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课时作业43空间点、直线、平面之间的位置关系1如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(D)解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面2(2019烟台质检)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(C)A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，bc，则ac解析：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确3若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是(A)若直线m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若直线m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知平面，互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m，则n；若直线m，n在平面内的射影互相垂直，则mn.A BC D解析：对于，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，错误；对于，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故正确；对于，还有可能n，n或n与相交，错误；对于，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面，则m与n在内的射影分别为AB与BC，且ABBC.而m与n所成的角为60，故错误4过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(D)A1条 B2条C3条 D4条解析：如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，BB1AA1，BCAD，体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条5如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是(D)A4 BC2 D.解析：连接DN，则MDN为直角三角形，在RtMDN中，MN2，P为MN的中点，连接DP，则DP1，所以点P在以D为球心，半径R1的球面上，又因为点P只能落在正方体上或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的，故所求面积S4R2.6在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是(D)A0 B0C0 D0解析：连接CD1，CA.A1BD1C，异面直线CP与A1B所成的角即为CP与D1C所成的角AD1C是正三角形，当P与A重合时，所成角最大，为.又P不能与D1重合(此时D1C与A1B平行，不是异面直线)，故选D.7如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(A)AA，M，O三点共线 BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为MA1C，所以M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，因为平面ACC1A1平面AB1D1AO，所以MAO，所以A，M，O三点共线8直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为(C)A. B.C. D.解析：解法一：取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BMQN，则ANQ或其补角的余弦值即为所求，设BCCACC12，则AQ，AN，QN，cosANQ.解法二：以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BCCACC12，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，(1,0，2)，(1，1，2)，cos，.故选C.9(2019西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是.解析：还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合如图所示易知GH与EF异面，BD与MN异面又GMH为等边三角形，GH与MN成60角，易证DEAF，MNAF，MNDE.因此正确的序号是.10如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为.解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，如图因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.11如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，D是PC的中点. 已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥P-ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解：(1)SABC222，三棱锥P-ABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.12如图，已知二面角-MN-的大小为60，菱形ABCD在平面内，A，B两点在棱MN上，BAD60，E是AB的中点，DO平面，垂足为O.(1)证明：AB平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值解：(1)证明，DO，AB，DOAB.连接BD，由题意知，ABD是正三角形又E是AB的中点，DEAB.而DODED，AB平面ODE.(2)BCAD，BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即ADO是异面直线BC与OD所成的角由(1)知，AB平面ODE，所以ABOE.又DEAB，DEO是二面角-MN-的平面角，即DEO60.不妨设AB2，则AD2，易知DE.在RtDOE中，DODEsin60.连接AO，在RtAOD中，cosADO.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.13正四棱锥P-ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD是正方形，E为PC的中点，若异面直线PA与BE所成的角为45，则该四棱锥的体积是(D)A4 B2C. D.解析：如图所示，连接AC，BD.设ACBDO，连接PO，OE，O，E分别是AC和PC的中点，OEPA，OEPA1，则BEO或其补角即为异面直线PA与BE所成的角底面ABCD是正方形，BOAC，又POOB，POACO，BO平面PAC，则BOOE，BOE是等腰直角三角形，OBOE1，PO，BC，则四棱锥P-ABCD的体积V()2，故选D.14如图是三棱锥D-ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(A)A. B.C. D.解析：由三视图及题意得如图所示的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且ABAC2，AD1，O是BC的中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE1，又可知AE1，由于OEAB，故DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角在直角三角形DAE中，DE，由于O是BC的中点，在直角三角形ABC中可以求得AO，在直角三角形DAO中可以求得DO.在三角形DOE中，由余弦定理得cosDOE，故所求异面直线DO与AB所成角的余弦值为，故选A.15如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是.(填序号)BM是定值；点M在某个球面上运动；存在某个位置，使DEA1C；存在某个位置，使MB平面A1DE.解析：取DC的中点F，连接MF，BF，则MFA1D且MFA1D，FBED且FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB是定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球面上，可得正确；由MFA1D与FBED可得平面MBF平面A1DE，可得正确；若存在某个位置，使DEA1C，则因为DE2CE2CD2，即CEDE，因为A1CCEC，则DE平面A1CE，所以DEA1E，与DA1A1E矛盾，故不正确16如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，ACBC,2AC2BCCC14，点N为CC1的中点，P为线段AC(包含端点)上一动点，给出以下四个结论：直线BP与直线B1A1为异面直线；P到平面A1B1N的距离是定值；A1P与B1N所成角最小为45；B1P与平面A1PN所成角余弦值的最小值为.其中正确结论的序号为.解析：若P点与A点重合，则BPB1A1，故错；记P到平面A1B1N的距离为h1，平面三角形A1PN的面积SA1PN在变化，点B1到平面A1PN1的距离h2为定值，又三角形A1B1N的面积SA1B1N为定值，所以VP-A1B1NVB1-A1PN，即SA1B1Nh1SA1PNh2，所以h1不是定值，错如图所示，建立空间直角坐标系，A1(0,0,0)，P(0，y0,4)，B1(2,2,0)，N(0,2,2)，(0，y0,4)，(2,0,2)，记A1P与B1N所成角为，则cos(0y02)，(cos)max，所以的最小值为45.连接PC1.B1C1平面AA1C1C，则B1PC1即为线面角，tanB1PC1，B1C1为定值，当tanB1PC1最大时，PC1最小，cosB1PC1最小，所以当P与C重合时，(cosB1PC1)min.
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