对“圆内接三角形是锐角三角形的概率”问题的探究

对“圆内接三角形是锐角三角形的概率”问题的探究 江苏省包场高级中学 张巧凤 226151xy2-x-yBAC图1 问题: 设圆上的点是等可能分布的,作圆内接ABC,求ABC是锐角三角形的概率。分析：设“ABC是锐角三角形”为事件A,先固定A点，不妨设A、B、C三点在圆弧上按逆时针方向排列，设圆的半径为1，圆心为O，如图1，利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系知，当AOB, BOC, COA均小于时, ACB, BAC, CBA均小于,则事件A发生。这里涉及到三个变量,但只要设出其中两个变量,就可以将第三个变量表示出来,设AOB=x, BOC=y, 则COA=2-x-y,在平面直角坐标系,将x,y作为点的横坐标与纵坐标,这样所有的点(x,y)就构成了平面图形,问题就转化为测度为面积的二维几何概型。解: 设AOB=x, BOC=y, 则COA=2-x-y, 则样本空间,如图2，它构成的图形是以（0，0），（2，0），（0，2）为顶点的三角形内部，面积为22，事件，它构成的图形是图2所示的阴影部分，面积为，故P(A)=。探究1、求ABC为钝角三角形及ABC为直角三角形的概率.解：易知当AOB, BOC, COA中最大角大于小于2，则ABC为钝角三角形。不妨设为三个角中最大角,则样本空间,如图3，它构成的图形是四边形OMPN内部且，设“ABC是钝角三角形”为事件B, 则, ，它所表示的区域是OMN内部且,所以ABC是钝角三角形的概率P=。当即时, ABC是直角三角形,此时表示的区域为图3中的线段MN,而线段是不具有面积的，故ABC是直角三角形的概率等于0。当然，也可以用这种方法求“若ABC是锐角三角形”的概率，当满足时事件A发生，所以，它构成的图形是图3所示的MPN内部且，故P(A)=。从本探究题可以看出：圆上任意三点都可以构成三角形，故概率之和为1.原题中ABC是锐角三角形等价于AOB, BOC, COA均小于, 又等价于弧的长度均小于，故可以化曲为直，将圆周沿某点处剪开，将圆周拉直，得到一条长度为2的线段，作进一步探究。探究2:在一段长为L的线段内，随机地取两点将线段分成三段,求三段长可以构成三角形的概率.分析：设两点将线段分成的其中两段长分别为x, y, 则第三段长为L-x-y,在平面直角坐标系,将x,y作为点的横坐标与纵坐标,这样所有的点(x,y)就构成了平面图形,问题就转化为测度为面积的二维几何概型。解：如图4，设其中两段长分别为x, y, 则第三段长为，设“三段长可以构成三角形”为事件A。同样不妨设所得的三段中最长,则样本空间=，如图5, 它所表示的区域是四边形 OMPN的内部, 且面积为。若所得的三段能构成三角形,那么只需满足即可, 事件，它所表示的区域是图5中PMN的内部且。故三段长可以构成三角形的概率P=。从原题与探究2可以看出：圆上任意三点都可以构成三角形, 故构成三角形的概率之和为1；而在一条线段上随机取两点得到的三线段不一定能构成三角形，能构成三角形的概率为。下面进一步探讨：（1）截成的三段能构成锐角三角形、直角三角形及钝角三角形的概率.（2）在截成的三段能构成三角形条件下，构成锐角三角形的概率。（1）分析：要求出能构成锐角三角形、直角三角形及钝角三角形的概率，关键是找出它们的对应点（x，y）所构成的图形区域，设“截成的三段构成锐角三角形、直角三角形及钝角三角形”分别为事件D、E、F， 则事件D=，事件E=，事件F=，如图5，y=+L表示过M,N两点的一条曲线C，且曲线C把PMN分成了两部分。事件F是由曲线C与线段MN所围成的区域,此时这一部分的面积S=，因此所截的三段能构成钝角三角形的概率P（F）=。事件E构成的是曲线段C，它不具有面积, 所以概率P（E）=0。故所截的三段能构成锐角三角形的概率P（D）=3ln22. （2）在截成的三段能构成三角形条件下，构成锐角三角形的概率是一个条件概率。因为事件,故。前面探究的都是二维几何概型，是通过直角坐标系架起了两个变量x，y之间的关系，转化为区域的测度是面积的模型，可以进一步探究，将二维降为一维，转化为区域的测度是弧长的模型。探究3: 作圆内接ABC,且弧，在圆周上随机取一点C，求ABC是锐角三角形的概率。ABA1B1图6分析：如图6，同样不妨设A、B、C三点在圆弧上按逆时针方向排列，弧为定长，只需设出弧，则就可以表示来，问题就转化为一元的测度为弧长的几何概型。 解：因为C是圆周上随机的一点，所以样本空间，长度为，过A、B两点分别作直径、，易知当点C落在劣弧上时，ABC是锐角三角形，设“ABC是锐角三角形”为事件A，则A=，长度为，故P（A）=。 进一步可以得出：当ABC是钝角三角形时，点C落在劣弧或上，此时或，对应的弧长为，所以ABC是钝角三角形的概率为；当ABC是直角三角形时，点C落在劣弧或点上，此时概率为0。再进一步探究，将二维升为三维，通过原问题与探究2知，过圆上三动点作圆内接三角形与线段上取两动点都是二维模型，所以可以将线段上取三动点问题转化为三维的区域测度为体积的模型。探究4: 在一段长为L的线段AB上，随机地取三点,求由点A至三个点的线段可以构成三角形的概率.zyxCDBA 图6O解：设“由点A至三个点的线段可以构成三角形”为事件A。如图7，样本空间构成的区域是棱长为L的正方体内部，体积为，事件构成的区域是以O、A、B、C、D为顶点的六面体内部，其体积为,故P(A)=。有兴趣的读者可进一步探究：（1）截成的三段能构成锐角三角形、直角三角形及钝角三角形的概率.（2）在截成的三段能构成三角形条件下，构成锐角三角形的概率。