4.故圆C的标准方程为x2(y1)24.8(2019东北三省四校联考)已知圆C：(x3)2(y4)21，设点P是圆C上的动点记d|PB|2|PA|2，其中A(0,1)，B(0，1)，则d的最大值为74.解析：设P(x0，y0)，d|PB|2|PA|2x(y01)2x(y01)22(xy)2.xy为圆上任一点到原点距离的平方，(xy)max(51)236，dmax74.9设点P是函数y图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为2.解析：函数y的图象表示圆(x1)2y24在x轴及下方的部分，令点Q的坐标为(x，y)，则得y3，即x2y60，作出图象如图所示，由于圆心(1,0)到直线x2y60的距离d2，所以直线x2y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是2.10(2019安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线xy0上，圆C与直线xy0相切，且在直线xy30上截得的弦长为，则圆C的方程为(x1)2(y1)22.解析：解法一：所求圆的圆心在直线xy0上，设所求圆的圆心为(a，a)又所求圆与直线xy0相切，半径r|a|.又所求圆在直线xy30上截得的弦长为，圆心(a，a)到直线xy30的距离d，d22r2，即2a2，解得a1.圆C的方程为(x1)2(y1)22.解法二：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则圆心(a，b)到直线xy30的距离d.r2，即2r2(ab3)23.由于所求圆与直线xy0相切，(ab)22r2.又圆心在直线xy0上，ab0.联立，解得故圆C的方程为(x1)2(y1)22.解法三：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心为，半径r，圆心在直线xy0上，0，即DE0，又圆C与直线xy0相切，即(DE)22(D2E24F)，D2E22DE8F0.又知圆心到直线xy30的距离d，由已知得d22r2，(DE6)2122(D2E24F)，联立，解得故所求圆的方程为x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.11在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2，从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)由已知得.又P点在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.12已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值解：(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.又|QC|42.所以点Q在圆C外，所以|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直线MQ的斜率，设k，则直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，因为直线MQ与圆C有交点，所以2，可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.13已知点P(t，t)，tR，点M是圆x2(y1)2上的动点，点N是圆(x2)2y2上的动点，则|PN|PM|的最大值是(B)A.1 B2C3 D.解析：易知圆x2(y1)2的圆心为A(0,1)，圆(x2)2y2的圆心为B(2,0)，P(t，t)在直线yx上，A(0,1)关于直线yx的对称点为A(1,0)，则|PN|PM|PB|PB|PA|1|PB|PA|1|AB|12，故选B.14(2019厦门模拟)已知两点A(0，3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2y22y0上的动点，则ABP的面积的最小值为(B)A6 B.C8 D.解析：x2y22y0可化为x2(y1)21，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时ABP的面积最小，直线AB的方程为1，即3x4y120，圆心C到直线AB的距离d，又|AB|5，ABP的面积的最小值为5.15如图，在等腰ABC中，已知|AB|AC|，B(1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积为4.解析：由已知|AB|2|AD|，设点A(x，y)，则(x1)2y24(x2)2y2，所以点A的轨迹方程为(x3)2y24(y0)，设C(x，y)，由AC边的中点为D(2,0)知A(4x，y)，所以C的轨迹方程为(4x3)2(y)24，即(x1)2y24(y0)，所以点C的轨迹所包围的图形面积为4.16(2017全国卷)已知抛物线C：y22x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2.由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB.故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24.故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r.由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可得y1y24，x1x24.所以2m2m10，解得m1或m.当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为22.
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