[初二数学]相似形初中数学组卷

2012年10月刘笑天的初中数学组卷一选择题（共10小题）1（烟台）如图，ABC中，点D在线段BC上，且ABCDBA，则下列结论一定正确的是（）AAB2=BCBDBAB2=ACBDCABAD=BDBCDABAD=ADCD2（昆明）如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是（）A3秒或4.8秒B3秒C4.5秒D4.5秒或4.8秒3（烟台）如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使CBFCDE，则BF的长是（）A5B8.2C6.4D1.84（ 陕西）如图，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使ABP、APD、CDP两两相似，则a、b间的关系式一定满足（）AabBabCabDa2b5（聊城）如图，在ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12在AB上取一点E使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE的长为（）A16B14C16或14D16或96ABCA1B1C1，且相似比为，A1B1C1A2B2C2，且相似比为，则ABC与A2B2C2的相似比为（）ABC或D7在直角坐标系中，已知O（0，0），A（2，0），B（0，4），C（0，3），D为x轴上一点若以D、O、C为顶点的三角形与AOB相似，这样的D点有（）A2个B3个C4个D5个8如图，已知点P是ABC的边AB上一点，且满足APCACB，则下列的比例式：；其中正确的比例式的序号是（）ABCD9如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为线段AE上一点，若ADEBFA，AE=4，BF=3，则该正方形的面积为（）A12B8C6D210已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为，那么两底的比为（）ABCD二填空题（共10小题）11（2011苏州）如图，巳知ABC是面积为的等边三角形，ABCADE，AB=2AD，BAD=45，AC与DE相交于点F，则AEF的面积等于_（结果保留根号）12（2010淄博）在一块长为8、宽为的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是_13在直角坐标系中，已知A（3，0），B（0，4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与AOB相相似，这样的直线一共可以作出_条14如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，ABEDEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长为_15如图，已知直角坐标系中四点A（2，4），B（2，0），C（2，3），D（2，0）、设P是x轴上的点，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标：_16如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，E为AD的中点，在AB上取一点F，使CBFCDE，则AF=_cm17如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点，且PB=3，BFBP，若在射线BF有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与ABP相似，那么BM=_18已知：RtOAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把RtOAB分割成两部分，若分割得到的三角形与RtOAB相似，则符合条件的C点有_个19如图，在RtABC中，BAC=90，C=60，BC=24，点P是BC边上的动点（点P与点B、C不重合），过动点P作PDBA交AC于点D若ABC与DAP相似，则APD=_20已知等边ABC边长为4，D、E分别为BC和AC上的点，且ABDDCE，则ADE=_度；若点D为BC的三等分点，则EC=_三解答题（共10小题）21小明的数学作业中有一道题为：“如图，E为ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F若AE=2，EF=1.4，CF=3.5，DF=5，求ABCD的周长”小明已经探索出AEFDCF，请你接下来继续帮他完成本题22如图，ABC中，AI、BI分别平分BAC、ABCCE是ABC的外角ACD的平分线，交BI延长线于E，连接CI（1）ABC变化时，设BAC=2若用表示BIC和E；（2）若AB=1，且ABC与ICE相似，求相应AC长23已知：如图RtABCRtBDC，若AB=3，AC=4（1）求BD、CD的长；（2）过B作BEDC于E，求BE的长24如图，已知ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F求+的值25如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，ABC=60；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x（1）求AC的长；（2）如果ABP和BCE相似，请求出x的值；（3）当ABE是等腰三角形时，求x的值26如图，在ABC中，AD平分BAC交BC于点D点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FGAB交线段AD于点G，连接BG、EF（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若ABGAGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长27在RtABC中，C=90，AC=20cm，BC=15cm现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒求：（1）用含t的代数式表示RtCPQ的面积S；（2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似？28（2010安徽）如图，已知ABCA1B1C1，相似比为k（k1），且ABC的三边长分别为a、b、c（abc），A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对ABC和A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在ABC和A1B1C1使得k=2？请说明理由29（2011徐州）如图，在ABC中，AB=AC，BC=acm，B=30动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线BAC运动到点C时停止运动设点P出发x s时，PBC的面积为y cm2已知y与x的函数图象如图所示请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断DOE的形状，并说明理由；（2）当a为何值时，DOE与ABC相似？30在梯形ABCD中，ABCD，BCD=90，且AB=1，BC=2，tanADC=2对角线AC和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转（1）如图1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系是_，数量关系是_；（2）继续旋转三角板，旋转角为请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，若，求PE的长2012年10月刘笑天的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1（2010烟台）如图，ABC中，点D在线段BC上，且ABCDBA，则下列结论一定正确的是（）AAB2=BCBDBAB2=ACBDCABAD=BDBCDABAD=ADCD考点：相似三角形的性质。1082614分析：可根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角解答：解：ABCDBA，；AB2=BCBD，ABAD=BDAC；故选A点评：此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键2（2007昆明）如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是（）A3秒或4.8秒B3秒C4.5秒D4.5秒或4.8秒考点：相似三角形的性质。1082614专题：动点型；分类讨论。分析：根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，ADEABC和ADEACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒解答：解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是x秒，若ADEABC，则，解得：x=3；若ADEACB，则，解得：x=4.8当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒故选A点评：此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题3（2004烟台）如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使CBFCDE，则BF的长是（）A5B8.2C6.4D1.8考点：相似三角形的性质；平行四边形的性质。1082614分析：由CBFCDE，根据相似三角形的对应边对应成比例，可知BF：DE=BC：DC，即BF=BC：DCDE又四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可知BC=AD=6，DC=AD=10，易知DE=3，从而求出BF的长解答：解：在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，CD=10，BC=6，DE=3CBFCDE，BF：DE=BC：DC，BF=6103=1.8故选D点评：本题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的性质：平行四边形的对边相等相似三角形的对应边成比例4（2004陕西）如图，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使ABP、APD、CDP两两相似，则a、b间的关系式一定满足（）AabBabCabDa2b考点：相似三角形的性质；根的判别式；解分式方程。1082614专题：存在型；方程思想；转化思想。分析：本题可结合方程思想来解答由于ABP和DCP相似，可得出关于AB、PC、BP、CD的比例关系式设PC=x，那么BP=ax，根据比例关系式可得出关于x的一元二次方程，由于BC边上至少有一点符合条件的P点，因此方程的0，由此可求出a、b的大小关系解答：解：若设PC=x，则BP=ax，ABPPCD，即，即x2ax+b2=0方程有解的条件是：a24b20，（a+2b）（a2b）0，则a2b0，a2b故本题选D点评：本题是存在性问题，可以转化为方程问题，利用判断方程的解的问题来解决5（2002聊城）如图，在ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12在AB上取一点E使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE的长为（）A16B14C16或14D16或9考点：相似三角形的性质。1082614分析：本题应分两种情况进行讨论，ABCAED；ABCADE；可根据各相似三角形得出的关于AE、AE、AB、AC四条线段的比例关系式求出AE的长解答：解：本题分两种情况：ADEACB，AB=24，AC=18，AD=12，AE=16；ADEABC，AB=24，AC=18，AD=12，AE=9故选D点评：本题主要考查了相似三角形的性质由于题中没有明确相似三角形的对应角和对应边，因此本题要分情况进行讨论，以免漏解6（新颖题）ABCA1B1C1，且相似比为，A1B1C1A2B2C2，且相似比为，则ABC与A2B2C2的相似比为（）ABC或D考点：相似三角形的性质。1082614分析：利用两组相似三角形的相似比，进行转化即可得出，其实相乘即可解答：解：ABCA1B1C1，相似比为=，又A1B1C1A2B2C2，相似比为=，ABC与A2B2C2的相似比为=故选A点评：本题考查了相似三角形的传递性，也可以用其他方法解7在直角坐标系中，已知O（0，0），A（2，0），B（0，4），C（0，3），D为x轴上一点若以D、O、C为顶点的三角形与AOB相似，这样的D点有（）A2个B3个C4个D5个考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质。1082614专题：分类讨论。分析：以D、O、C为顶点的三角形与AOB相似，两个三角形中O与O一定是对应顶点，D与AOB中的A可能是对应顶点，也可能与B是对应顶点，应分两种情况进行讨论解答：解：当D与A是对应顶点时，过C作AB的平行线，与x轴的交点D就满足条件，以C为圆心，以CD为半径作弧，与x轴的负半轴的交点也满足条件；当D与B是对应顶点时，设OD=x，则=，即=，解得x=6，因而D的坐标是（6，0）或（6，0）故满足条件的点有4个，故选C点评：本题主要考查了相似三角形的性质，根据对应顶点的情况讨论是解题关键8如图，已知点P是ABC的边AB上一点，且满足APCACB，则下列的比例式：；其中正确的比例式的序号是（）ABCD考点：相似三角形的性质。1082614分析：要使两个三角形相似，可以是对应角相等，也可以是对应边成比例，但夹角必须相等，则三角形才是相似三角形解答：解：要使APCACB，因为A为公共角，中，夹角为A正确；中也正确；中，对应边成比例，但夹角并不相等，不能确定，错；同理也错故选A点评：熟练掌握相似三角形的性质，会运用线段成比例以及角之间的关系求解两个三角形相似的问题9如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为线段AE上一点，若ADEBFA，AE=4，BF=3，则该正方形的面积为（）A12B8C6D2考点：相似三角形的性质；正方形的性质。1082614分析：设正方形的边长是a根据相似三角形的对应边的比相等，得到关于a的方程即可求解解答：解：设正方形的边长是aADEBFA，AE=4，BF=3，即a2=34=12，即正方形的面积是12故选A点评：此题考查了相似三角形的性质和正方形的性质10已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为，那么两底的比为（）ABCD考点：相似三角形的性质；梯形。1082614分析：已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，再根据梯形两底平行的关系，确定相似的两个三角形，再根据相似三角形对应边长成比例，即可求得两底之比解答：解：如图ADBC，1=2梯形ABCD被一条对角线分成两个相似三角形，ABDDCB，已知两腰为：AB和DC，BD=4AD，CB=4BD=16AD，=故选D点评：本题主要考查了梯形的性质和相似三角形的基本性质及对应边长成比例，根据相似比来求解二填空题（共10小题）11（2011苏州）如图，巳知ABC是面积为的等边三角形，ABCADE，AB=2AD，BAD=45，AC与DE相交于点F，则AEF的面积等于（结果保留根号）考点：相似三角形的性质；等边三角形的性质。1082614专题：计算题。分析：根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积解答：解：ABCADE，AB=2AD，=，AB=2AD，SABC=，SADE=，在EAF中，作HFAE交AE于H，则AFH=45，EFH=30，AH=HF，设AH=HF=x，则EH=xtan30=x又SADE=，作CMAB交AB于M，ABC是面积为的等边三角形，ABCM=，BCM=30，AB=2k，BM=k，CM=k，k=1，AB=2，AE=AB=1，x+x=1，解得x=SAEF=1=点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后问题可解12（2010淄博）在一块长为8、宽为的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是2考点：相似三角形的性质；解一元二次方程-公式法。1082614分析：设AE边为x，则DE边为8x，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求解即可解答：解：根据题意，截出的三角形是相似三角形，设AE=x，则DE边为8x，ABEDCE，即，整理得x28x+12=0，解得x1=2，x2=6（舍去），因此较短直角边的长为2故应填2点评：本题主要利用相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键13在直角坐标系中，已知A（3，0），B（0，4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与AOB相相似，这样的直线一共可以作出4条考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质。1082614专题：分类讨论。分析：本题可根据题意先算出OA、OB、OC的值，再根据AOBDOC和AOBCOD两种情况分别谈论，即可得出答案解答：解：A（3，0），B（0，4），C（0，1），OA=3，OB=4，OC=1，AOB是直角三角形，当AOBDOC时，DC有两种情况，当AOBCOD时，CD分别在y轴的两侧，有两种情况，因而这样的直线一共可以作出4条点评：分两种情况进行讨论是解决本题的关键14如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，ABEDEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长为考点：相似三角形的性质；勾股定理；矩形的性质。1082614分析：已知ABEDEF，那么点A、D对应，点B、E对应，点E、F对应，首先根据相似三角形得到的比例线段求出DF的长，再由勾股定理求得EF的值解答：解：四边形ABCD是矩形，A=D=90；ABEDEF，即，解得DF=3；在RtDEF中，DE=2，DF=3，由勾股定理得：EF=故答案为：点评：此题主要考查的是相似三角形的性质，找准对应顶点是解题的关键15如图，已知直角坐标系中四点A（2，4），B（2，0），C（2，3），D（2，0）、设P是x轴上的点，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标：（0.2，0），（14，0），（4，0），（4，0）考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质。1082614分析：此题需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得解答：解：设OP=x（x0），分三种情况：一、若点P在AB的左边，有两种可能：此时ABPPDC，则PB：CD=AB：PD，则（x2）：3=4：（x+2）解得x=4，点P的坐标为（4，0）；若ABPCDP，则AB：CD=PB：PD，则（x2）：（x+2）=4：3解得：x=14不存在二、若点P在AB与CD之间，有两种可能：若ABPCDP，则AB：CD=BP：PD，4：3=（x+2）：（2x）解得：x=，点P的坐标为（，0）；若ABPPDC，则AB：PD=BP：CD，4：（2x）=（x+2）：3，方程无解；三、若点P在CD的右边，有两种可能：若ABPCDP，则AB：CD=BP：PD，4：3=（2+x）：（x2），x=14，点P的坐标为（14，0），若ABPPDC，则AB：PD=BP：CD，4：（x2）=（x+2）：3，x=4，点P的坐标为（4，0）；点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（4，0）点评：此题考查相似三角形的性质解题的关键是数形结合思想的应用注意分类讨论，小心别漏解16如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，E为AD的中点，在AB上取一点F，使CBFCDE，则AF=7cm考点：相似三角形的性质；平行四边形的性质。1082614分析：根据CBFCDE，相似三角形对应边的比相等，求得BF，就可求得AF的长解答：解：在平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，E为AD的中点则BC=AD=4cmDE=2cmCD=AB=8cmCBFCDE=即=BF=1AF=ABBF=81=7cm点评：本题主要考查了平行四边形的性质，两组对边分别相等，以及相似三角形的性质，对应边的比相等17如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点，且PB=3，BFBP，若在射线BF有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与ABP相似，那么BM=3，考点：相似三角形的性质；正方形的性质。1082614分析：先确定相似三角形的一个对应角，得出相似的两种可能，根据相似比求出BM的值解答：解：ABC=FBP=90ABP=CBF当ABPMBC时，BM：AB=BC：BP，得BM=443=；当ABPCBM时，BM：BP=CB：AB，得BM=434=3点评：本题关键是确定相似三角形的一个对应角，考查相似三角形的性质18已知：RtOAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把RtOAB分割成两部分，若分割得到的三角形与RtOAB相似，则符合条件的C点有3个考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质。1082614分析：按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当BOA为公共锐角时，只存在PCO为直角的情况；当B为公共锐角时，存在PCB和BPC为直角两种情况如图，C1（3，0），C2（6，4），C3（6，）解答：解：过P作PC1OA，垂足是C1，则OC1POAB点C1坐标是（3，0）（2分）过P作PC2AB，垂足是C2，则PC2BOAB点C2坐标是（6，4）（4分）过P作PC3OB，垂足是P（如图），则C3PBOAB，所以BC3：BO=BP：BA（6分）易知OB=10，BP=5，BA=8，所以BC3=，AC3=8=（8分）所以C3（6，）（9分）符合要求的点C有3个故答案为3点评：本题考查了相似三角形的性质此题实质上是画直角三角形OAB的相似三角形，只不过所画的相似三角形点P已经确定了，所以要根据网格找出三边的长，再利用对应边的比相等，画出相似三角形19如图，在RtABC中，BAC=90，C=60，BC=24，点P是BC边上的动点（点P与点B、C不重合），过动点P作PDBA交AC于点D若ABC与DAP相似，则APD=60或30考点：相似三角形的性质。1082614专题：计算题。分析：由于ABCDAP，那么APD=BCA，易求APD=60；或ABCDPA，则DPA=B=30，解答：解：如右图所示，ABCDAP，APD=BCA，APD=60ABCDPA，DPA=B=30，故答案是60或30点评：本题考查了相似三角形的性质解题的关键是找出相似三角形的对应顶点20已知等边ABC边长为4，D、E分别为BC和AC上的点，且ABDDCE，则ADE=60度；若点D为BC的三等分点，则EC=考点：相似三角形的性质；等边三角形的性质。1082614分析：由等边ABC边长为4，可得B=60，AB=BC=4，又由ABDDCE，根据相似三角形的对应角相等，即可得EDC=BAD，然后利用三角形外角的性质，即可求得ADE的度数，然后利用相似三角形的对应边成比例，求得EC的长解答：解：等边ABC边长为4，B=60，AB=BC=4，ABDDCE，EDC=BAD，ADC是ABD的外角，ADE+EDC=B+BAD，ADE=B=60，点D为BC的三等分点，BD=BC=，CD=BC=，ABDDCE，即，解得：EC=故答案为：60，点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用三解答题（共10小题）21小明的数学作业中有一道题为：“如图，E为ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F若AE=2，EF=1.4，CF=3.5，DF=5，求ABCD的周长”小明已经探索出AEFDCF，请你接下来继续帮他完成本题考点：相似三角形的性质；平行四边形的性质。1082614专题：阅读型。分析：根据相似三角形的对应边的比相等求得CD、AF的长，即求得了平行四边形的一组邻边，从而求其周长解答：解：AEFDCF，=，即=DC=5，AF=2AD=AF+DF=2+5=7CABCD=2（AD+DC）=2（5+7）=24点评：此题综合考查了相似三角形的性质和平行四边形的性质22如图，ABC中，AI、BI分别平分BAC、ABCCE是ABC的外角ACD的平分线，交BI延长线于E，连接CI（1）ABC变化时，设BAC=2若用表示BIC和E；（2）若AB=1，且ABC与ICE相似，求相应AC长考点：相似三角形的性质。1082614专题：数形结合；分类讨论。分析：（1）根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解（2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求解解答：解：（1）BIC=90+，E=（2）解：CI是BCA的平分线，CE是ACB的外角平分线，ICE=ICA+ACD=ACB+ACD=90，分情况讨论：当ABCICE时，ABC=ICE=90，ACB=IEC=，所以=30，AC=2当ACBICE时，ACB=ICE=90，ABC=IEC=，所以=30，AC=当BACICE时，BAC=ICE=90，IEC=BAC=45，所以ABC=ACB=45，AC=AB=1点评：两三角形相似，注意根据对应边的不同，分情况讨论是解决本题的关键23已知：如图RtABCRtBDC，若AB=3，AC=4（1）求BD、CD的长；（2）过B作BEDC于E，求BE的长考点：相似三角形的性质；勾股定理。1082614分析：（1）由勾股定理可得BC的长，根据相似三角形的对应边成比例可求出BD、CD的长；（2）根据BCD面积的不同表示方法，即可求出BE的长解答：解：（1）RtABC中，根据勾股定理得：BC=5，RtABCRtBDC，=，=，BD=，CD=；（2）在RtBDC中，SBDC=BECD=BDBC，BE=3点评：本题主要考查的是直角三角形的性质及直角三角形面积的不同表示方法24如图，已知ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F求+的值考点：相似三角形的性质；平行线分线段成比例。1082614分析：先过E作EGBC，交AD于G，再作DHAB交CE于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可解答：解：作EGBC交AD于G，则有=，即=，得EG=BD=CD，=作DHAB交CE于H，则DH=BE=AE，=1，+=+1=点评：此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题时要注意比例式的变形25如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，ABC=60；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x（1）求AC的长；（2）如果ABP和BCE相似，请求出x的值；（3）当ABE是等腰三角形时，求x的值考点：相似三角形的性质；解二元一次方程；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质。1082614专题：综合题；分类讨论。分析：（1）过点A作AFBC于F，在直角ABF中运用三角函数即可求得AF的长，再在直角ACF中，根据勾股定理即可求解；（2）过点P作PGBC于G，在直角BPG中，根据勾股定理即可求得：BP根据相似三角形对应边的比相等即可求得x的值；（3）当ABE是等腰三角形时，应分为，AE=AB，BE=AB，AB=AE（根据BAE是直角，可得这种情况不可能）几种情况讨论解答：解：（1）过点A作AFBC于F（1分）在RtAFB中，AFB=90，ABF=60AF=ABsinABF=4sin60=4=，BF=ABcosABF=4cos60=4在RtAFC中，AFC=90（1分）（2）过点P作PGBC于G，在RtBPG中，PGB=90，（1分）如果ABP和BCE相似，APB=EBC又BAP=BCDECB（1分）ABP=ECB即解得（不合题意，舍去）x=8（1分）（3）当AE=AB=4时APBC，即，解得，当BE=AB=4时APBC，即，解得（不合题意，舍去）在RtAFC中，AFC=90，在线段FC上截取FH=AF，FAEFAH=45BAE45+3060=ABCABEAEBE综上所述，当ABE是等腰三角形时，或点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等腰三角形的性质、三角形相似、解直角三角形、方程等知识难度较大，有利于培养同学们钻研和探索的问题的精神26如图，在ABC中，AD平分BAC交BC于点D点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FGAB交线段AD于点G，连接BG、EF（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若ABGAGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长考点：相似三角形的性质；平行四边形的判定。1082614专题：综合题。分析：（1）根据FGAB，又AD平分BAC，可证得，AGF=GAF，从而得：AF=FG=BE，又因为FGAB，所以可知四边形BGFE是平行四边形；（2）根据ABGAGF，可得，求出AF的长，再由（1）的结论：AF=FG=BE，即可得BE的长解答：（1）证明：FGAB，BAD=AGFBAD=GAF，AGF=GAF，AF=GFBE=AF，FG=BE，又FGBE，四边形BGFE为平行四边形（4分）（2）解：ABGAGF，即，AF=3.6，BE=AF，BE=3.6 （8分）点评：解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质27在RtABC中，C=90，AC=20cm，BC=15cm现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒求：（1）用含t的代数式表示RtCPQ的面积S；（2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似？考点：相似三角形的性质；三角形的面积；勾股定理。1082614专题：动点型。分析：（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式SCPQ=CPCQ求解；（2）在RtCPQ中，由（1）可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；（3）应分两种情况，当RtCPQRtCAB时，根据=，可将时间t求出；当RtCPQRtCBA时，根据=，可求出时间t解答：解：（1）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=204t，因此RtCPQ的面积为S=cm2；（2）当t=3秒时，CP=204t=8cm，CQ=2t=6cm，由勾股定理得PQ=；（3）分两种情况：当RtCPQRtCAB时，即，解得t=3秒；当RtCPQRtCBA时，即，解得t=秒因此t=3秒或t=秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似点评：本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解28（2010安徽）如图，已知ABCA1B1C1，相似比为k（k1），且ABC的三边长分别为a、b、c（abc），A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对ABC和A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在ABC和A1B1C1使得k=2？请说明理由考点：相似三角形的性质；三角形三边关系。1082614专题：压轴题。分析：（1）已知了两个三角形的相似比为k，则对应边a=ka1，将所给的条件等量代换即可得到所求的结论；（2）此题是开放题，可先选取ABC的三边长，然后以c的长作为a1的值，再根据相似比得到A1B1C1的另外两边的长，只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可；（3）首先根据已知条件求出a、b与c的关系，然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立解答：（1）证明：ABCA1B1C1，且相似比为k（k1），=k，a=ka1；又c=a1，a=kc；（2）解：取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2；此时=2，ABCA1B1C1且c=a1；（3）解：不存在这样的ABC和A1B1C1，理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1；又b=a1，c=b1，a=2a1=2b=4b1=4c；b=2c；b+c=2c+c4c，4c=a，而b+ca；故不存在这样的ABC和A1B1C1，使得k=2点评：此题主要考查的是相似三角形的性质及三角形三边关系定理的应用29（2011徐州）如图，在ABC中，AB=AC，BC=acm，B=30动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线BAC运动到点C时停止运动设点P出发x s时，PBC的面积为y cm2已知y与x的函数图象如图所示请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断DOE的形状，并说明理由；（2）当a为何值时，DOE与ABC相似？考点：相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形。1082614分析：（1）首先作DFOE于F，由AB=AC，点PP以1cm/s的速度运动，可得点P在边AB和AC上的运动时间相同，即可得点F是OE的中点，即可证得DF是OE的垂直平分线，可得DOE是等腰三角形；（2）设D（a，a2），由DO=DE，AB=AC，可得当且仅当DOE=ABC时，DOEABC，然后由三角函数的性质，即可求得当a=时，DOEABC解答：解：（1）DOE是等腰三角形理由如下：过点A作AMBC于M，AB=AC，BC=acm，B=30，AM=a，AC=AB=a，SABC=BCAM=a2，P在边AB上时，y=SABC=ax，P在边AC上时，y=SABC=a2ax，作DFOE于F，AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，点P在边AB和AC上的运动时间相同，点F是OE的中点，DF是OE的垂直平分线，DO=DE，DOE是等腰三角形（2）由题意得：AB=AC，BC=acm，B=30，AM=a，AB=a，D（a，a2），DO=DE，AB=AC，当且仅当DOE=ABC时，DOEABC，在RtDOF中，tanDOF=a，由a=tan30=，得a=，当a=时，DOEABC点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用30在梯形ABCD中，ABCD，BCD=90，且AB=1，BC=2，tanADC=2对角线AC和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转（1）如图1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系是垂直，数量关系是相等；（2）继续旋转三角板，旋转角为请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，若，求PE的长考点：相似三角形的性质；全等三角形的判定；梯形；旋转的性质。1082614专题：探究型。分析：（1）作AMDC，垂足为点M，解直角ADM可求DM，从而可知CD长，CD=CB，CE=CF，可证CDEBCF，利用对应边相等，对应角相等，互余关系得出垂直、相等的关系；（2）画出图形，围绕证明CDEBCF，寻找条件，仿照（1）的方法进行证明；（3）用勾股定理求AC、BD，用相似求AO、OC、OB，已知，可求CF、CE，证明CPECOB，利用相似比求PE解答：解：（1）垂直，相等画图如右图（答案不唯一）（2）（1）中结论仍成立证明如下：过A作AMDC于M，则四边形ABCM为矩形AM=BC=2，MC=AB=1DC=2，DC=BCCEF是等腰直角三角形，ECF=90，CE=CFBCD=ECF=90，DCE=BCF，在DCE和BCF中，DCEBCF，DE=BF，1=2，又3=4，5=BCD=90，DEBF，线段DE和BF相等并且互相垂直（3）ABCD，AOBCOD，AB=1，CD=2，在RtABC中，同理可求得，BC=CD，BCD=90，OBC=45，由（2）知DCEBCF，1=2，又3=OBC=45CPECOB，点评：本题运用了旋转的观点解决相似三角形、全等三角形的问题，并运用勾股定理求线段的长36