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第1章逻辑代数基础概述 逻辑函数及其表示方法逻辑代数的基本定律和规则逻辑函数的代数化简法逻辑函数的卡诺图化简法本章小结主要要求：口理解逻辑值1和0的含义。口理解逻辑体制的含义。一、逻辑代数用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数 (Boole Algebra)或开关代数。逻辑指事物因果关系的规律。与普通代数比较相似处 用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。III逻辑函数,相异处为逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数 变量称逻辑变量。辑变量和逻辑函数的取值扁只有两个， 常用1和o表示。运算规律有很多不同。注意逻辑代数中的1和0不表示数量大小, 仅表示两种相反的状态。例如：开关闭合为1晶体管导通为1电位高为1断开为0截止为0 低为0二、逻辑体制负逻辑体制 规定低电平为逻辑1、高电平为逻辑0通常未加说明，则为正逻辑体制正逻辑体制 规定高电平为逻辑1、低电平为逻辑0Dexit1.2逻辑函数及其表示方法主要要求：口掌握逻辑代数的常用运算。口理解并初步掌握逻辑函数的建立和表示的方法。掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其相互转换的方法。一、基本逻辑函数及运算与运算（逻辑乘）基本逻辑函数或运算（逻辑加）非运算（逻辑非）r与逻辑 或逻辑 非逻辑1.与逻辑决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生A BY0 000 101 001 11逻辑表达式y=A-B 或A J &B |(AND gate)若有0出0；若全1出1Dexit2.3.非逻辑决定某一事件的诸条件中，只要有一个 或一个以上具备时，该事件就发生。A By0 000 111 01若有1出11 11若全0出0tut 444或逻辑mt_4逻辑表达式A -WTI V或门B _|F (OR gate)决定某一事件的条件满足时, 事件不发生；反之事件发生。y = A 4 - 1(NOT gate) 又称“反相器”10 Mexit常用复合逻辑运算由基本逻辑运算组合而成4 与非逻辑（NAND）1=45先与后非ABY001011101110若有0出1若全1出0- 或非逻辑（NOR ）ABMlYY=A+B先或后非&21A -B -C -D -若有出0 若全0出1非逻辑(AND OR INVERT)Y=AB+CI)先与后或再非DexitAB异或逻辑(Exclusive - OR)HAB若相异出1若相同出0同或逻辑（Exclusive - NOR,即异或非）Y=AQ)B =AB =AB+AB若相同出1若相异出0注意：异或和同或互为反函数，即昇B=AQ)BAQ)B = A BDexit例试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。A 0|1|1olo11011fB 01八1 0|1FTTH1rT AxLl10L11解：片亠U-U U1 丫2 i_nLr rs_m-LTLrI I I I I I I,逻辑符号对照国家标准曾用标准美国标准=D-p眉一| 1F=W4-JrYA _ 1lXyH EXIT逻辑函数及其表示方法逻辑函数描述了某种逻辑关系。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。1.真值表列出输入变量的各种取值组合及其对 应输出逻辑函数值的表格称真值表。列真值表方法(1)按n位二进制数递增的方式列 出输入变量的各种取值组合。(2)分别求出各种组合对应的输出 逻辑值填入表格。Dexii2.逻辑函数式表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。真值表a逻辑式(1) 找出函数值为1的项。li(2) 将这些项中输入变量取值为1的用原变量代替, 取值为0的用反变量代替，则得到一系列与项。(3) 将这些与项相加即得逻辑式。ABCY0001001001000110100010101100、11 |11例如ABCABC逻魁內Y=ABC+ABCDexit3逻辑图由逻辑符号及相应连线构成的电路图。例图示为控制楼道照明的开关电路。 两个单刀双掷开关A和B分别安装在楼上 和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后 关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下 楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻 辑电路。DexitDexit解:(1)分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表DexitY =AB + AB=AQB=AB(3)画逻辑图ABY设计逻辑电路的基本原则是使电路最简OBexit3.3逻辑代数的基本定律和规则主要要求：口掌握逻辑代数的基本公式和基本定律。 基 式逻辑常量运算公式0-0 = 00-1 = 01-0 = 01-1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1Dexit逻辑变量与常量的运算公式iiiiii24+4=10+A=A 1+A = 1 1 A =A0-A = 0A+A=AA A =AA=ADexit基本定律(-)与普通代数相似的定律UJ交换律A + B = B+ADexitDexit(AB)C = A(BC)分配律 A(B + C)=AB+ACA + BC = (A + B)(A + C)结合律(A + B) + C = A + (B + C)DexitDexit逻辑等式的 证明方法厝關数没有!利用真值表I利用基本公式和基本定律Dexit例证明等式 A + BC = (A + )(A + C)解：真值表法AB CA+BC(A + B) (4 + C)00 00000 10001 00001 11110 01110 11111 01111 111右式(A + B)(A + C)= AA +AC + BA + BC X+AC + AB + BC公式法用分配律展开A (1 + (7 + B) + BCA 1 +BCA + BCDexit(-)逻辑代数的特殊定理吸收律AB+AB=AA+AB=A昇+/丑=/+3(-)逻辑代数的特殊定理AB+AB=AA+AB=AA+AB=A+BDexitDexitAB+AC+BC=AB+AC推广公式：AB+AC+BCD - =AB+AC摩根定律(又称反演律)A+B=A9B=/4+(?+ j4+jB+C+=昇(?A9B=A+B推广公式：思考：(2)若已知A + B=A + C9则B = C吗? 若已知4 = AC,则B = C吗？(-)代入规则三、重要规则将逻辑等式两边的某一变量均用同 一个逻辑函数替代，等式仍然成立。A均用刁代替A+AB=A+BA 均用 CQ 代替= CD+CDB=CD+B 於均用C代替-=A+AC=A+C利用代入规则能扩展基本定律的应用。()反演期则对任一个逻辑函数式匕 将换成IEIE“+” , “+” 换成“,“0” 换成 “1” , “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量 换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数变换时注意：(1) 不能改玉原来的运算顺序。(2) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变。Y=AB+C+CDY= (A+BC(C+Tf)原运算次序为可见，求逻辑函数的反函数有两种方法: 利用反演规则或摩根定律。（三）对偶规则对任一个逻辑函数式y,将换成 “+”，“+” 换成 ，“” 换成 “1”，“1”换成“o”，则得到原逻 辑函数式的对偶式厂。对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。变换时注意：（1）变量不改变（2）不能改变原来的运算顺序崇 A + AB = AA (A + B) = ADexit与或表达式 或与表达式一.逻辑函数式的几种常见形式和变换例如 Y=AB+BC与非-与非表达式 或非-或非表达式= (A + B)(B + C)= ABBC与或非表达式=A + B + B + C=AB+BC转换方法举例与或式= 与非式Y=AB+BC或与式或非式0与或非式Y = (A + B)(B + C)= AB + BC用还原律= AB BC用摩根定律= (A + B)(B + C) |用还原律=石丞+歹+可用摩根定律 =abTbc |用摩根定龜I八.1OH EXIT二、逻辑函数式化简的意义与标准化简意义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路,不同形式逻辑式有不同的最简式,般先求取从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提 高系统可靠性。最简与-或式，然后通过变换得到所需最简式。最简与-或式标准与门的输入端数最少乘积项（即与项）的个数最少（2）每个乘积项中的变量数最少最简与非式标准（1）非号个数最少（2）每个非号中的变量数最少用与非门个数最少V 与非门附输入端数最少三、代数化简法运用逻辑代数的基本定律和 公式对逻辑式进行化简。并项法AB + AB = A9将两项合并为一项，并消去一个变量。崇 Y = ABC + ABC =AB Y = A(BC + BC) + A(BC + BC)=AB C + A(B C) = A吸收法A+AB =AAB + AC + BC = AB + AC , 消去多余的与项。* Y = AB + AB(E + F) =AB * Y = ABC + AD + CD + BD= ABC + D(A + C) + BD= ACB+ACD + BD= ACB + ACD= ABC +AD + CD1DexitW消去法运用吸收律a+ajs = a+b9消去多余因子。崇 Y = AB + AC + BC= AB + (A + B)C =AB + ABC =AB + C* Y = AB+ AJB + ABCD + ABCD=AB + AB + CD(AB + AB)=AB + CD9 A B= AB + CD=AB + AB + CD! |D|exit配项法 通过乘A + A = l或加入零项AM = 进行配项，然后再化简。Y= AB + BC+ACD= AB + BC + ACDB+B)= AB + BC + ABCD + ABCD =AB+BC* Y=ABCABCAB=ABC + ABCAB +AB AB=AB(AB + C) + ABC AB = ABABC + ABCAB=ABC = A + B + C综合灵活运用上述方法例 化简逻辑式 Y = AD + AD + AB + AC + CD + ABEF解：Y = A + AB + AC + CD + ABEFI= A + Ac + CD | 应用 A + = A + B=A+C+CD=A+C+D例 化简逻辑式Y = AC + AD + BD + BC解：YAC + BC+D(AB) AC+BC+ DABAC + BC + AB + DABAC + BC = AC+BC +AB应用 a+Zb = a+b= AC + BC + AB + D =AC + BC + DBexit例化简逻辑式Y=A + B ABC AC解:Y = A + BABCAC用摩根定律= A + B+ABC+A= A + B + AC | 应用 A + X8 = A + B=A + B + Cooi Y =A + B+C = ABCDexit1.5逻辑函数的卡诺图化简法主要要求：掌握最小项的概念与编号方法，了解其主要性质。口理解卡诺图的意义和构成原则。掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。：口掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中： 的应用。旨:!|D|exit一、代数化简法与卡诺图化简法的特点代数化简法优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。卡诺图化简法优点:简单、直观，有一定的步骤和方法 易判断结果是否最简。缺点:适合变量个数较少的情况。 一般用于四变量以下函数的化简。二、最小项与卡诺图2 卡诺图是最小项按一定 倾则排列成甬方格图。（一）最小项的概念与性质1.最小项的定义和编号n个变量有2种组合，可对应写出2个乘积 项，这些乘积项均具有下列特点：包含全部变量, 且每个变量在该乘积项中（以原变量或反变量）只 出现一次。这样的乘积项称为这个变量的最小 项，也称为变量逻辑函数的最小项。例如3变量逻辑函数的最小项有23 = 8个Bexit例如3变量逻辑函数的最小项有23 = 8个将输入 变量取值为1 的代以原变 量，取值为0 的代以反变 量，则得相 应最小项。AB C简记符号输入组合对应 的十进制数00 0ABC加0000 1ABC101 0ABCm2201 1ABC加3310 0ABCm4410 1ABC加5511 0ABC肌6611 1ABCm7 7例如 ABC 二 101 = 5加4 = 4 n 100 = ABCBexit2.最小项的基本性质(1)ABC叫m2加3m4叫加6m7F = 丫叫i =0ABCABCABCABCABCABCABCABC0 0 01000000010 0 11 011 00000010 100010000010 1100010000110 000001000110 100000100111000000010111100000001IT2对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为b 而其余各种变量取值均使其值为0。不同的最小项，使其值为1的那组变量取值也不同。 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0o （4）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为lo!基K3.相邻最小项两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。相邻最小项 重要特点：两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化简为相同变量相与。(-)最小项的卡诺图表示将n变量的2个最小项用2个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻,这样排列得到的方格图称为n变量最小项卡诺图,简称为变量卡诺图10110101245LOA00 co三变量卡诺图0123OO二变量卡诺图以循环码排列以保证相邻性EXITMM11 10011100-变量卡诺图同一行最 左与最右金卡诺图特点： 循环相邻性最下邻 列最椰 一与格 同上方X1f4丑ABABCDBCABCDABCDABCDABCABCABCDABCDABCDABCDABCDCDCD CD CD CDABABCDABC相邻项在 几何位置 上也相邻Bexit*如何写出卡诺图方格对应的最小项?*已知最小项如何找相应小方格？Bexit三、用卡诺图表示逻辑函数(-)逻辑函数的标准与-或式每一个与项都是最小项的与-或逻辑式称为标准与-或式，又称最小项表达式。任何形式的逻辑式都可以转化为标准 与-或式，而且逻辑函数的标准与-或式 是唯一的。例将逻辑式 Y = ABC + AB + C D化为标准与或式。解：(1)利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。Y = ABC + AB C D = ABC + AB(C + D) =ABC+ABC+ABD犁丙配项运化为轉隹与車式。_Y = ABC(D+D) + ABC(D+D) + ABD(C+C)=ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD 利用a+a=a9合并掉相同的最小项。Y = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD= m0 + m1 + m12 + m13 + m15=lm(04424345)Dexit(二)用卡诺图表示逻辑函数5W已知例试画出函数Y=(0JJ2J3J5)的卡诺图标准 与或 式画 函数 卡诺 图解:(1)画出四变量卡诺图(2)填图逻辑式中的最100001余不填。00 01 11 10力、项加0、加1、加12、 加13、加15对应的方格填1，其EXIT解：（1）画3变量卡诺图。找出真值表中丫=1对应的最小项，在卡诺图相应方格中填1,其余不填。 BC00 01 11 101111Bexit例 解：(3)根据与或式填图已知丫 = AD + AB(C + BD),试画出Y的卡诺图。 (1)将逻辑式转化为与或式Y = AD + AB+(C + BD)= AD + AB + CBD作疑卡诺图已知一般表达式画函数卡诺图四、用卡诺图化简逻辑函数 七化简规律2个相邻最小项有1个变量相异，相加可以消 去这1个变量，化简结果为相同变量的与；消异存同4个相邻最小项有2个变量相异，相加可以消 去这2个变量，化简结果为相同变量的与；8个相邻最小项有3个变量相异，相加可以消 去这3个变量，化简结果为相同变量的与；2个相邻最小项有n个变量相异，相加可以消去这个变量，化简结果为相同变量的与。Dexit卡图简步诺化法骤画函数卡诺图对填1的相邻最小项方格画包围圈 将各圈分别化简将各圈化简结果逻辑加画包围圈规则包围圈必须包含2个相邻1方格，且必须成方形。 先圈小再圈大，圈越大越是好；1方格可重复圈，但 须每圈有新1；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈; 同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈; 四个角上的1方格也循环相邻，可画圈。Dexii* 例用卡诺图化简逻辑函数y(A0,CQ)电加(0,2,4,5,6,7,9,15)(1)画变量卡诺图解:00001Yd=AD110111101循环相邻1.一P310(2) 填卡诺图(3) 画包围圈(4) 将各图分别化简圈4个可消去2个变量，化 简为2个相同变量相与。uic1圈2个可消去个变量，化yc=abyb = BCD变量相与。孤立项人=4鸟 (5)将各图化简结果逻辑如，得星简与或式Y = ABCD + BCD + AB + ADBexit例用卡诺图化简逻辑函数(0,2,5,7,8，10，12J4J5)(4)求最简与或式 Y= ABD + BCD + AD+BD* 例用卡谬图化冏逻强函Y = ABCD + ABCD001 oipo加3tn4解：（1）画变量卡诺图（2）填图画圈（4）化简麼画吗？厂CD0Y=ABC+ACD+ ABC + ACD Bexit* 例已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最 简与或式。BexitBexit解:Y = ABCY=Y=ABC=A+B+CBexit楽例已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。解：（1）画函数卡诺图（3）化简 Y=BC + AC + AB00 co B0110Y=AB+AC+BCOAu 诺有画 意卡还他法 注该图其圈a11可见，最简 结果未必唯一。Dexii五、具有无关项的逻辑函数的化简1.无关项的概念与表示无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的变 量取值组合或考丕允许出现或聲1轄冬出现。例如 8421 码中,1010 - 11116种代码是不允许出现的。帧丽DB为连动互锁开关， 设开为1,关为0,则仙只能取 值oi或io,不会出现oo或n。无关项在卡诺图和真值表中用“X” “豺 来标记, 在逻辑式中则用字母d和相应的编号表示。无关项化简逻辑函数无关项的取值对逻辑函数值没有影响。 化简时应视需要将无关项方格看作1或0 , 使包围圈最少而且最大，从而使结果最简。崇例用卡诺图化简函数丿最小哩无关项Y=Zm (0,1,4,6,9,13)+ 羽(2,3,5,7 JO J1J5)解：(1)画变量卡诺图(2)填图BexitBexit(3)画包围圈BexitBexit(4)写出最简与-或式Y = A+DBexit* 例已知函数y的真值表如下，求其最简与-金式。ABCY0 0 010 0 110 1 000 1 1X1 0 001 0 111 1 001 1 10解：（1）画变量卡诺图填图（4）写出最简与-或式EXITY = AB+BC画变量卡诺图称约束条件，表明与项AB和AC 对应的最小项不允许出现，因此 AB和AC对应的方格为无关项。(5)求最简与非式Y=A+BD+BD=A BD BD* 例求函数Y = ABC + ABD + ABD的最帖非式 I AB + AC =分析题意填图(3) 画包围圈(4) 求最简与-或式Y = BD+BD+ABexit本章小结分析数字电路的数学工具是逻辑代数，它的定律有的和普通代数类似，如交换律、结合 律和第一种形式的分配律；但很多与普通代数不同，如吸收律和摩根定律。须注意：逻 辑代数中无减法和除法。Dexit逻辑函数和逻辑变量的取值都只有两个， 即0或I。须注意：逻辑代数中的0和I并 不表示数量大小，仅用来表示两种截然不 同的状态。正逻辑体制规定高电平为逻辑1、低电平为 逻辑0;负逻辑体制则规定低电平为逻辑1、 高电平为逻辑0。未加说明则默认为正逻辑 体制。基本逻辑运算有与运算（逻辑乘）、或运算（逻 辑加）和非运算（逻辑非）3种。常用复合逻辑运算有与非运算、或非运算、与或非运算、异 或运算和同或运算。与运算Y=AB 或 Y=AB 若有0出0 若全1出1或运算y=A+B若有出1 若全0出0非运算Y=A与非运算Y=AB有0出1;全1出0或非运算与或非运算-T5TIA -&MlJ rrB H_1c0丫Y=A+BD -Y=AB+CDAB异或运算同或运算44号相异出1Y=A0B相同出1冒=AB+AB相同出0=昇B相异出0YYABDexit逻辑函数常用的表示方法有：真值表、逻辑 函数式、卡诺图和逻辑图。不同表示方法各有特点，适宜不同的应用。真值表通常用于分析逻辑函数的功能、根据 逻辑功能要求建立逻辑函数和证明逻辑等式等。逻辑式便于进行运算和变换。在分析电路逻辑功能时，通常首先要根据逻辑图写出逻辑式；而设计逻辑电路时需要先写出逻辑式，然 后才能画出逻辑图。卡诺图主要用于化简逻辑式。逻辑图是分析和安装实际电路的依据。真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图之间可相互转换DexitDexit逻辑式真值表按n位二进制数递增的方式列出输入变量的各=i种取值组合。(2)分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。DexitDexit真賈表(1) 找出函数值为1的项。逻辑式li(3)将这些与项相加即得逻辑式。(2) 将这些项中输入变量取值为1的用原变量代替, 取值为0的用反变量代替，则得到一系列与项。实用中通常先由真值表画卡诺图，然后 应用卡诺图化简法写出简化表达式。DexitBexit逻辑式卡诺图(1) 应用摩根定律和分配律等求出与或表达式。(2) 根据变量数画出变量卡诺图。(3)根据与或式填图。逻辑式逻辑图将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现o逻辑图逻辑式根据电路逐级写出相应逻辑运算oBexit化简逻辑函数的目的是为了获得最简逻辑式, 从而使逻辑电路简单，成本低、可靠性高。不同形式的逻辑式有不同的最简式，求 最简式的一般方法是：先求最简与或式，然 后变换成所需的最简形式。最简与或式标准最简与非式标准(1)与项的个数最少(2)每个与项中的变量数最少(1)非号个数最少(2)每个非号中的变量数最少逻辑函数化简方法主要有代数法和卡诺图法。代数化简法可化简任何复杂的逻辑函数，但需 要一定的技巧和经验，而且不易判断结果是否 最简。卡诺图化简法直观简便，易判断结果是否最简，但一般用于四变量以下函数的化简。最小项特点是：包含全部变量，且每个变量在该乘积项中（以原变量或反变量形式）只出现 一次。若两个最小项只有一个变量互为反变 量，其余变量均相同，则称为相邻最小项。 Dexit卡诺图是按照使相邻最小项在几何位置上也相 邻且循环相邻这样的原则排列得到的方格图。因此卡诺图具有下面的特点：2个相邻最小项 有n个变量相异，相加可以消去这n个变量， 化简结果为相同变量的与。DexiiDexii诺化法骤卡图简步画函数卡诺图对填1的相邻最小项方格画包围圈将各圈分别化简将各圈化简结果逻辑加Dexii画包包围圈必须包含2个相邻1方格，且必须成方形。圈越大越好；规则1方格可重复圈，但须每圈有新1;每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。无关项有约束项和随意项两种情况，其取值对逻辑函数值没有影响。因此，化简时应视需要将无关项方格看作1或0,使包围圈最Sira少而且最大，从而使结果最简。Bexit
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