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抛物线基础知识y22 px( p0)y22 px ( p0)x22 py( p0)x 22 py( p 0)yylyyl图象FOxlO FxFOxxOFl平面内与 一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线， 点 F 叫做抛物线的 焦点，直线l 叫做抛物线的 准线 。 M MF =点 M到直线 l 的距离 （一动三定）（注：定点 F 不在定直线上，否定义F 垂直于直线 l 的一条直线）（一焦一顶一轴一准无心， 也叫无心圆锥曲线） ； p则动点的轨迹是过定点是焦点 F 到 l 的距离，p 越大开口越大，反之越小。范围对称性焦点（焦点在对称轴上）顶点准线方程顶点到准线的距离焦半径 A( x1 , y1)焦点弦长ABx 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0关于 x 轴对称关于 y 轴对称(p ,0)(p ,0)(0,p )(0,p )2222O(0,0)通径2p离心率e =1ppypypxx2222准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。p焦点到准线的距离p2AFpAFpAFpAFpx1x1y1y12222(x1x2 ) p(x1x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 ) pyAx1 , y1以 AB 为直径的圆必与准线l 相切x1x2p2y1 y2p2oF4x焦点弦 AB 的几条若 AB 的倾斜角为若 AB 的倾斜角为性质B x2 , y2，则，则AB2 pAB2 pA(x1, y1 ) B( x2 , y2 )sin2cos2x2pt211AFBFAB2参数方程y2pt( t 为参数)AFBFAF ?BFAF ?BFp切线方程y0 yp(xx0 )y0 yp(xx0 )x0 xp( yy0 )x0 xp( yy0 )标准方程的求法：若已知对称轴在坐标轴上而不知开口方向，可简单设为xay 2 , y ax2 ，避免讨论。1. 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消 y 得：（ 1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（ 2）当 k 0 时， 0，直线 0，直线ll与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点；与抛物线相离，无公共点。（ 3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 l ： ykxb抛物线， ( p0) 联立方程法：ykxbk2 x22(kbp)xb20y22 px设 交 点 坐 标 为 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ， 则 有0, 以 及 x1x2 , x1 x2 ， 还 可 进 一 步 求 出y1y2kx1bkx2b k (x1x2 )2b ， y1 y2(kx1b)( kx2b)k 2 x1 x2 kb( x1 x2 ) b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如（ 1）相交弦 AB 的弦长AB1 k2 x1x21 k2( x1x2 )24x1 x21 k2aAB11y211( y1y2 )24y1 y21 k2或k2 y1k2a（ 2）中点 M ( x0 , y0 ) ,x0x1x2 ， y0y1y222A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，代入抛物线方程，得22px12（ 3）点差法： 设交点坐标为y1y2 2px2将两式相减，可得 ( y1y2 )( y1y2 )2 p(x1x2 )，y1y22 px1x2y1y2a.在涉及斜率问题时，k AB2 py1y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ， y1y22 p2 pp ，x1x2y1y22 y0y0即 kAB p ， y0同理，对于抛物线x22py ( p0) ，若直线 l 与抛物线相交于A、B 两点，点 M ( x0 , y0 ) 是弦 AB 的中点，则有x1 x22 x0x0kAB2 pp2p（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）
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