高等数学：2-2 求导法则

物理物理:瞬时速度问题瞬时速度问题几何几何:切线问题切线问题导数的概念导数的概念:函数对自函数对自变量的即时变化率变量的即时变化率导数的定义导数的定义:当自变量当自变量的增量趋于零时的增量趋于零时,函数函数增量与自变量增量之增量与自变量增量之比的极限比的极限利用导数利用导数的定义计的定义计算导数算导数求切线和求切线和法线方程法线方程可导与连续的可导与连续的关系关系 1(sin )coscossinln1logln1lnnnxxxxaxnxxxxxaaaeexxaxx 上讲内容回顾上讲内容回顾第二节第二节 求导法则求导法则u 函数的和、差、积、商函数的和、差、积、商 的求导法则的求导法则u 反函数的求导法则反函数的求导法则u 复合函数的求导法则复合函数的求导法则u 初等函数的求导问题初等函数的求导问题u 隐函数的导数隐函数的导数u 由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu定理定理).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu一、函数的和一、函数的和. .差差. .积积. .商的求导法则商的求导法则证证，则则设设)0)()()()()3( xvxvxuxfxxfxxfxfx )()(lim)(0 xxvxuxxvxxux )()()()(lim0)()()()()()(lim0 xvxxvxxxvxuxvxxux )()()()()()()()(lim0 xvxxvxxvxxvxuxvxuxxux )()()()()()()()(lim0 xvxxvxxvxxvxuxvxxuxxux 22*)()()()()(vvuvuxvxvxuxvxu 推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf 1211211(3)( )( )( )( )( )( )( )( )( );nininnnikikk if xfx fxfxfx fxfxf x fx .)1()4(2vvv 例例 1 验证下列函数的导数公式验证下列函数的导数公式xxxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)cot(tansec)(secsec)(tan22 )cossin()(tan xxx证证x2cos )(sin xxcos xsin )(cos xxxx222cossincos xx22seccos1 )cos1()(sec xxx2cos ) 1( xcos 1 )(cos xxx2cossin xxtansec 例例 2 .1cos1cossinlogyxxxxya ，试试求求设设解解)1cos1cos()sin(log xxxxya)(sinlogsin)(log xxxxaa2) 1(cos) 1)(cos1(cos) 1(cos) 1(cos xxxxxaxln xsinxxacoslog 2) 1(cossin) 1(cos) 1(cossin xxxxx2)1(cossin2cosloglnsin xxxaxaxx例例 3 3lncos32sin,.4xxyxxxey 设设 求求 xxxcos13 2ln23sinlncos) 1ln3(32xxexxxxxx 解解)(coslncos)(lncosln)(333 xxxxxxxxx3(lncos )(3)(2 )(sin)4xxyxxxe xe3 2ln2x 0 xxxcosln32 )sin(ln3xxx 2ln23xxe 且且有有内内也也可可导导在在对对应应区区间间则则其其反反函函数数且且内内单单调调、可可导导在在某某区区间间设设函函数数,)(,0)()(ygxxfxfy 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则定理定理即即 反函数的导数等于原函数导数的倒数反函数的导数等于原函数导数的倒数. .dxdydydxxfyg1)(1)( 或或证证是单调连续函数，是单调连续函数，设设)(xfy .)(也是单调连续函数也是单调连续函数则其反函数则其反函数ygx )()(,ygyygx 若令若令因此因此. 00;00 xyxy时有时有且当且当时有时有则则xyyx 1,于是于是两边取极限有两边取极限有 yxdydxy0limxyy 1lim001limxdxydyx 所所以以 , 0)( xf因为因为)(1xf xyx 1lim0例例 4 证明下列结论证明下列结论: ),(,11cotarc),(,11arctan)1 , 1(,11arccos)1 , 1(,11arcsin2222 xxxxxxxxxxxx解解sin(,),2 2yxyI 在在内内单单调调、可可导导, 0cos)(sin yy且且( 1,1)xI 在在内内有有)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 类似可得类似可得xyarcsin)1 解解tan(,),22yxyI 在在内内单单调调、可可导导, 0sec)(tan2 yy且且(,)xI 在在上上有有)(tan1)(arctan yxy2sec1 y2tan11 .112x .11)cot(2xxarc 类似可得类似可得xyarctan)3 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理(链式法则链式法则)( )( )dyf uxdx 2)( )( ),yf uxux 在在与与 对对应应的的点点 可可导导即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导, ,再乘以中间变量对自变量求导再乘以中间变量对自变量求导. .1)( ),uxx 若若：函函数数 在在点点 可可导导 ( ),yfxx 则则复复合合函函数数在在点点 可可导导 且且其其导导数数为为dydy dudxdu dx或或 证证( ),yf uu 由由在在点点 可可导导0lim( )uyfuu 0( )(lim0)uyfuu 故故其其中中( )yfuuu 则则xyx 0lim0lim( )xuufuxx 000( ) limlimlimxxxuufuxx ( )( ).fux *000( ) limlimlimxuxuufuxx 0,0 ux时时( )uxx 在在 处处可可导导 ( )uxx 在在 处处连连续续注注1) 多层复合的情形多层复合的情形 2) ( ) ( ).fxfx 与与 的的差差异异即即先先复复合合再再求求导导；求求导导再再对对代代入入前前者者表表示示先先将将,)(xxu ,( ),. uux 后后者者表表示示先先对对 求求导导 再再将将 代代入入即即先先求求导导再再复复合合),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 ( ) ( )( )fxfxx 例例 5 求下列函数的导数求下列函数的导数212sin)1xxy )(lntan)22xy 复合而成复合而成函数可视为由函数可视为由212,sin)1xxuuy 解解dxdududydxdy 故故ucos 222)1(22)1(2xxxx 222212cos)1()1(2xxxx )(lntan)22xy 复合而成复合而成函数可视为由函数可视为由xvvuuyln,tan,2 dxdvdvdududydxdy 故故u2 v2sec x1 )tan(ln2x )(lnsec2x x1 1. 在求复合函数导数时关键是先搞清复合结在求复合函数导数时关键是先搞清复合结构构,然后然后 由表及里一层一层地求导由表及里一层一层地求导,一直求到一直求到最后一层最后一层,不能漏掉任何一层不能漏掉任何一层.注注2. 熟练掌握后可省去中间变量熟练掌握后可省去中间变量.例例 6 计算导数计算导数xxyxxy 11arctan) 2()1ln() 1 (2解解) 1(11) 1 (22 xxxxy)1221 (1122 xxxx112 x)11(1111) 2( xxxxy)11(112121 xxxxx2)1 (2112121xxxx 2121x )11(11222 xxxxx1.1.导数运算的基本法则导数运算的基本法则21(1)( )( )(2) ( )( )( )( )(3) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )(4)( )( )11(5)( )( )(6) ( ) ( )( )Cu xCu xu xv xu xv xu x v xu x v xu x v xu xu x v xu x v xv xvxdyfxdxfydxdyfxfxx 或或四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 2. 2. 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 xxxxeeaaa )(ln)(xxaxxa1)(lnln1)(log 222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsinxxarcxxxxxx 至此至此,初等函数的求导问题均可以解决初等函数的求导问题均可以解决,但需注意但需注意这这 并不意味着并不意味着 “初等函数在其定义区间内必定可导初等函数在其定义区间内必定可导”，yx 如如 20 xx 在 在 . .例例 7xx1)(ln 证证明明：解解xxxx1)(ln)(ln,0 时时 )ln()(ln,0 xxx时时)(1 xxx1 xx1)(ln 综综上上，)cos)(sincos(sincossin222244xxxxxxy 例例 8 求求下下列列函函数数的的导导数数234411)2(cossin)1(xxxyxxy 解解)(sinsin4)1(3 xxy)(coscos43 xxxxcossin43 xxsincos43 )cos(sincossin422xxxx x2sin2 另另解解：x2cos xxxy2sin22)2sin()2cos( 2311)2(xxxy 解解2211)1(xxxy 211xx )1()1(11222 xxy22)1(21xx 222323)1()1)(1()1() 1(xxxxxxxy 22322)1() 1(2)1)(13(xxxxxx 2224)1(122xxxx 22)1(21xx 另另解解：注注从本例可见，如果能把从本例可见，如果能把 f(x) 先予以恒等变先予以恒等变形成简单的函数，那么再求导就简捷得多形成简单的函数，那么再求导就简捷得多.所以在具体做题时所以在具体做题时,一定要先把求导的函一定要先把求导的函数审视一遍看看能否予以简化数审视一遍看看能否予以简化,不要盲目不要盲目代公式代公式.1( , )0 ( ),F x yyf x 先先将将 化化成成显显函函数数 然然后后再再前前提提是是能能求求导导 ( (显显化化) )。五、隐函数的导数五、隐函数的导数1.1.显函数和隐函数显函数和隐函数2.2.隐函数求导的方法隐函数求导的方法2( ,)0F x y 方方程程 yxxy 把把方方程程中中的的 看看作作 的的函函数数，两两边边对对 求求导导得得一一含含有有 的的等等式式，.y 从从中中解解出出 例例9 利用隐函数求导法，求下列函数的导数利用隐函数求导法，求下列函数的导数。y )cos()1yxy 解解yxx把把 看看作作 的的函函数数，两两边边对对 求求导导，有有 y)sin(yx )( yx)1(y 解解得得： y)sin(yx )sin(1yx 0)2 xyeexy解解求求导导，有有的的函函数数，两两边边对对看看作作把把xxyyey )1( xexe yxy 0 解解得得： yyex yex 100yey 从从原原方方程程知知，此此时时 ，故故0yx 若若要要求求 在在 处处的的值值， 00 xyy110)01( 注注1)yxyxyx 一一般般隐隐函函数数 不不能能表表示示成成 的的显显式式， 故故其其导导数数 一一般般也也不不能能表表示示成成 的的显显式式，我我们们也也没没有有必必要要把把 表表示示为为 的的显显式式。02)yxx 若若要要计计算算 当当 时时的的值值时时，通通常常应应由由0y原原方方程程解解出出 ，00(,)xyy 然然后后把把 一一起起代代入入 的的表表示示式式中中，00yyxxy 即即可可求求出出 。cosyyeyyxe 例例 10 sin0(0,0)yyyxey 已已知知 是是由由方方程程 所所确确定定的的隐隐函函数数，试试求求 ，以以及及在在 点点处处的的切切线线的的方方程程。解解0sin yxeyyy )(cosye 0 yxeeyy 00yxyk1 所所求求切切线线为为：01(0)yxyx 即即 观察函数观察函数3sin2(1)1,.(4)xxxxyyxxe 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法结构特点结构特点( (适用范围适用范围):):.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘或或幂幂指指函函xvxu3.3.对数求导法对数求导法例例 11解解32(1)11121(4)13(1)4xxxyxexxx 等式两边先取绝对值再取对数得等式两边先取绝对值再取对数得xxxxy 4ln21ln311lnlnx上上式式两两边边对对求求导导得得142)1(3111 xxxyy32(1)1,.(4)xxxyyxe 设设求求例例 12解解.),0(sinyxxyx 用用对对数数求求导导法法求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对 xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 六、由参数方程确定的函数的导数六、由参数方程确定的函数的导数引例引例 22121gttytx 斜上抛物体运动斜上抛物体运动 221122112 2 )( 21xgxxgxy 前者物理意义清楚前者物理意义清楚, 后者几何意思明显后者几何意思明显.若参数方程若参数方程 能确定能确定x与与y间的函数关系间的函数关系, )( )( tytx 则称此函数则称此函数y=y(x)(或或x=x(y)为为参数方程所确定参数方程所确定的函数的函数 。例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? dxdyy问题：问题：),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ( ),( ),( )0,xtytt 再再设设函函数数都都可可导导 且且则由复合函数及反函数的求导法则得则由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即( ),( )xtyt 在在方方程程 中 中例例 13解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin sin(1cos )atat 2cos12sin2 tdxdy1 处的切线方程。处的切线方程。在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttaxayaxt ),12(,2 时时当当)12( axay所所求求切切线线方方程程为为：)22( axy即：即：14(1cos ).2a 例例求求心心脏脏线线 在在处处的的切切线线方方程程解：解： sin)cos1(cos)cos1(ayax间间的的关关系系有有：根根据据极极坐坐标标与与直直角角坐坐标标 (1 cos )sin (1 cos )cos dyadxa )2sinsin()2cos(cos aa 2sinsin2coscos 2 dxdyk切切1 ayx , 02时时 : yxa 所所求求切切线线方方程程为为（由由极坐标极坐标方程确定的函数的导数）方程确定的函数的导数）)( sin)(cos)(yx化化为为参参方方导数的构造性定义导数的构造性定义xxxxC1)(lncos)(sin0)( 运算法则运算法则(四则四则/反函数反函数/复合复合)其它的基本初等函其它的基本初等函数的求导公式数的求导公式所有初所有初等函数等函数(显式显式)的求导的求导问题问题1. 初等函数的求导问题初等函数的求导问题本本讲内容小结讲内容小结3)必须熟记基本导数公式必须熟记基本导数公式(注意公式的特点注意公式的特点).注：注：1)求导运算是高数中最基本最重要的计算求导运算是高数中最基本最重要的计算,是全书是全书 的重点的重点,而复合函数的求导是其中的难点而复合函数的求导是其中的难点.2)复合函数求导的关键在于正确分解复合结构复合函数求导的关键在于正确分解复合结构.2. 其他形式的初等函数的求导问题其他形式的初等函数的求导问题1)隐函数的导数隐函数的导数2)某些特殊的显函数对数求导法某些特殊的显函数对数求导法3)由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数4)由极坐标方程确定的函数的导数由极坐标方程确定的函数的导数本本讲内容小结讲内容小结(直接对方程两边求导直接对方程两边求导)(实质上是利用复合函数与反函数的求导法则实质上是利用复合函数与反函数的求导法则)(利用直角坐标与极坐标之间的关系转化为由参数方程利用直角坐标与极坐标之间的关系转化为由参数方程确定的函数的求导问题确定的函数的求导问题) (方程两边取对数方程两边取对数,然后按隐函数的求导法则求导然后按隐函数的求导法则求导)解答解答处处不不可可导导在在0 u()ug xx 取取 ( ) |f g xx )1(2( )ug xx 取取 22 ( ) |f g xxx )2(处处可可导导在在0 x处处不不可可导导在在0 x处处可可导导在在0 x0 x 在在处处可可导导|)(uuf 例如例如 思考与练习思考与练习极坐标系极坐标系: : 在平面内取一个定点在平面内取一个定点O O，叫做，叫做极点极点, ,引一条射线引一条射线OXOX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个长度单。再选定一个长度单位和位和计算计算角度的正方向角度的正方向（通常取逆时针方向）（通常取逆时针方向）XO 极坐标极坐标对于平面上任意一点对于平面上任意一点 M, M, 用用 表示线段表示线段 OM OM 的长度的长度, ,用用 表表示从示从 OX OX 到到 OM OM 的角度的角度, , 叫叫做点做点 M M 的的 极径极径, 叫做点叫做点 M M 的的 极角极角，有序数对，有序数对 ( ( ， ） 叫做叫做 M M 的极坐标。的极坐标。XOM 极坐标系下点与它的极坐标的对应情况极坐标系下点与它的极坐标的对应情况11给定给定( ( , , ),),就可以在就可以在极坐标极坐标平面内确定唯平面内确定唯一的一点一的一点 M M。22给定平面上一点给定平面上一点 M M，却有无数个极坐标与，却有无数个极坐标与之对应。之对应。 一般地一般地, ,若若(,)(,)是一点的极坐标是一点的极坐标, ,则则(,+2(,+2k k) ) 都可以作为它的极坐标都可以作为它的极坐标. . 限定限定 002,2,那么除极点外那么除极点外, ,平面内平面内的点与其极坐标就可以的点与其极坐标就可以 一一对应一一对应 了了. .原因在于：极角有无数个原因在于：极角有无数个极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化: :设点设点M M的直角坐标是的直角坐标是 (x, y) (x, y) 极坐标是极坐标是 (,)(,)cossinxy 222tan(0)xyyxx 互化公式的三个前提条件：互化公式的三个前提条件：1. 1. 极点与直角坐标系的原点重合极点与直角坐标系的原点重合; ;2. 2. 极轴与直角坐标系的极轴与直角坐标系的x x轴的正半轴重合轴的正半轴重合; ;3. 3. 两种坐标系的单位长度相同两种坐标系的单位长度相同. .例例 （1）过点过点 A( (a,0),0)，且垂直于极轴的直，且垂直于极轴的直线线 L 的极坐标方程：的极坐标方程：cosa （3）中心在中心在 A( (a,0),0)半径为半径为 a 的圆的圆. .（2）中心在极点中心在极点, 半径为半径为 a 的圆：的圆：a 2 cosa 常见曲线的极坐标方程常见曲线的极坐标方程Back