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命题与证明 1.1.一般的一般的, ,判断判断一件事情的句子叫做一件事情的句子叫做命题命题, , 命题分为命题分为真命题与假命题真命题与假命题。2.2.说明一个命题是说明一个命题是假命题假命题, ,通常只用通常只用找出一个找出一个反例反例, ,但要说明一个命题是但要说明一个命题是真命题真命题, ,就必须用就必须用推理推理的方法的方法, ,而不能而不能光凭一个例子。光凭一个例子。一、判断下列命题的真假.1. 有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形.2. 素数不可能是偶数.3. 黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.4. 有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.5. 若y(1-y)=0，则y=0. 真命题真命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题 平行线的平行线的性质性质：公理：公理：两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等定理定理：两直结平行，内错角相等：两直结平行，内错角相等定理定理：两直线平行，同旁内角互：两直线平行，同旁内角互补补平行线的平行线的判定判定：公理公理：同位角相等，两直线平行：同位角相等，两直线平行定理定理：同旁内角互补，两直结平行：同旁内角互补，两直结平行定理定理：内错角相等，两直线平行：内错角相等，两直线平行 w证明命题的一般步骤:w(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求证求证);w(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;w(3)结合图形结合图形,用用符号语言符号语言写出写出“已知已知”和和“求求证证”;w(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路;w(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言条理清运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程晰地写出证明过程; 例1、证明：等腰三角形两底角的平分线相等。 已知：如图，在ABC中，AB=AC，BD，CE是ABC的角平分线。 求证：BD=CE. 21 证明：证明：AB=AC， ABC= ACB(等边对等角等边对等角). 1= ABC，2= ACB，1=2.在在BDC和和CEB中，中，ACB=ABC，BC=CB，1=2，BDC CEB（ASA）.BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等).211、（1）如图(甲)，在五角星图形中，求 A+ B+ C+ D+ E的度数。 （2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？ AEABCDAE(甲甲)EBCDDCB(乙乙)(丙丙) 2、如图，O是ABC的ABC与ACB的平分线的交点，DEBC交AB于点D，交AC于点E.若AB=10cm，AC=8cm，则ADE的周长是_cm. AECBDO 例2 等腰三角形的底角为15,腰长为2a，求腰上的高。 如图，在ABC中，已知AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高，求CD的长. 解： ABC=ACB=15， DAC= ABC +ACB=15+15=30. CD= AC= 2a=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么他所对的直角边等与斜边的一半). 2121例例3、 如图，已知如图，已知AD是是ABD 和和ACD的公共边的公共边.求证：求证： BDC=BAC+B+CABCD1234证法一：证法一：在在ABD中中, 1180B3 （三角形内角和定理）（三角形内角和定理） 在在ADC中中, 2180C4 （三角形内角和定理）（三角形内角和定理） 又又BDC36012（周角定义）（周角定义） BDC 360（ 180B3 ）（ 180C4 ） （等量代换）（等量代换） B+C+3+4. 又又 BAC 3+4, BDC B+C+ BAC （等量代换）（等量代换）.).(18021),(18021).(18021,18021.0000CBBACBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACABCBC即（等量代换）等式性质三角形内角和定理中，在中，在连接 例例. 如图，已知如图，已知AD是是ABD 和和ACD的公共边的公共边.求证：求证： BDC=BAC+B+C证法二：证法二：ABCD121. 用反例证明下列命题是假命题：用反例证明下列命题是假命题：(1) 若若x(1-x)=0，则，则x=0；(2) 三角形一边上的中线等于这条边的一半；三角形一边上的中线等于这条边的一半；(3) 相等的角是对顶角；相等的角是对顶角；（4）若）若x3,则分式则分式 有意义有意义.92xx请用反例证明命题“相等的角是对顶角” 是假命题.小结：小结：假命题的证明是利用反例来说明假命题的证明是利用反例来说明.反反例必须是具备命题的条件例必须是具备命题的条件,却不具备却不具备命题的结论命题的结论,从而说明命题错误从而说明命题错误.说明一个命题是真命题说明一个命题是真命题,就必须用推就必须用推理的方法理的方法,而不能光凭一个例子而不能光凭一个例子. 在证明一个命题时在证明一个命题时,人们有时人们有时先假设命题先假设命题不成立不成立,从这样的假设出发从这样的假设出发,经过推理得出经过推理得出和已知条件矛盾和已知条件矛盾,或者与定义或者与定义,公理公理,定理等定理等矛盾矛盾,从而得出从而得出假设命题不成立是错误的假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确即所求证的命题正确.这种证明方法叫做这种证明方法叫做反证法反证法. 证明：在三角形中至少有一个角大于或等于60. 已知：ABC 求证：ABC中至少有一个角大于或等于60 证明：假设ABC的三个角都小于60，那么三角之和必小于180，这与“三角形三个内角和等于180” 相矛盾。因此，ABC中至少有一个角大于或等于60. ACB 证明：假设ABCD,那么AB与CD一定相交于一点PAB EF，CD EF（已知）过点P有两条直线AB， CD都与直线EF平行。这与“经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行”矛盾。AB CD不能成立。AB CDABECDFp反证法证题的一般步骤：1.反设（否定结论）；2.归谬（利用已知条件和反设，已学过的公理、定理、定义、法则，进行推理，得出与已学过的公理、定理、或与已知条件，或与假设矛盾）；3.写出结论（肯定原命题成立）。这节课你有何收获，这节课你有何收获，能与大家分享、交流你的感受吗？能与大家分享、交流你的感受吗？
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