广东省佛山市重点高中2021-2022学年高三10月月考 数学试题（含答案）

2022届高三数学十月月考试卷时间：120分钟 满分150份一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合Ay|y2x，xR，By|yx2，xR，则（）AABBABCABDAB2已知纯虚数z满足（12i）z2+ai，其中i为虚数单位，则实数a等于（）A1B1C2D23五名同学国庆假期相约去珠海野狸岛日月贝采风观景，结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有（）A36种B48种C72种D120种4如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45和30，已知CD100米，点C位于BD上，则山高AB等于（） A100米B50米C50米D50（+1）米5已知两组数据x1，x2，xn与y1，y2，yn，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x13y1+1，2x23y2+1，2xn3yn+1的平均数是（）ABCD6衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：Vaekt已知新丸经过50天后，体积变为，若一个新丸体积变为，则需经过的天数为（）A125B100C75D1507在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2a2+bc，若sinBsinCsin2A，则ABC的形状是（）A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形8已知函数f（x）eax存在两个零点，则正数a的取值范围是（）A（0，）B（，+）C（0，）D（，+）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9珠海市第二中学校歌决赛中，评委给13个班级的评分（十分制）如图，下列说法正确的是（） A13个班级评分的极差为7 B13个班级中评分不低于7分的有6支C13个班级评分的平均数约为6.46 D. 第6个班级到第12个班级的评分逐渐降低10设O为坐标原点，F1，F2是双曲线1（a0，b0）的焦点若在双曲线上存在点P，满足F1PF260，|OP|a，则（）A双曲线的方程可以是 B双曲线的渐近线方程是C双曲线的离心率为 DPF1F2的面积为11等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则（）Aa50 Ban的前n项和中S5最小CnSn的最小值为49 D的最大值为012已知函数f（x）log2x，下列四个命题正确的是（）A函数f（|x|）为偶函数 B若f（a）|f（b）|，其中a0，b0，ab，则ab1C函数f（x2+2x）在（1，3）上为单调递增函数 D若0a1，则|f（1+a）|f（1a）|三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 已知，则 14 已知直线l（斜率大于0）的倾斜角的正弦值为，在x轴上的截距为2，直线l与抛物线C： x22py（p0）交于A，B两点若|AB|16，则p 15已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥PABC的内切球的体积为 16给出下列命题：已知服从正态分布N（0，2），且P（22）=0.4，则P（2）=0.3；f（x1）是偶函数，且在（0，+）上单调递增，则；已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是；已知a0，b0，函数y=2aex+b的图象过点（0，1），则的最小值是其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（acosB+bcosA）ac，且sin2AsinA（1）求A及a；（2）若bc2，求BC边上的高18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足an+12an+1，且a1+2a2a3（1）求数列an的通项公式； （2）求使得Sn121成立的n的最大值19（12分）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高下面给出了某林场在研究树高与胸径之间的关系时收集的某种树的数据编号123456胸径/cm18.120.122.224.426.028.3树高/cm18.819.221.021.022.122.1编号789101112胸径/cm29.632.433.735.738.340.2树高/cm22.422.623.024.323.924.7（1）根据表格绘制树高y与胸径x之间关系的散点图；（2）分析树高y与胸径x之间的相关关系，并求y关于x的线性回归方程；（3）预测当树的胸径为50.6cm时，树的高度约为多少（精确0.01）附：回归方程x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：，20 （12分）如图，在三棱柱中，平面，为的中点，交于 点， ，（1） 证明：平面； （2） （2）若，求二面角的余弦值 21 （12分）已知函数f （ x）=ln xax，x（0，e，其中e为自然对数的底数（1） 若x=1为 f （ x） 的极值点，求 f （ x） 的单调区间和最大值；（2）是否存在实数 a，使得 f （ x） 的最大值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。22（12分）已知椭圆C：的离心率为，点P在C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，试判断在椭圆C上是否存在三个不同点Q，M，N（其中M，N的纵坐标不相等），满足，且直线HM与直线HN倾斜角互补？若存在，求出直线MN的方程，若不存在，说明理由2022届高三数学十月月考参考答案与试题解析一、 单项选择题：1A 2B3C4D5解：由已知，（x1+x2+xn）n，（y1+y2+yn）n，新的一组数据2x13y1+1，2x23y2+1，2xn3yn+1的平均数为（2x13y1+1+2x23y2+1+2xn3yn+1）n2（x1+x2+xn）3（y1+y2+yn）+nn故选：B6解：由题意得Vae50ka， 可令t天后体积变为a，即有Vaekta，由可得e50k， 又得e（t50）k， 两边平方得e（2t100）k，与比较可得2t10050，解得t75，即经过75天后，体积变为a故选：C7解：在ABC中，b2+c2a2+bc，cosA，A（0，），sin Bsin Csin2A，bca2，代入b2+c2a2+bc，（bc）20，解得bcABC的形状是等边三角形故选：C8解：函数f（x）eax存在两个零点，eax0在（0，+）存在两个不同的解，axlnx在（0，+）存在两个不同的解，即a在（0，+）存在两个不同的解，令g（x），g（x），故x（0，e时，g（x）0，x（e，+）时，g（x）0，故g（x）在（0，e上单调递增，在（e，+）上单调递减，且x0时，g（x），g（e），x+时，g（x）0，故0a， 故选：C二、多项选择题：9解：对于A，13个班级评分的极差为1037，选项A正确；对于B，13个班级中评分不低于7分的有10、7、10、9、8、7共6支，选项B正确；对于C，计算13个班级评分的平均值为（10+6+7+5+3+10+9+4+8+6+5+4+7）6.46，选项C正确；对于D，从第6个班级到第12个班级的评分并不是逐渐降低的，其中第9个班级评分较高的，选项D错误 故选：ABC10解：如图，O为F1F2的中点，即又，又由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，即由得，在F1PF2中，由余弦定理得，8a220a24c2，即c23a2又c2a2+b2，b22a2，即双曲线的渐近线方程为双曲线的离心率为，双曲线的方程可以是，PF1F2的面积故BC正确11解：等差数列an的前n项和为Sn，S100，S1525，解得，an，a5，故A错误；（n5）2，故B正确；nSn，设函数f（x）（x0），则f（x），当x（0，）时，f（x）0，当x（，+）时，f（x）0，f（x）minf（），6，且f（6）48，f（7）49，nSn的最小值为49，故C正确；（n10），没有最大值，故D错误故选：BC12解：对于A：函数f（x）log2x，所以f（|x|）log2|x|，由于x（，0）（0，+），所以f（|x|）f（|x|）所以函数为偶函数，故选项A正确对于B：f（a）|f（b）|，所以f（a）|f（|b|）f（b），所以log2alog2b，整理得ab1，故选项B正确对于C：函数f（x2+2x），由于x2+2x0，所以0x2，所以函数在（1，3）上不具备单调性，故选项C错误对于D：由于0a1，所以1+a11a0，所以01a21，所以f（1+a）0f（1a），故|f（1+a）|f（1a）|log2（1+a）|log2（1a）|，故|f（1+a）|f（1a）|故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13答案为：2814解：由题意，直线l（斜率大于0）的倾斜角的正弦值为，则直线l的倾斜角为45，故直线的斜率为1，又直线l在x轴上的截距为2，则直线l的方程为yx+2，联立方程组，则x22px4p0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，所以，化简可得p2+4p320，因为p0，所以p4故答案为：415解：三棱锥PABC展开后为一等边三角形，设边长为a，则4，a6，三棱锥PABC棱长为3，三棱锥PABC的高为2，设内切球的半径为r，则4，r，三棱锥PABC的内切球的体积为 故答案为：16答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17解：（1），根据正弦定理得，又sinC0，sin2AsinA，2sinAcosAsinA， sinA0， A（0，），.5分（2） 由（1）知，由余弦定理得a2b2+c22bccosA，7b2+c2bc，7（bc）2+bc，bc2，74+bc，bc3设BC边上的高为h， .10分18解：（1）数列an的前n项和为Sn，满足an+12an+1，整理得：an+1+12（an+1），由a1+2a2a32a2+1，解得a11，故数列an+1是以a1+12为首项，2为公比的等比数列；所以.6分（2）由于，所以，由于Sn121，所以2n+12n121，即2n+1n123，解得1n6，故n的最大值为6.12分19解：（1）散点图如图， .2分（2）由散点图可以看出，当胸径x由小变大时，树高y也由小变大，而x与y之间是正相关关系，由表中数据可得，（18.1+20.1+22.2+24.4+26.0+28.3+29.6+32.4+33.7+35.7+38.3+40.2）29.08，（18.8+19.2+21.0+21.0+22.1+22.1+22.4+22.6+23.0+24.3+23.9+24.7）22.09从而14.82 y关于x的线性回归方程为；.10分（3）当x50.6时，即当树的胸径为50.6cm时，树的高度约为27.47cm .12分20（1）证明：因为为三棱柱，所以平面平面，因为平面，所以平面又因为平面，所以又因为，平面，所以平面由题知：四边形为矩形，又因交于点，所以为的中点，又因为为的中点，所以为的中位线，所以，所以平面 .5分（2）由（1）知：两两互相垂直，所以以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：设，则，所以，因为，所以，所以，解得，所以，所以，设平面的法向量为，则，所以，不妨令，则；设平面的法向量为，则，所以，不妨令，则，所以， 因为平面与平面所成的角为锐角， 所以二面角的余弦值为 .12分21.解：（1）f（x）=ln xax，x（0，e，f（x）=，由f（0）=0，得a=1x（0，1），f（x）0，x（1，+），f（x）0，f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，e）；f （ x） 的极大值为f（1）=1；也即f （ x） 的最大值为f（1）=1 .4分（2）解：f（x）=lnxax， f（x）=a=，当a0时，f（x）在（0，e单调递增，得 f （ x） 的最大值是f（3）=1ae=3，解得a=0，舍去；a0时，x（0，），f（x）0，x（，e），f（x）0，f（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，e），f（x）在（0，e上的最大值为3， f（x）max=g（）=1lna=3， a=e2综上：存在a符合题意，此时a=e2 .12分22解：（1）由题意知 可得，a2b2c2，+1， 解得a2，b1，则椭圆C的方程为：+y21； .3分（2）由题意，直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN方程为ykx+m，设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理可得（1+4k2）x2+8kmx+4m240，所以x1+x2，x1x2 y1+y2k（x1+x2）+2m .5分因为+， 所以Q（，），因为Q在椭圆上，所以+（）21，化简得16m21+4k2，满足0，.7分又因为直线HM与直线HN倾斜角互补，所以kHM+kHN0，所以+0，.8分所以+0，所以2kx1x2+（m+）（x1+x2）0， .10分所以0，因为k0，所以m2，代入16m21+4k2 得k，.11分所以存在满足条件的三个点，此时直线MN 的方程为yx2 或yx2.12分