离散型随机变量的方差一

尚2.3.2离散型随机变离散型随机变量的方差（一）量的方差（一）高二数学高二数学 选修选修2-3尚1、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望nniipxpxpxpxEX 22112、数学期望的性质、数学期望的性质baEXbaXE )(P1xix2x1p2pipnxnpX数学期望是反映离散型随机变量的平均水平数学期望是反映离散型随机变量的平均水平尚3 3、如果随机变量、如果随机变量X X服从两点分布为服从两点分布为X10Pp1p则则pEX 4、如果随机变量、如果随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即X B（n,p），则），则npEX 5、如果随机变量如果随机变量X服从超几何分布，服从超几何分布，即即X H（n,M,N）则）则NnMEX 尚二、探究引入二、探究引入要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 的分布列为的分布列为1X1XP56789100.030.090.200.310.270.10第二名同学击中目标靶的环数第二名同学击中目标靶的环数 的分布列为的分布列为2X2XP567890.010.050.200.410.33请问应该派哪名同学参赛？请问应该派哪名同学参赛？1,EX 2EX 88发现两个均值相等发现两个均值相等因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.尚三、新课分析三、新课分析（一）、随机变量的方差（一）、随机变量的方差（1）分别画出分别画出 的分布列图的分布列图.12,XXO5 6 71098P1X0.10.20.30.40.5O5 6 798P2X0.10.20.30.40.5（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？射击特点的指标吗？第二名同学的成绩更稳定第二名同学的成绩更稳定. .1、定性分析、定性分析尚2、定量分析、定量分析怎样定量刻画随机变量的稳定性？怎样定量刻画随机变量的稳定性？（1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？样本的稳定性是用哪个量刻画的？方差方差（2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢？的稳定性呢？（3）随机变量随机变量 X 的方差的方差尚某人射击某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的；则所得的平均环数平均环数是多少？是多少？104332221111 X21014102310321041 X1234P104103102101尚某人射击某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的；则这组数据的方差方差是多少？是多少？1)24()23()23()22()22()22()21()21()21()21(10122222222222 s)()()(122212xxxxxxnsni 22222)24(101)23(102)22(103)21(104 s加权平均加权平均反映这组数据相对于平均值的集中程度的量反映这组数据相对于平均值的集中程度的量尚离散型随机变量取值的方差离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：nniipEXxpEXxpEXxDX22121)()()( 则称则称为随机变量为随机变量X的的方差方差。 niiipEXx12)(P1xix2x1p2pipnxnpX称称DXX 为随机变量为随机变量X的的标准差标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。于均值的平均程度越小，即越集中于均值。尚3、对方差的几点说明、对方差的几点说明（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小机变量偏离于均值的平均程度越小.说明：随机变量说明：随机变量集中的位置集中的位置是随机变量的是随机变量的均值均值；方差或标；方差或标 准差这种度量指标是一种准差这种度量指标是一种加权平均加权平均的度量指标的度量指标.（2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？随机变量的方差是常数随机变量的方差是常数，而，而样本的方差样本的方差是随着样本的不同是随着样本的不同而而变化变化的，因此样本的方差是随机变量的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.尚4 4、若随机变量、若随机变量X X服从两点分布服从两点分布 B(1B(1，p p) )，则，则DXDX等于什么？等于什么？ DX DXp p(1(1p p) ) 若随机变量若随机变量X X服从二项分布服从二项分布 B(2B(2，p p) )，则则DXDX等于什么？等于什么？ DX DX2 2p p(1(1p p) ) 尚据归纳推理，若随机变量据归纳推理，若随机变量X X服从二服从二项分布项分布B(B(n，p p) )，则，则DXDX等于什么？等于什么？DXDXnp p(1(1p p) )(1(1p p)EX)EX尚5 5、若、若Y YaX Xb b，其中，其中a，b b为常数，则为常数，则DYDY与与DXDX有什么关系？由此可得什么结有什么关系？由此可得什么结论？论？D(D(aX Xb b) )a2 2DXDXDYDYa2 2DXDX尚1、已知随机变量、已知随机变量X的分布列的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求求DX和和X。 21 . 042 . 034 . 022 . 011 . 00 EX解：解：2 . 11 . 0)24(2 . 0)23(4 . 0)22(2 . 0)21 (1 . 0)20(22222 DX095. 12 . 1 DXX 尚2、若随机变量、若随机变量X满足满足P（Xc）1，其中，其中c为为常数，求常数，求EX和和DX。解：解：XcP1离散型随机变量离散型随机变量X X的分布列为：的分布列为：EXc1cDX（cc）210尚3 3 已知随机变量已知随机变量X X的分布列为：的分布列为：若若Y Y2X2X3 3，求，求DY.DY.0.10.10.20.20.40.40.20.20.10.1P P5 54 43 32 21 1X XEXEX3 3，DXDX1.21.2， DYDY4DX4DX4.8.4.8.尚4 4 某射手每次射击命中目标的概率都是某射手每次射击命中目标的概率都是0.60.6，设连续射击，设连续射击1010次命中目标的次数次命中目标的次数为为X X，求随机变量，求随机变量X X的方差的方差. .X XB(10B(10，0.6)0.6)， DXDX10100.60.60.40.42.4.2.4.尚5 5 袋中有袋中有6 6个红球和个红球和4 4个白球，从中个白球，从中任取一个球，记住颜色后再放回，连任取一个球，记住颜色后再放回，连续抽取续抽取4 4次，设取得白球的次数为次，设取得白球的次数为X X，求随机变量求随机变量X X的期望和方差的期望和方差. .X XB(4B(4，0.4)0.4)，EXEX4 40.40.41.61.6， DXDX0.60.6EXEX0.96.0.96. 尚例例1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解：解：9, 921 EXEX8 . 0, 4 . 021 DXDX表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在环，而乙得分比较分散，近似平均分布在810环。环。尚问题问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题问题2：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，环左右，应派哪一名选手参赛？应派哪一名选手参赛？问题问题3：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，环左右，应派哪一名选手参赛？应派哪一名选手参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.49, 921 EXEX8 . 0, 4 . 021 DXDX尚例例2：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：获得如下信息：甲单位不同职位月工甲单位不同职位月工资资X1/元元1200140016001800获得相应职位的概获得相应职位的概率率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工乙单位不同职位月工资资X2/元元1000140018002200获得相应职位的概获得相应职位的概率率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？尚解：解：1400,140021 EXEX1240000,160000DXDX在两个单位工资的数学期望相等的情况下，在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。就应选择工资方差小的单位，即甲单位。尚相关练习：相关练习： DD则则，且且、已已知知,138131 ppnBX,n1.6,DX8,EX),(2则则，、已已知知3、有一批数量很大的商品，其中次品、有一批数量很大的商品，其中次品占占1，现从中任意地连续取出，现从中任意地连续取出200件商件商品，设其次品数为品，设其次品数为X，求，求EX和和DX。117100.82，1.98尚4.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统全国）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为：的分布列为： 12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为期付款，其利润为200元，分元，分2期或期或3期付款，其利润为期付款，其利润为250元，分元，分4期或期或5期付款，其利润为期付款，其利润为300元，元， 表示经销一件该商品的表示经销一件该商品的利润。利润。（1）求事件）求事件A：”购买该商品的购买该商品的3位顾客中，至少有位顾客中，至少有一位采用一位采用1期付款期付款” 的概率的概率P(A)；（2）求）求 的分布列及期望的分布列及期望E 。尚5.根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元（元（a100），），问问a如何确定，可使保险公司期望获利？如何确定，可使保险公司期望获利？尚六、课堂小结六、课堂小结1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义2、记住几个常见公式、记住几个常见公式DXabaXD2)( )1(ppDXX 服服从从两两点点分分布布，则则若若)1(),(pnpDXpnBX ，则则若若若若XH(n,M,N)则则D(XD(X) ) 1()(2NNnNMNnM尚0.030.97P1000a1000E = 10000.03a0.07a得得a10000故最大定为故最大定为10000元。元。课后练习：课后练习：1、若保险公司的赔偿金为、若保险公司的赔偿金为a（a1000）元，为使保险）元，为使保险公司收益的期望值不低于公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？将最大赔偿金定为多少元？尚2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有若枪内只有5颗子弹颗子弹,求射击求射击次数的期望。次数的期望。(保留三个有效数字保留三个有效数字)0.340.330.70.320.70.30.70.7p54321E =1.43尚3计算计算随机抛掷一枚质地均匀的骰子随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数解：抛掷散子所得点数X 的分布列为的分布列为161616161616P6 65 54 43 32 21 1X1111111234563.5666666EX 2222221111(1 3.5)(23.5)(33.5)(43.5)666611(53.5)(63.5)2.9266DX 从而从而;1.71XDX.