建坐标系解立体几何(含解析)

立体几何建坐标系1. 如图 , 四棱锥 S-ABCD 中,AB CD,BC CD, 侧面 SAB 为等边三角形 . AB=BC=2, CD=SD=1.( ) 证明 :SD平面 SAB;( ) 求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小 .2. 如图 , 在四面体 ABOC 中, OC OA, OC OB, AOB=120 , 且 OA=OB=OC=1. ( ) 设 P 为 AC 的中点 , Q 在 AB 上且 AB=3AQ. 证明 :PQ OA; ( ) 求二面角 O-AC-B 的平面角的余弦值 .3. 如图 , 在正三棱柱 ABC-A 1B1C1 中 , AB=4,AA 1= 7 , 点 D 是 BC 的中点 , 点 E 在 AC 上 ,且 DEA1E.( ) 证明 : 平面 A1DE平面 ACC 1A1;( ) 求直线 AD 和平面 A1 DE 所成角的正弦值.第1页共1页4. 如图 , 在直三棱柱ABC-A 1B1C1 中 , AB=1, AC=AA 1 =3, ABC=60 .( ) 证明 :ABA1C;( ) 求二面角 A-A1 C-B 的大小 .5. 四棱锥 A-BCDE 中 , 底面 BCDE 为矩形 , 侧面 ABC 底面 BCDE, BC=2, CD= 2 , AB=AC.( ) 证明 :ADCE;( ) 设侧面 ABC 为等边三角形 , 求二面角C-AD-E 的大小.6. 如图 , 正三棱柱ABC-A 1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC 1 中点 .( ) 求证 :AB1平面 A1BD;( ) 求二面角 A-A1 D-B 的大小 .7. 如图 , 在三棱锥V-ABC 中, VC 底面 ABC, AC BC, D 是 AB 的中点, 且 AC=BC= a ,第2页共2页VDC= （0） .2( ) 求证 : 平面 VAB 平面 VCD;( ) 试确定 的值 ,使得直线BC 与平面VAB 所成的角为.68. 如图 , BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形 , 平面 MCD 平面 BCD,AB 平面BCD, AB=2 .( ) 求直线 AM 与平面 BCD 所成角的大小 ;( ) 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值.9. 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中, PD 平面 ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, ABDC, BCD=90 .( ) 求证 :PCBC;()求点A到平面 PBC的距离 .第3页共3页10. 如图 , 直三棱柱 ABC-A 1B1 C1 中, AC=BC, AA 1=AB, D 为 BB1 的中点 , E 为 AB1 上的一点 , AE=3EB 1.( ) 证明 :DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线 ;( ) 设异面直线AB1 与 CD 的夹角为 45 ,求二面角A1-AC 1-B1 的大小.11. 如图 , 四棱锥 S-ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形 , SD 底面 ABCD,AD= 2 , DC=SD=2.点 M 在侧棱 SC 上, ABM=60 .()证明:M是侧棱 SC的中点;( ) 求二面角 S-AM-B 的大小 .12. 如图 , 直三棱柱 ABC-A 1B1 C1 中, AB AC, D 、 E 分别为 AA1 、B1C 的中点 , DE 平面 BCC 1.( ) 证明 :AB=AC;( ) 设二面角 A-BD-C 为 60 , 求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小.第4页共4页13. 如图 , 四棱锥P-ABCD 的底面是正方形, PD 底面ABCD, 点 E 在棱 PB 上.( ) 求证 : 平面 AEC 平面 PDB;()当PD= 2AB且E为PB的中点时 ,求AE与平面 PDB所成的角的大小.14.如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形 , PA 平面 ABCD,PA=AD=4,AB=2.以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交PD 于点 M.( ) 求证 : 平面 ABM 平面 PCD;( ) 求直线 PC 与平面 ABM 所成的角 ;()求点 O到平面 ABM 的距离 .第5页共5页15. 如图 , 四棱锥S-ABCD 的底面是正方形, SD 平面ABCD, SD=2a, AD=2a ,点E 是 SD 上的点 , 且 DE= a (00, y0, z0.( )=(x-2, y-2, z),=(x, y-2, z),=(x-1, y, z),由|=|得=,故 x=1.由 |=1 得 y 2 +z2=1,又由 |=2得 x2 +(y-2)2+z 2=4,即 y2+z 2-4y+1=0,故 y= , z=. (3分 ) 于是 S,=,=0,=0.故 DS AS, DS BS, 又 AS BS=S,所以 SD 平面SAB. (6分 )( ) 设平面SBC 的法向量 a=(m, n, p),第8页共8页则 a, a , a =0, a =0.又=(0, 2, 0),故(9 分 )取 p=2 得 a=(-, 0, 2).又=(-2, 0, 0), cos=.故 AB 与平面SBC 所成的角为 arcsin.(12 分 )2. 解法一 :( ) 在平面OAB 内作 ON OA 交 AB 于 N, 连结 CN.在AOB 中 ,AOB=120 且 OA=OB, OAB= OBA=30 .在 Rt AON 中 , OAN=30 ,ON=AN. 在ONB 中, NOB=120 -90 =30 = OBN, NB=ON=AN. 又 AB=3AQ, Q 为 AN 的中点 . 在 CAN 中 , P, Q 分别为 AC, AN 的中点 , PQ CN. 由 OA OC, OA ON 知 :OA 平面 CON. 又 NC? 平面 CON, OA CN. 由 PQ CN, 知 OA PQ. ( ) 连结 PN, PO.由 OC OA, OC OB 知 :OC 平面OAB. 又 ON? 平面 OAB, OC ON. 又由 ON OA 知 :ON 平面AOC. OP 是 NP 在平面AOC 内的射影 . 在等腰Rt COA 中 , P 为 AC 的中点,AC OP. 根据三垂线定理,知 :AC NP. OPN 为二面角 O-AC-B 的平面角 . 在等腰 Rt COA 中 , OC=OA=1, OP= . 在 Rt AON 中 , ON=OAtan 30 =,在 Rt PON 中 , PN=, cos OPN=.解法二 :( ) 取 O 为坐标原点, 以 OA, OC 所在的直线为x 轴 , z 轴 , 建立空间直角坐标系O-xyz( 如图所示 ).第9页共9页则 A(1, 0, 0), C(0, 0, 1), B.P 为 AC 的中点,P.=,又由已知,可得=.又=+=.=-=,= (1, 0, 0)=0.故.( ) 记平面ABC 的法向量 n=(n 1, n 2, n 3 ),则由 n, n ,且=(1, 0, -1),得故可取n=(1, 1).又平面OAC 的法向量为e=(0, 1, 0). cos=.二面角O-AC-B的平面角是锐角,记为 , 则 cos =.3.(又 )DE?如图所示 ,平面 ABC,由正三棱柱ABC-A所以 DE AA1.而1B1C1 DE 的性质知 A 1E, AAAA 1 平面ABC.1A1E=A 1,所以DE 平面ACC 1A1.又 DE? 平面 A 1DE, 故平面A1DE平面ACC 1A1.( ) 解法一 : 过点 A 作 AF 垂直 A1E于点F,连结DF.由()知,平面A1DE平面ACC 1A1,所以AF 平面A1DE.故ADF是直线AD和平面A1DE所成的角.因为 DE 平面ACC 1A1 , 所以 DE AC.而ABC 是边长为4 的正三角形,于是 AD=2,AE=4-CE=4-CD=3. 又因为AA 1=,所以 A1E=4, AF=,sin ADF=.即直线AD 和平面A1DE 所成角的正弦值为.解法二: 如图所示,设 O 是AC的中点, 以O 为原点建立空间直角坐标系,则相关各点的坐标分别是A(2, 0, 0), A1 (2, 0,第10页共10页D(-1, 0), E(-1, 0, 0).易知=(-3, -),=(0, -, 0),=(-3, 0).设 n=(x, y, z)是平面A1DE 的一个法向量 ,则解得 x=-z, y=0.故可取n=(, 0, -3).于是 cos=-.由此即知 ,直线 AD 和平面A1DE 所成角的正弦值为.4. 解法一 :( ) 证明 : 三棱柱 ABC-A 1B1C1 为直三棱柱 , AB AA 1. 在 ABC 中, AB=1, AC= , ABC=60 , 由正弦定理得 ACB=30 , BAC=90 , 即 AB AC. AB 平面ACC 1A1,又 A1C? 平面 ACC 1A1, AB A1C.( ) 如图 ,作ADA1C 交 A1 C于 D 点,连结 BD, 由三垂线定理知BD A1 C, ADB 为二面角 A-A1 C-B 的平面角 .在 Rt AA 1C 中 ,AD=,在 Rt BAD 中 , tan ADB=, ADB=arctan,即二面角A-A 1 C-B 的大小为arctan.解法二 :( ) 证明 : 三棱柱ABC-A 1B1C1 为直三棱柱, AA1AB, AA1 AC.在ABC中, AB=1, AC=,ABC=60.由正弦定理得ACB=30,BAC=90 , 即 AB AC. 如图 ,建立空间直角坐标系,则 A(0, 0, 0),B(1, 0, 0),C(0, 0), A 1(0, 0,), =(1, 0, 0),=(0,-). =10+0 +0 (-)=0, AB A1C.第11页共11页( ) 如图 , 可取 m=(1, 0, 0)为平面AA1C 的法向量,设平面A 1BC 的法向量为n=(l,m, n),则n=0,n=0,又=(-1, 0), l=m, n=m.不妨取m=1,则 n=(, 1, 1).cos=,二面角A-A 1C-B 的大小为arccos.5. 解法一 :( ) 作 AO BC, 垂足为O, 连结 OD, 由题设知, AO 底面BCDE, 且 O 为 BC 中点 .由=知 , Rt OCD Rt CDE, 从而 ODC= CED, 于是CE OD. 由三垂线定理知, AD CE.( ) 作 CG AD, 垂足为G, 连结 GE. 由 ( ) 知 , CE AD. 又 CE CG=C, 故 AD平面 CGE, AD GE,所以 CGE 是二面角C-AD-E 的平面角 . GE=, CE=,cos CGE=-.所以二面角C-AD-E 为 arccos.解法二 :( ) 作 AO BC, 垂足为O. 由题设知AO 底面BCDE, 且 O 为 BC 的中点 .以 O 为坐标原点,射线 OC 为 x 轴正向 ,建立如图所示的直角坐标系O-xyz.设 A(0, 0, t).由已知条件有C(1, 0, 0),D(1, 0), E(-1, 0),=(-2, 0),=(1, -t).所以=0,知 AD CE.( ) ABC 为等边三角形, 因此 A(0, 0,).作 CG AD, 垂足为G,连结 CE. 在 Rt ACD 中 ,第12页共12页求得 |AG|=|AD|.故 G,=,又=(1,-),=0,=0.所以与的夹角等于二面角C-AD-E 的平面角 .由 cos=-知二面角C-AD-E 为 arccos.6. 解法一 :( ) 取 BC 中点 O, 连结 AO. ABC 为正三角形 , AO BC. 正三棱柱 ABC-A 1 B1 C1 中 , 平面 ABC 平面 BCC 1B1, AO 平面 BCC 1B1.连结 B1O, 在正方形 BB1C1C 中 , O 、D 分别为 BC 、 CC1 的中点 , B1O BD, AB1 BD. 在正方形 ABB 1A1 中 , AB 1 A1B, AB 1平面 A1BD.( ) 设 AB1 与 A1B 交于点G, 在平面 A1BD 中 , 作 GF A1D 于 F,连结 AF,由 ( ) 得 AB1平面A1BD, AF A1D. AFG 为二面角 A-A 1D-B 的平面角 .在 AA 1D 中 ,由等面积法可求得AF=,又 AG=AB1=,sin AFG=,所以二面角A-A 1 D-B 的大小为arcsin.解法二 :( ) 取 BC 中点 O, 连结 AO. ABC 为正三角形 ,AO BC. 在正三棱柱 ABC-A B C中 ,111平面 ABC 平面 BCCB , AO平面 BCCB .取BC中点O,以O为原点 ,的方向为 x、y、1111111z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 B(1,0, 0),D(-1,1, 0),A (0,2,), A(0,0,),B (1,112, 0), =(1,2,-),=(-2, 1,0),=(-1,2,).=-2+2+0=0,=-1+4-3=0, AB 1平面 A1BD.( ) 设平面A 1AD 的法向量为n=(x, y, z).=(-1, 1, -),=(0, 2, 0). n, n , 令 z=1 得 n=(-,0,1)为平面 A 1AD 的第13页共13页一个法向量.由( ) 知 AB 1平面A1 BD, 为平面A1 BD 的法向量. cos=-.二面角A-A 1D-B 的大小为arccos.7.解法一 :( ) AC=BC=a, ACB 是等腰三角形, 又 D 是 AB 的中点 , CD AB, 又 VC 底面ABC, VC AB,于是 AB 平面VCD, 又 AB? 平面 VAB, 平面VAB 平面VCD.( ) 过点 C 在平面 VCD 内作 CH VD 于 H, 则由 ( ) 知 CH 平面VAB. 连结 BH, 于是 CBH 就是直线BC 与平面VAB 所成的角 . 依题意 CBH= ,所以在 Rt CHD 中 , CH=asin ; 在 Rt BHC 中,CH=asin= , sin =, 0 , = .故当 = 时, 直线 BC 与平面VAB 所成的角为.解法二 :( ) 以 CA、CB、CV 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴 , 建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, a, 0), D, V. 于是 ,=(-a, a, 0).从而=(-a,a, 0) =- a2+ a 2+0=0,即 AB CD. 同理=(-a, a, 0)=- a2+ a 2+0=0,即 AB VD.又 CD VD=D, AB 平面VCD, 又 AB? 平面 VAB, 平面 VAB 平面VCD.( ) 设平面VAB 的一个法向量为n=(x, y, z),则由得可取 n=(1,1,cot ),又=(0,-a,0),于是 sin=sin , 即 sin =, 0 , = . 故当 = 时 , 直线 BC 与平面VAB 所成的角为.第14页共14页解法三 :( ) 以点 D 为原点 , 以 DC 、 DB 所在的直线分别为x 轴、 y 轴 , 建立如图所示的空间直角坐标系 , 则 D(0, 0, 0),A,B,C,V,于是=(0,a,0),从而=(0a,0) =0,即 AB DC. 同理=(0,a, 0)=0,即 AB DV. 又 DC DV=D, AB 平面VCD.又 AB? 平面 VAB, 平面 VAB 平面VCD.( ) 设平面VAB 的一个法向量为n=(x, y, z),则由得取 n=(tan , 0, 1),又=,于是 sin=sin,即 sin =. 0 , = .故当 = 时 , 直线 BC 与平面VAB 所成的角为.8.解法一:( ) 取 CD 中点 O,连 OB, OM,则 OB CD, OM CD.又平面MCD 平面BCD, 则 MO 平面 BCD, 所以 MO AB, A 、 B、 O、 M 共面 .延长 AM 、 BO 相交于E,则 AEB 就是 AM 与平面BCD 所成的角 .OB=MO= , MO AB,第15页共15页则= , EO=OB=,所以 EB=2=AB, 故 AEB=45 .直线AM与平面BCD所成角的大小为45.( )CE是平面ACM与平面BCD的交线.由()知, O是BE的中点,则BCED是菱形.作 BFEC于F,连AF,则 AFEC,AFB就是二面角A-EC-B的平面角,设为 .因为BCE=120,所以BCF=60 . BF=BC sin 60=, tan =2, sin=.所以 ,所求二面角的正弦值是.解法二 : 取 CD 中点 O, 连 OB, OM, 则 OB CD, OM CD, 又平面MCD 平面BCD, 则 MO 平面BCD.以O为原点 ,直线 OC 、 BO、 OM 为 x 轴、y 轴、 z 轴 ,建立空间直角坐标系如图.OB=OM=,则各点坐标分别为 O(0, 0, 0), C(1, 0, 0), M(0, 0,), B(0, -, 0), A(0, -,2),( ) 设直线AM 与平面BCD 所成的角为 .因=(0, -),平面BCD 的法向量为 n=(0, 0, 1).则有 sin = cos=, 所以 =45 .直线AM与平面BCD所成角的大小为45.( )=(-1, 0,),=(-1, -, 2).设平面ACM 的法向量为n 1 =(x, y, z),由得解得 x=z, y=z,取 n1=(,1, 1).平面 BCD 的法向量为n=(0, 0, 1).则 cos=. 设所求二面角为 , 则 sin =.所以 , 所求二面角的正弦值是.9. 解法一 :( ) 因为 PD 平面ABCD, BC?平面 ABCD,所以 PD BC. 由 BCD=90 , 得 BC DC. 又 PD DC=D, PD?平面 PCD, DC?平面 PCD, 所以 BC 平面 PCD. 因为 PC? 平面 PCD, 所以 PC BC.( ) 连结 AC.得三棱锥设点 A 到平面PBC得 ABC 的面积P-ABC 的体积V= S的距离为ABCh.因为AB DC, BCD=90 , 所以 ABC=90由 PD 平面. 从而由及ABC PD=.平面 ABCD, DC?平面ABCD,所以PD DC.又PD=DC=1,所以PC=因为=.PD 第16页共16页由 PC BC, BC=1,得 PBC 的面积S PBC = .由 V= S PBC h= h= ,得 h=.因此 , 点 A 到平面 PBC 的距离为.解法二 : 建立如图所示空间直角坐标系D-xyz,则 P(0, 0, 1), C(0, 1, 0), B(1, 1, 0).( )=(0, 1, -1),=(-1, 0, 0).=0 (-1)+10+(-1)0=0, PC BC.( ) 设平面PBC 的法向量 n=(x,y, z),则有即令 y=1 得 n=(0,1, 1).又因为A(1,-1, 0),=(0, 2, 0),所以点A 到平面PBC 的距离d=.解法三 :( ) 取 AB 中点 E, 连 DE, 则 DE BC, DE 面 PBC, 则 A 点到面 PBC 的距离等于 E 点到面 PBC 距离的 2 倍 , 即等于点到面 PBC 距离的 2 倍. 过 D 作 DH PC, 则 DH 面 PBC. 在 Rt PCD 中 , DH= , A 到面 PBC 的距离为 .10. 解法一 :( ) 连结 A1B, 记 A1B 与 AB 1 的交点为 F.因为面 AA BB 为正方形 ,故 AB AB,且 AF=FB.又 AE=3EB1,所以 FE=EB.又 D 为111111BB1 的中点 ,故DE BF, DE AB1.作 CG AB, G为垂足,由 AC=BC 知 , G 为 AB 中点 .又由底面 ABC 面 AA 1B1B, 得 CG 面 AA1B1B. 连结 DG, 则 DG AB1, 故 DE DG, 由三垂线定理 , 得 DE CD. 所以 DE 为异面直线 AB 1 与 CD 的公垂线 .第17页共17页( ) 因为 DG AB 1, 故 CDG 为异面直线 AB 1 与 CD 的夹角 , CDG=45 . 设 AB=2, 则 AB 1=2 , DG= , CG= , AC= . 作 B1H A1C1, H 为垂足 . 因为底面 A1B1C1面 AA 1C1C, 故 B 1H面 AA 1 C 1C, 又作 HK AC 1, K 为垂足 , 连结 B1K, 由三垂线定理 , 得 B1K AC1, 因此 B1KH 为二面角 A1-AC 1-B 1 的平面角 .B1H=,HC 1=,AC 1=,HK=,tan B1 KH=,所以二面角A1-AC 1 -B 1 的大小为arctan.解法二 :( ) 以 B 为坐标原点 ,射线 BA 为 x 轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.设 AB=2,则 A(2, 0, 0), B1(0, 2, 0), D(0, 1, 0), E,又设 C(1, 0, c),则=(2, -2, 0),=(1, -1, c).于是=0,=0,故 DE B1A, DE DC, 所以 DE 为异面直线AB 1 与 CD 的公垂线 .( ) 因为 等于异面直线AB1 与 CD 的夹角 ,故=| |cos 45 ,即 2=4,解得 c=,故=(-1,0,). 又=(0, 2, 0),所以= +=(-1,2,). 设平面 AA 1C1的法向量为 m=(x, y,z),则 m=0, m =0,即 -x+2y+z=0 且 2y=0.令 x=, 则 z=1, y=0,故 m=( , 0, 1).设平面 AB1C1的法向量为 n=(p,