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专题二专题二分类讨论题分类讨论题命题预测方法指导因题目已知条件存在一些不确定因素,解答无法用统一的方法或者结论不能给以统一表述的数学问题,我们往往将问题划分为若干类,或若干个局部问题来解决.2017年安徽中考中,将近10年的结论判断正误题被分类讨论题所代替,这给我们传递了一个信号,安徽中考压轴填空题将改变题型.分类讨论题难度大,同学们容易漏掉解,出题角度多,可以很好地考查同学们思维的条理性、缜密性、科学性.2018年中考压轴填空题设置为分类讨论题可能性非常大.命题预测方法指导1.对问题进行分类讨论时,必须按同一标准分类,且做到不重不漏.解题中,分类讨论一般分为四步:第一,确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围;第二,正确选择分类标准,合理分类;第三,逐类、逐段分类讨论;第四,归纳并做出结论.2.引起分类讨论的七种基本形态.并非所有的数学问题都需要进行分类讨论,但若涉及以下七种情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化.(1)概念分段定义.像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论.(2)公式分段表达.在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分段表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论.命题预测方法指导(3)实施某些运算引起分类讨论.在解决数学问题时,不论是化简、求值还是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同结果时,会引起分类讨论.(4)图形位置不确定.如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意识,其次要全面考察,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解.(5)图形的形状不同.当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分析讨论.(6)字母系数参与引起分类讨论.字母系数的出现,常常会使问题出现多种不同的情况,从而影响问题结果,因此引起分类讨论.(7)条件不唯一引起分类讨论.由于条件不唯一,可能引起方程类型不确定,曲线种类不确定,位置关系不确定,形状不确定等出现,需要对不同情况合理分类,正确讨论.类型一类型二类型三类型一类型二类型三类型一图形形状不同引起的分类讨论例1(2017安徽,14)在三角形纸片ABC中,A=90,C=30,AC=30 cm,将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),减去CDE后得到双层BDE(如图2),再沿着过BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为 cm.类型一类型二类型三解析:A=90,C=30,AC=30 cm,AB=10 cm,ABC=60,ADB EDB,如图2,平行四边形的边是DE,EG,且DE=AG=10 cm,平行四边形的周长=40 cm,综上所述:类型一类型二类型三类型二图形不确定引起的分类讨论例2(2012安徽,10)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的边长是 ()A.10类型一类型二类型三答案:C 类型一类型二类型三类型三运算引起的分类讨论例3(2015安徽,14)已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论:若a=3,则b+c=9;若a-b=c,则abc=0;若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8.其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)类型一类型二类型三求得a=c且b=0,所以abc=0,正确;由a,b,c只有两个数相等,分三种情况:(1)a=bc,因为a+b=ab,得a=0或a=2,所以b=0或b=2,所以c=0或c=4,其中a=0,b=0,c=0舍去,所以a+b+c=8;(2)a=cb,由a+b=c,得b=0,所以c=ab=0,a=0,不合题意舍去;(3)b=ca,同(2)求得a=0,b=0,c=0舍去.综上所述,若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8.正确.答案:12345671.(2017山东潍坊)定义x表示不超过实数x的最大整数,如1.8=1,-1.4=-2,-3=-3.函数x的图象如图所示,则方程x= x2的解为(A)1234567解析: 由函数图象可知,当-2x-1时,y=-2,即有x=-2,此时方程无解;当-1x0时,y=-1,即有x=-1,此时方程无解;当0 x1时,y=0,12345672.(2017山东莱芜)对于实数a,b,定义符号mina,b,其意义为:当ab时,mina,b=b;当ab时,mina,b=a.例如min2,-1=-1.若关于x的函数y=min2x-1,-x+3,则该函数的最大值为(D)12345673.(2017黑龙江齐齐哈尔)如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10或 .1234567解析: AB=AC=10,BC=12,底边BC上的高是AD,ADB=ADC=90,用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况:(1)按照如图所示的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10.1234567(2)按照如图所示的方法拼成平行四边形, 1234567(3)按照如图所示的方法拼成平行四边形, 12345674.(2017青海西宁)若点A(m,n)在直线y=kx(k0)上,当-1m1时,-1n1,则这条直线的函数解析式为y=x或y=-x.解析: 分类讨论单调性,可知图形过点(-1,-1)和(1,1)或者图象过点(-1,1)和(1,-1),故得y=x或y=-x.12345675.(2017黑龙江绥化)在等腰ABC中,ADBC交直线BC于点D,若AD= BC,则ABC的顶角的度数为30或90或150.解析: 如图应分下列三种可能情况求顶角:(1)若A是顶点,如图1,AD= BC,则AD=BD,则底角为45,则顶角为90;(2)若A不是顶点,若三角形是锐角三角形,如图2,则在三角形ACD中,AD= AC,所以顶角为30;若三角形是钝角三角形,如图3,则ACD=30,所以顶角为150,故填30或90或150.12345676.(2017黑龙江牡丹江)菱形ABCD的周长为8,ABC+ADC=90,以AB为腰,在菱形外作底角是45的等腰ABE,连接AC,CE,请画出图形,并直接写出ACE的面积.解: 共有2种情况,如图所示: 如图1,过A作AMBC于M.四边形ABCD是菱形,且周长为8,ABC+ADC=90,AB=BC=2,ABC=ADC=45.123456712345677.(2017山东烟台)如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4.矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PHEO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值;(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.12345671234567解: (1)将x=0代入抛物线的解析式,得y=2.C(0,2).四边形OBDC为矩形,OB=CD=1.B(1,0).又AB=4,A(-3,0).设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1).1234567(2)点E在CD上,yE=2. E(-2,2).EC=OC=2.COE=45.PGy轴,PGH=COE=45.又PHOE,设OE的解析式为y=kx,将点E的坐标代入,得-2k=2,解得k=-1.直线OE的解析式为y=-x.123456712345671234567当AN为平行四边形的对角线时,
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