数学教学中的动点与移动问题

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：中学几何中的定值问题探究 院（系）理学院专 业数学与应用数学年 级2009级姓 名于春红学 号09031413指导教师黄永辉职 称副教授2013年5月30日毕业论文（设计）评语及成绩论文类型：理论研究型评语：该论文选题有一定的实际意义，论文格式规范，论点正确、论据充分，条理清晰、完整、系统逻辑性较强。全文理论结合实际，较全面分析和总结了中学几何中定值问题的求解方法，对提高学生解题能力、培养创新能力和训练发散思维都具有一定的指导作用。符合本科毕业论文规范要求。 可以提交答辩。指导教师（签字）年 月 日评语及评分成绩： 答辩委员会主席（签字）年 月 日院（系）学位评定委员会意见：签字：年 月 日学校学位评定委员会意见：签字：年 月 日27 / 33目 录摘 要1ABSTRACT2前 言3第一章 常见的定值问题41.1 定点41.2 定线段51.3 定和71.4 定差81.5 定比值91.6 定积111.7 定角121.8 定形131.9 定周长141.10 定面积161.11 定体积18第二章 定值问题的求解策略192.1 定义法192.2 设参消参法192.3 分离参数法202.4 特殊位置法求定值222.5 函数法求定值232.6 相似法求定值242.7 三角函数法求定值25参 考 文 献27致 谢28摘 要中学几何中的定值问题一直是近几年来考题中的热点之一。由于这类题型在解题之前不知道定值的结果，因而对解题者增添了一定的难度。解决这类问题时，要善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，常通过对一些特殊值、特殊位置、特殊图形等的特殊探索先确定出定值，再转化为有方向、有目标的一般性证明题，从而达到解决问题的目的。本文首先通过具体的例子来将几何定值问题分为十类，再通过分析题目中变动部分与固定部分的关系，图中变动部分的特殊位置和固定部分之间的关系，从思维策略上阐述了利用定义、设参消参、分离参数特殊位置法、函数法、相似法等方法探求了平面几何的定值问题求解思路。关键词：中学几何；定值问题；求解策略ABSTRACTMiddle school geometry in setting value question has been the hotspot in recent years examination questions. Because this kind of questions in solving problems fixed value before the results dont know who to problem solving, and added some difficulties. To solve this kind of problem, wants to be good in the fixed point change for setting value unchanged sex, often through some special value, special position, special graphics to determine the special explore a fixed value, again into a direction and goal of general proof, thus achieved the problem solving problem of purpose. This paper firstly by specific examples to will geometric value problem into six types, again through analyzing the title change in part and fixed part of relations, figure change in part of the special position and the relationship between the fixed part, and applying special position method, function method, similar methods including explore the value of plane geometry. Finally expounded from thinking strategies by definition, ginseng and eliminating parameters. trigonometric function, separation parameter solving geometry in setting value problem, the thinking method in thought further distillation. Key words：Middle school geometry; Setting value problem; Search; Solving strategy 前 言 在几何中，我们经常会遇到一类问题，就是探究在什么条件下才能使某个对象为定值。解析几何中的这类探究型定值问题是中学数学的重要问题，求解这类问题需要综合运用解析几何和代数的相关知识与方法，因此是高考命题的一个重点。由于条件与定值均需探究，对考生分析问题和解决问题的能力提出了更高的要求，因此，探究中学几何中的定值问题求解策略是十分重要的。在动态几何问题中，当一些元素按照一定的规律在确定的范围内变化时，与它相关的另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这类问题称为几何定值问题。即指几何问题在一定条件下构成的几何图形中，某些几何元素的几何量在动态的过程中保持不变，或几何元素间的某些位置关系、某些几何性质不变的情形。定值问题由于有时甚至不知道定值的结果，而使人难以下手，给问题解决带来困难。解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在“可变”的元素中寻求“不变”的量一般可采用特殊值或特殊的位置，探得定值，如果需要的话再考虑证明；或直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定值。在解析几何中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该几何量具有定值特性，这类问题称之为定值问题。定值问题是备受关注的焦点之一，它体现了动与静的完美统一，其内容丰富，综合性强，难度较大，因此不少同学常常因解题策略选择不当而导致解答过程繁难、运算量大、甚至半途而废。鉴于此，研究几何中的定值问题的破解策略十分必要。本文将从定值问题的类型、求解几何定值问题的常用方法、解决定值问题的思维策略两部分分别进行阐述，以求使读者较为系统地理解有关几何中的定值问题的求解策略及其常用方法。 第一章 常见的定值问题 在求解定值问题时，我们应将常见的定值问题进行分类，然后在“可变”的元素中寻求“不变”的量。然后再采取相应方法求解定值，可以考虑运用定义法，函数法等相应的方法求得定值。我们着重看下面的例题，并对相应的问题进行简单的分类：1.1 定点直线与圆的定值问题是试题中常见的问题，下面几道例题是关于定值的常见问题。例1 已知圆O的方程为，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切，（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴交于P、Q两点，M是圆O上异于P、Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点,直线QM交直线l2于点Q,求证：以为直径的圆总过定点，并求出定点坐标.解 略解：（1） （2）对于圆O方程,令，得,即又因为直线过点并且与轴垂直，所以直线方程为，设，则直线方程为解方程组得同理也可得,则以为直径的圆的方程为，又因为所以整理后得，若圆经过定点，只需令从而有解得所以圆总经过定点坐标是评注 此例题是将以直径的圆化为方程恒成立的问题，另外也可以把M放在圆与y轴的交点处探求。事实上首先是对直线与圆位置关系的确定，之后将其转变为定点定值问题的处理，若存在的解都可化为方程恒成立的问题，通过分离变量的方法求解就不难了，只要在平常做题时多看看，多想想，处理这类问题的能力就会相应提高。1.2 定线段例2 （2012年福建泉州中考）已知：A、B、C不在同一直线上.（1）若点A、B、C均在半径为R的O上，i）如图1-1，当A=45时，R=1，求BOC的度数和BC的长度；ii）如图1-2，当A为锐角时，求证sinA=；（2） 若定长线段BC的两个端点分别在MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图1-3，当MAN=60，BC=2时，分别作BPAM，CPAN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.（3） 图1-1 图1-2 图1-3分析 （1）i）由圆周角定理得出BOC=2A=90，然后再利用勾股定理得出BC的长；ii）作辅助线直径BE，即E=A，BE=2R，利用sinA=sinE= ，得出结果即可。（2）首先证明点A、B、P、C都在K上，再利用sinA= ，得出AP=，即AP为定值。解 （1）i）因为A=45，所以BOC=90（同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半）。图1-4又有R=1，即由勾股定理可得BC=。ii）证明：连接BO并延长交圆于点E，再连接EC（图1-4）。知ECBC,且E=A,所以sinE=sinA=。（2）保持不变。理由为：图1-5如图1-5，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在RtAPC中，CK=AP=AK=KP。同理可得BK=AK=KP。因为CK=KB=AK=KP，进而点A、B、P、C都在K上。所以由（1）ii）sinA=可知sin60=。所以AP=（即AP为定值）。1.3 定和例3 在平面直角坐标系中，ABC的边AB在x轴上且OAOB，以AB为直径的圆过点C，若点C的坐标为(0, 2)，AB=5，ACB的平分线交x轴于点D，过点D任作一直线l分别交射线CA、CB(点C除外)于点M、N，则的值是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.图1-6解 过D作DECM交AC于E，DFBC交CN于F因为CD平分ACB , 所以DE=DF因为SCMN= SCMD+ SCDN所以CMCN=CMDE+CNDF即CMCN=(CM+CN)DE即即又因为SABC= SACD+ SBCD所以ABCO=ACDE+CBDF整理得 52=(AC+BC) DE 所以因为AC2+BC2=AB2=25，ACBC=ABCO所以ACCB=52=10所以 (AC+CB)22ACCB=25即(AC+BC)2=25+20=45所以AC+BC=3所以即所以是定值.1.4 定差例4 如图1-7：在O中，直径CD弦AB，点P在弧BDA上运动，CP交AB于点Q，BE平分QBP，BC=2. 求证：CE=CB；当点P运动时，的值是否发生变化,若不变，求其值；若变化，说明理由.解 略的值不发生变化因为COAB 并且CO是O的半径所以弧AC=弧CB 所以CBQ=P又因为CBQ=PCB 所以CBQCPB所以 即PCCQ=BC2=4所以(CE+PE)(CEQE)=4 图1-7又因为CE=CB=2 所以(2+PE)(2QE)=4 即42QE+2PEPEQE=4所以 即 所以的值不发生变化。1.5 定比值例5 在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为弧AE的中点，点A的坐标为(2, 0)，AE=8.求点C的坐标；过点D作M的切线，交x轴于点P，动点F在M的圆周上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.图1-8解 C(0, 4)的值不发生变化。 连接MD、MF、CM、OF因为PD切M于D，所以MDPD，DOMPDM所以 又因为 MF=MD所以 且OMF=FMP所以OMFFMP所以在RtCOM中， OC2+OM2=CM2即42+(CM2)2=CM2 解得 CM=5所以OM=52=3 MF=CM=5所以即的值不发生变化。1.6 定积例6 如图1-9：O为等腰ABC底边BC的中点，以O为圆心作半圆与两腰相切于D、E，过半圆上任一点F作半圆的切线，分别交AB、AC于M、N. 求证：BMCN的定值.图1-9解 连接OM、ON因为AB=AC 所以B=C又因为BM、MN、CN分别切O于D、F、E所以BMO=OMN MNO=ONC因为B+C+BMN+CNM=360所以2B+2BMO+2ONC=360即B+BMO+ONC=180又因为B+BMO+BOM=180所以BOM=ONC所以BOMONC所以即BMCN=OBOC又因为OB=OC=BC所以BNCN=BC2所以BMCN为定值.1.7 定角例7 如图1-10：AB是O的直径，点P是AB延长线上的一点，过P点作O的切线，切点为C，连接AC，若点P在AB的延长线上运动，CPA的平分线PM交AC于点M，你认为CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出CMP的大小.图1-10解 CMP的大小不发生变化，连接CO。因为PC与O相切于C，所以OCCP设A=x 则COP=2x (圆周角等于所对圆心角的一半。)设APM=MPC=y 即OPC=2APM=2MPC=2y在RtOCP中，COP+OPC=90 即2x+2y=90所以x+y=45因为CMP=A+APM=x +y=45所以CMP的大小不发生变化。1.8 定形例8 如图1-11：是半圆O内的一条长度不变的弦，可以在半圆O内滑动，过x、y两点分别作直径AB的垂线，垂足分别为C、D，M为的中点，连接MC、MD. 求证：MCD的形状不会改变.图1-11解 把半圆O补充成整圆.延长交O于P，连接. 因为 所以CM是的中位线所以CM 所以=P又因为弦是一条长度不变的弦，所以P的大小不变所以的大小不变，又因为+=90所以MCD的大小不变。过M作MNAB交AB于点N，则MN是梯形的中位线所以MN垂直平分CD，所以CM=MD即MCD是等腰三角形，又因为底角MCD为定值所以MCD的形状不会改变。1.9 定周长例9 （2012年湖北咸宁中考）如图1-12，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形图1-13，图1-14，图1-15中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8理解与作图：（1）在图1-13，图1-14中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH计算与猜想：（2）求图1-13，图14中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：图1-12 图1-13 图1-14 图1-15（3）如图1-15，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想分析 （1）由网格结构，作出相等的角就可出反射四边形。（2）图1-13中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，就可得到周长，图1-14中利用勾股定理求出EF=HG，FG=EH的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值。（3）延长GH交CB的延长线于点N，再利用“ASA”证明RtFCE和RtFCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FM，EC=CM，同理求出HN=EH，BN=BE，从而得到MN=2BC，再证明MG=NG，过点G作GKBC交BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出，再利用勾股定理求出MG的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长。解 （1）作图如下： 图1-16 图1-17 图11（2）在图1-16中， ，四边形EFGH的周长为。 在图1-17中，四边形EFGH的周长为。图1-18猜想：矩形ABCD的反射四边形周长为定值。（3）延长GF交BC的延长线于点M，。又FC=FC，RtFCERtFCM（ASA）。FE=FM，EC=CM。同理HN=HE，NB=BE。MN=2BC=16。，。GN=GM。过点G作GKBC交BC于K（如图1-18），则。四边形EFGH的周长为。矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。评注 本题考查了新定义即网格问题，作图的应用与作图的设计，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质。1.10 定面积例10 （2012年四川自贡中考）如图1-19所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 图1-19 分析 （1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ADC为等边三角形，得ACF =60，AC=AB，从而求证ABEACF，即可得BE=CF。（2）由ABEACF可得SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SAFC=SAEC+SAEB=SABC即得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，AE边最短AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE边最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据SCEF=S四边形AECFSAEF，则CEF的面积就会最大。 图1-20解 （1）证明：如图1-20，连接AC四边形ABCD为菱形，DAB=120，BAE+CAE=60，CAF+CAE=60，BAE=CAF。BAD=120，BAC=60。ABC和ADC为等边三角形。ACF=60，AB=AC。ABE=AFE。在ABE和ACF中，EAB=FAC，AB=AC，EAB=FCA，ABEACF（ASA）。BE=CF。图1-21（2）四边形AECF的面积保持不变，但CEF的面积大小将发生变化。理由如下：由（1）得EBAFCA，则SEAB=SFAC。S四边形AECF=SAEC+SAFC=SAEC+SAEB=SABC，即S四边形AECF是定值。作AHBC交BC于H点（图1-21），则BH=2，。故由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，AE边最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF。CEF面积的最大值是。1.11 定体积我们把某些立体几何图形在变化过程当中，几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置的关系不变，这些图形在变化过程中的保持不变的因素称之为定值。下面看一个体积定值问题。例11 （2009年宁夏海南高考题）如图1-22，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（ ） AB平面C三棱锥的体积为定值D的面积与的面积相等D1ABCEDA1B1C1F 图1-22解析 可证平面，所以，故A正确；由平面ABCD，可知平面，B也正确；连结BD交AC于O，则平面，即AO为三棱锥的高，三棱锥的体积为为定值，C正确；连结交于，不难证明，则为的高，而为的高，且，所以，故D错误故选D评注 正方体是立体几何中最常见的图形，立体几何中许多的概念、定理和判定都可以通过正方体的点、线、面的关系进行说明，可见正方形的重要性。在各类数学考试中，我们会注意到与正方体有关的试题无处不在。因此，熟悉掌握正方体中常见的平行、垂直等，我们才能熟练的解决类似问题。第二章 定值问题的求解策略2.1 定义法例1 双曲线，过焦点的弦AB交同一支于A、B点，且，另一焦点为，求的周长。分析 设为双曲线旳左焦点、为双曲线的右焦点，连接A、B，即由双曲线的定义可知两式相加得故的周长为评注 本题中，因为的周长涉及到双曲线的焦半径和焦点弦，所以利用双曲线的第一定义解决此问题。圆锥曲线的第一定义和第二定义，和圆锥曲线的焦点、离心率、准线有着密不可分的关系，因此在我们遇见有关圆锥曲线的定值问题时，不妨先考虑运用圆锥曲线的定义进行求解。2.2 设参消参法设参消参是解析几何问题中一种常用的方法。有时我们为了解题的需要，通常需要设一个或两个参数，或者更多，如直线的一般解析式、点的坐标等，然后根据相关题内条件，列式消参求解。例2 （2011苏北四市二调）已知椭圆，是其左右顶点，动点满足，连结交椭圆于点，在轴上有异于点的定点，以为直径的圆经过直线的交点，则点的坐标为 . 分析 观察已知条件“以为直径的圆经过直线的交点”是否可转化为“直线垂直于直线”， 因为点在椭圆上，A、M、P三点共线，所以设点的坐标处理更简便。解 设，由、三点共线，可解得，由题意，即，又，解得，所以点的坐标为。评注 本题有两个动点，以为直径的圆无法确定，若设AM的斜率，可求出两点的坐标，进而写出圆的方程再处理，但是过程很繁琐。以上解法通过等价转化，设参消参，从而使问题迎刃而解.另外，注意到点在椭圆上，我们还可以引入角的参数，设点来进行求解。 2.3 分离参数法通常在解决动曲线经过某个定点时，我们试图是否可将变量x、y分离，将变量分离后，观察得到的式子中是否存在恒等式，若有便可通过解恒等式得到这个定点的坐标。例3 （2012南通市一模）如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：设动圆同时平分圆的周长、圆的周长（1）证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；（2）动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由分析 先根据题中已知设立合适的参数，求出动圆C的参数方程才图2-1解 （1）证明：设圆心，由题意可得，即化简得，即动圆圆心C在定直线上运动（2）圆过定点，设，则动圆C的半径为于是动圆C的方程为整理，得由得或所以定点的坐标为，评注 动圆经过的定点，其坐标与参数m无关，通过分离参数简化了运算，化繁为简，恰到好处2.4 特殊位置法求定值在一些定值问题中，常常可以利用特殊点（图形）求得定值。例4 如图2-2，AB为的一条直径，它把分成上、下两个半圆，自上半圆上一点作弦,的平分线交于点，当点在上半圆（不包括两点）上移动时，点（ ）.图2-2A.到得距离保持不变 B.位置不变 C.等分弧 D.随点的移动而移动分析 先考查当点处于特殊位置上半圆周的中点时，点的位置与点重合，此时有。既而考虑添加相关的辅助线，并得出结论。解 连结AC、BCAB是直径，弧AC=弧AD, BCO= BACD=BCO又DCP=OCPACD+DCP=BCO+OCP即.说明点位于下半圆周的中点，位置不变。选B.2.5 函数法求定值通过分析已知条件利若有需要引入变量，并与之建立相应的线性关系，进而把问题转化为代数问题。例5 如图2-3，已知正方形ABCD的周长为，四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动过程中，始终有，且EH=FG，那么四边形EFGH的周长是否可求？若能求出，它的周长是多少？若不能求出，请说明理由。图2-3分析 根据已知可得EAH、EBF、BCD、GDH都是等腰直角三角形，设，则四边形EFGH的周长就可表示出来。考察该代数式的情形，可判断四边形EFGH的周长是否可求。解 设，四边形EFGH的周长为.由题意可得由勾股定理可得， 即四边形EFGH的周长为定值.2.6 相似法求定值对于有关线段比例式（乘积式）的定值问题，经常运用的方法是相似三角形的性质等。例6 如图2-4，已知等边ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线CA与BM相交于点K，直线CB与AM相交于点N。证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关。图2-4分析 注意到图形中ABC的边长是不变的，说明可能与AB有关，观察AB为ABK与BAN的公共边，作一个假设，进而这个等式就是我们证明的目标。解 同理ABKBNA(常量) 这就是说，与M点的选择无关。 2.7 三角函数法求定值例7 （2011苏北四市二调）已知椭圆，是其左右顶点，动点满足，连结交椭圆于点，在轴上有异于点的定点，以为直径的圆经过直线的交点，则点的坐标为 . 解 设，由、三点共线，解得，则，由得，即，即对于任意恒成立，从而，则点的坐标为. 参 考 文 献1张惠民：“解析几何中探究型定值问题的求解策略”数学通讯第31-33页,2009年第8期（下半月）2游海燕：“解决几何定值问题的常用方法”,初中数学教与学,第22-24页2010年；3史建军：“解析几何中定值问题的求解策略”,中学生数学,第18-19页2007年10月；4林明成：“高考解析几何定值问题的破解策略”，数学教学研究,第41-45页，2010年3月；5张开金：“几何定值问题证明示例”，数学空间第23-26页，2009年；6陈学军：“例说解析几何定值的探究与证明”，中学数学月刊第33-35页，2007年第6期；7叶春辉：“平面几何定值问题的探究”，数学教学与研究第57-58页，2008年第39期；8卜曦晨：“恒成立问题的求解方法探讨”，数学教学与研究第59页，2008年；9黄河清：“浅谈竞赛中的动态几何定值问题”，中学数学第16-23页，2008年第5期；10林明成，李云果：“圆锥曲线中定值问题的求解策略”，数学教学通讯第54-60页，2010年；11汤炳兴，叶红：中学数学解题学习，化学工业出版社，2011年1月；12薛金星：多边形的探讨，中学教材全解，陕西人民教育出版社，2006年；13刘培杰：新编中学数学解题方法全书，哈尔滨工业大学出版社，2010年7月；14王林全，吴有昌：中学数学解题研究，科学出版社，2009年3月。致 谢时光匆匆如流水，转眼便是大学毕业时节，春梦秋云，聚散真容易。离校日期已日趋临近，毕业论文的的完成也随之进入了尾声。从开始进入课题到论文的顺利完成，一直都离不开老师、同学、朋友给我热情的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!本课题在选题及研究过程中得到黄永辉老师的悉心指导。黄老师多次询问研究进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路、精心点拨、热忱鼓励。黄老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度、踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人，给以终生受益无穷之道。同时，黄老师渊博的学识、严谨的治学态度也令我十分敬佩，是我以后学习和工作的榜样。还要再次感谢黄老师对我的关心和照顾, 在此表示最诚挚的谢意。在此，我要感谢所有数学系的老师们对我的教育培养，感谢他们细心指导我的学习与研究。我要向诸位老师深深地鞠上一躬。感谢我的同学四年来对我学习、生活的关心和帮助。最后，向我的父亲、母亲、亲人、朋友致谢,感谢他们对我的关爱与支持。友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！