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二次二次函数函数的图的图象与象与性质性质根据二次函数解析式判断函数图象与性质根据二次函数解析式判断函数图象与性质根据二次函数图象判断相关结论根据二次函数图象判断相关结论二次函数图象与二次函数图象与a、b、c的特殊关系的特殊关系 二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定图象的平移（以一般式图象的平移（以一般式y=ax2+bx+c为例）为例） 与一元二次方程、不等式的关系与一元二次方程、不等式的关系未完继续未完继续根 据根 据二 次二 次函 数函 数解 析解 析式 判式 判断 函断 函数 图数 图象 与象 与性质性质二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)判判断断函函数数性性质质对对称称轴轴直接利用公式直接利用公式x= 求解求解.注：还可以用注：还可以用x= (其中其中x1、x2为关于对称轴对称的两点为关于对称轴对称的两点的横坐标的横坐标)顶点顶点坐标坐标1.直接利用顶点坐标公式直接利用顶点坐标公式 求解；求解；2.用配方法将一般式转化为顶点式求解；用配方法将一般式转化为顶点式求解；3.将对称轴的将对称轴的x值代入函数解析式求对应值代入函数解析式求对应y值值122xx2ba24(,)24bacbaa判判断断函函数数性性质质增增减减性性a0时，在对称轴左侧时，在对称轴左侧，y随随x的增大而减小；的增大而减小；在对称轴右侧，在对称轴右侧，y随随x的的增大而增大增大而增大a0时，当时，当x= 时，时，y有最小值为有最小值为a0 开口向上开口向上a0抛物线与抛物线与y轴交于正半轴轴交于正半轴c0 与与x轴有两个交点轴有两个交点b2-4ac0 与与x轴没有交点轴没有交点y根据根据二次二次函数函数图象图象判断判断相关相关结论结论图图象象结结论论a 0ab 0c0 a 0ab=0c0b2-4ac 0 a0ab 0c 0b2-4ac0 a 0ab0c0ab0c 0b2-4ac 0 a 0ab0c 0b2-4ac0 a 0ab 0c=0b2-4ac0 a0ab 0c=0b2-4ac 0 返回返回=二次二次函数函数图象图象与与a、b、c的特的特殊关殊关系系 2a+b 与与1比比较较 2a+b 02a+b 0 2a+b 0 2a-b 与与-1比较比较2a-b 02a-b 0 2a-b 02ba2ba未完继续未完继续=2123242522a+b+c 令令x=1看纵看纵坐标坐标 a+b+c 0 a+b+c 0 a+b+c 0 a-b+c令令x=-1看纵看纵坐标坐标a-b+c 0 a-b+c 0 a-b+c 0二次二次函数函数图象图象与与a、b、c的特的特殊关殊关系系 未完继续未完继续=313029282726返回返回4a+2b+c 令令x=2看纵看纵坐标坐标 4a+2b+c 04a+2b+c 04a+2b+c 0 4a-2b+c令令x=-2看纵看纵坐标坐标4a-2b+c 0 4a-2b+c 0 4a-2b+c 0二次二次函数函数图象图象与与a、b、c的特的特殊关殊关系系 =3237363534331.待待定系定系数法数法求解求解析式析式（1）对于二次函数）对于二次函数y=ax2+bx+c,若系数若系数a,b,c中有一个未知，则中有一个未知，则代入任意一点坐标；若有两个未知，则代入任意两点坐标；若代入任意一点坐标；若有两个未知，则代入任意两点坐标；若三个都未知，根据下表所给点坐标选择适当的表达式：三个都未知，根据下表所给点坐标选择适当的表达式：已知已知所设表达式所设表达式顶点顶点+别的点别的点y=a(x-h)2+k与与x轴的两个交点轴的两个交点+别的点别的点y=a(x-x1)(x-x2)与与x轴的一个交点轴的一个交点+对称轴对称轴+别的点别的点任意三个点任意三个点y=ax2+bx+c（2）联立一次方程组，求得系数；）联立一次方程组，求得系数；（3）将所得系数代入解析式即可）将所得系数代入解析式即可未完继续未完继续2.根根据图据图象变象变换求换求解析解析式式（1）将已知解析式化为顶点式）将已知解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k;（2）根据下表求出变化后的）根据下表求出变化后的a，h，k:（3）将变化后的）将变化后的a，h，k代入顶点式中即可得到变化后的解析式代入顶点式中即可得到变化后的解析式变换方式变换方式a顶点顶点(h,k)平移变换平移变换不变不变变变轴对称轴对称变换变换x轴轴相反数相反数(h,-k)y轴轴不变不变(-h,k)旋转变旋转变换换绕顶点绕顶点(180)相反数相反数(h,k)绕原点绕原点(180)相反数相反数(-h,-k)返回返回向左平移向左平移m个单位：个单位：y=a(x+m)2+b(x+m)+c向右平移向右平移m个单位：个单位：y=a(x-m)2+b(x-m)+c向上平移向上平移m个单位：个单位：y=ax2+bx+c+m向下平移向下平移m个单位：个单位：y=ax2+bx+c-m 图象的图象的平移平移(以一以一般式般式y=ax2+bx+c为为例例)口诀：左加口诀：左加右减，上加右减，上加下减下减注：二次函数的平移过程中，沿注：二次函数的平移过程中，沿x轴平移时即左右平移，轴平移时即左右平移，给所有含给所有含x的项左加右减，沿的项左加右减，沿y轴平移时即上下平移，轴平移时即上下平移，给整体上加下减给整体上加下减返回返回方程方程ax2+bx+c=0的解的解 二次函数二次函数y=ax2+bx+c与与x轴的交点的横轴的交点的横坐标值坐标值方程有两个方程有两个 的实数根，则的实数根，则b2-4ac0 抛物线与抛物线与x轴轴有两个交点有两个交点方程有两个相等的实数根，则方程有两个相等的实数根，则b2-4ac 0 抛物线与抛物线与x轴有轴有一个交点一个交点方程无实根，则方程无实根，则b2-4ac 0 抛物线与抛物线与x轴无交点轴无交点与一与一元二元二次方次方程的程的关系关系温馨提示温馨提示 数形结合，熟练应用二次函数与一元二次方程的互化关系，数形结合，熟练应用二次函数与一元二次方程的互化关系，将二次函数与坐标轴的交点问题转化为一元二次方程解决，或将一元将二次函数与坐标轴的交点问题转化为一元二次方程解决，或将一元二次方程问题转化为二次函数问题，利用函数的图象与性质解决二次方程问题转化为二次函数问题，利用函数的图象与性质解决未完继续未完继续1时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大 ( )二次函数的最小值是二次函数的最小值是4 ( )二次函数图象的对称轴是二次函数图象的对称轴是x1 ( )已知已知x5时，时，y12，则，则x3时，时，y12 ( )二次函数图象的顶点坐标是二次函数图象的顶点坐标是(1，4) ( )【解析解析】a10，抛物线开口向上，不正确；，抛物线开口向上，不正确；对称轴为对称轴为x1，当，当x1时，时，y随随x的增大而增大，正确；的增大而增大，正确；由函数解析式由函数解析式y(x1)24可知，二次函数的最小值是可知，二次函数的最小值是4，正确；，正确；抛物线的对称轴是抛物线的对称轴是x1，正确；，正确；两点关于对称轴对称，两点关于对称轴对称，当当x3时，时，y12正确；正确；已知二次函数解析式已知二次函数解析式y(x1)24，则抛物线的顶点坐标，则抛物线的顶点坐标是是(1，4)，正确，正确(4)这个二次函数图象是由这个二次函数图象是由yx2经过怎样的平移得到的经过怎样的平移得到的( )A. 先向右平移先向右平移1个单位，再向上平移个单位，再向上平移4个单位个单位B. 先向右平移先向右平移1个单位，再向下平移个单位，再向下平移4个单位个单位C. 先向左平移先向左平移1个单位，再向上平移个单位，再向上平移4个单位个单位D. 先向左平移先向左平移1个单位，再向下平移个单位，再向下平移4个单位个单位【解析解析】二次函数解析式为二次函数解析式为y(x1)24，即为，即为yx2先向先向右平移右平移1个单位，再向下平移个单位，再向下平移4个单位，故个单位，故B正确正确B练习练习 一次函数一次函数yaxc(a0)与二次函数与二次函数yax2bxc(a0)在在同一平面直角坐标系中的图象可能是同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) D【解析解析】由二次函数和一次函数的解析式可知，当由二次函数和一次函数的解析式可知，当x0时，两函时，两函数图象与数图象与y轴交于同一点，故轴交于同一点，故A错误；当错误；当a0时，二次函数图象时，二次函数图象开口向上，一次函数图象经过第一、三象限，故开口向上，一次函数图象经过第一、三象限，故B错误；当错误；当a0时，二次函数图象开口向下，一次函数图象经过第二、四象限，时，二次函数图象开口向下，一次函数图象经过第二、四象限，故故C错误，错误，选选D.
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