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第第1919课时课时相似三角形相似三角形-2-3-4-1.比例:比例线段:(1)四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即 ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段;(2)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.黄金分割:若点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点-5-2.相似三角形:定义:三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫相似比.性质:(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形的周长比等于相似比;(3)相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方.判定:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)三边对应成比例的两个三角形相似;(3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(4)平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.-6-3.相似多边形:性质:(1)相似多边形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似多边形的面积比等于相似比的平方.判定:对应角相等,对应边成比例的两个多边形相似.-7-1.(2017连云港)如图,已知ABCDEF,ABDE=12,则下列等式一定成立的是 (D)-8-2.(2017潍坊)如图,在ABC中,ABAC,D、E分别为边AB、AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:DFAC,或BFD=A,可以使得FDB与ADE相似.(只需写出一个)-9-考点考点1相似三角形的性质相似三角形的性质【例1】(2016梅州)如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,若SDEC=3,则SBCF=.【名师点拨】 先根据平行四边形性质ADBC,可得DEFBCF,从而可知相似比为12;利用DEF与FCD的底EFFC=12,同高且面积和为SDEC=3,求出DEF的面积为1,可得BCF面积.-10-【我的解法】 解:因为E为AD中点,ADBC,所以,DFEBFC,【题型感悟】 此题考查的是平行四边形的性质、三角形的面积、三角形的相似的判定与性质,灵活运用相似三角形的判定方法及性质是解题关键.-11-【考点变式】1.(2017杭州)如图,在ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DEBC,若BD=2AD,则 (B)-12-2.(2017恩施)如图,在ABC中,DEBC,ADE=EFC,ADBD=53,CF=6,则DE的长为 (C)A.6B.8C.10 D.12-13-3.(2017兰州)如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得CG=3米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为 (A)A.8.5米 B.9米 C.9.5米D.10米-14-考点考点2相似三角形的判定相似三角形的判定【例2】(2013广东)如图,矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设RtCBD的面积为S1,RtBFC的面积为S2,RtDCE的面积为S3,则S1S2+S3(用“”“=”“”填空);(2)写出图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.-15-【名师点拨】 此题主要考查的是三角形相似的判定.(1)结合三角形、矩形面积公式可得结果;(2)结合图形、已知条件可写出的相似三角形.【我的解法】 解:(1)=;(2)BCFDBCCDE;选BCFCDE,理由如下:证明:在矩形ABCD中,BCD=90且点C在边EF上,BCF+DCE=90在矩形BDEF中,F=E=90,在RtBCF中,CBF+BCF=90CBF=DCE,BCFCDE.【题型感悟】 弄清三角形相似的常用方法是解题的关键.-16-【考点变式】1.(2015湘潭)如图,在RtABC中,C=90,将ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处.(1)求证:BDEBAC;(2)已知AC=6,BC=8,求线段AD的长度.-17-解:(1)证明:C=90,ACD沿AD折叠,C=AED=90,DEB=C=90,B=B,BDEBAC;(2)由勾股定理得,AB=10.由折叠的性质知,AE=AC=6,DE=CD,AED=C=90.BE=AB-AE=10-6=4,在RtBDE中,由勾股定理得,DE2+BE2=BD2,即CD2+42=(8-CD)2,解得:CD=3,在RtACD中,由勾股定理得AC2+CD2=AD2,即32+62=AD2,解得:AD=3.-18-2.(2015咸宁)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD为角平分线,DEAB,垂足为E.(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形;(2)选择(1)中一对加以证明.-19-解:(1)ADE BDE,ABCBCD;(2)ADE BDE,证明:AB=AC,A=36,ABC=C=72,BD为角平分线,ABD= ABC=36=A,在ADE和BDE中,ABCBCD,证明:AB=AC,A=36,ABC=C=72,BD为角平分线,DBC= ABC=36=A,C=C,ABCBCD.-20-一、选择题1.(2017重庆)若ABCDEF,相似比为32,则对应高的比为 (A)A.3 2 B.3 5C.9 4D.4 92.(2017张家界)如图,D,E分别是ABC的边AB,AC上的中点,如果ADE的周长是6,则ABC的周长是 (B)A.6B.12C.18 D.24-21-3.(2017永州)如图,在ABC中,点D是AB边上的一点,若ACD=B,AD=1,AC=2,ADC的面积为1,则BCD的面积为 (C)A.1B.2C.3D.44.(2017泰安)如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,MEAM,ME交AD的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE的长为 (B)-22-二、填空题5.(2017北京)如图,在ABC中,M、N分别为AC,BC的中点.若SCMN=1,则S四边形ABNM=3.6.(2017广安)如图,RtABC中,C=90,BC=6,AC=8,D、E分别为AC、AB的中点,连接DE,则ADE的面积是6.-23-7.(2017江西)如图,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且EFG=90.求证:EBFFCG.解:四边形ABCD为正方形,B=C=90,BEF+BFE=90,EFG=90,BFE+CFG=90,BEF=CFG,EBFFCG.
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