浙江高考数学二轮复习教师用书：第1部分 重点强化专题 专题4 突破点8 空间几何体表面积或体积的求解 Word版含答案

专题四立体几何建知识网络明内在联系高考点拨立体几何专题是浙江新高考中当仁不让的热点之一，常以“两小一大”呈现，小题主要考查三视图与空间几何体的体积(特别是与球有关的体积)和空间位置关系及空间角，一大题常考空间位置关系的证明与空间角、距离的探求本专题主要从“空间几何体表面积或体积的求解”“空间中的平行与垂直关系”“立体几何中的向量方法”三大角度进行典例剖析，引领考生明确考情并提升解题技能突破点8空间几何体表面积或体积的求解 (对应学生用书第29页)核心知识提炼提炼1 求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用. 提炼2 球与几何体的外接与内切 (1)正四面体与球：设正四面体的棱长为a ，由正四面体本身的对称性，可知其内切球和外接球的球心相同，则内切球的半径ra，外接球的半径Ra.(2)正方体与球：设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，O为其对称中心，E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点，J为HF的中点，如图81所示图81正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，故其内切球的半径为OJ；正方体的棱切球：截面图为正方形EFHG的外接圆，故其棱切球的半径为OG；正方体的外接球：截面图为矩形ACC1A1的外接圆，故其外接球的半径为OA1.高考真题回访回访1空间几何体的结构及三视图1(2015浙江高考)如图82，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是()图82A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支C因为PAB30，所以点P的轨迹为以AB为轴线，PA为母线的圆锥面与平面的交线，且平面与圆锥的轴线斜交，故点P的轨迹为椭圆2(2014浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图83所示，则该几何体的体积是()图83A72 cm3B90 cm3C108 cm3D138 cm3B该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示VV三棱柱V长方体433436187290(cm3)3(2013浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图84所示，则该几何体的体积是()图84A108 cm3B100 cm3C92 cm3D84 cm3B此几何体为一个长方体ABCDA1B1C1D1被截去了一个三棱锥ADEF，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为636108(cm3)三棱锥的三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3，故其体积为48(cm3)，所以所求几何体的体积为1088100(cm3)回访2几何体的表面积或体积4(2017浙江高考)某几何体的三视图如图85所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()图85A.1B.3 C.1D.3A由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，该几何体的体积V12331.故选A.5(2015浙江高考)某几何体的三视图如图86所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()图86A8 cm3B12 cm3C. cm3D. cm3C由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体下面是棱长为2 cm的正方体，体积V12228(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱锥，体积V2222(cm3)，所以该几何体的体积VV1V2(cm3)6(2014浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图87所示，则此几何体的表面积是()图87A90 cm2B129 cm2C132 cm2D138 cm2D该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，所以表面积S2(4643)36339939138(cm2)7(2016浙江高考)某几何体的三视图如图88所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.图888040由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是4，高为2；上面正方体的棱长为2.所以该几何体的表面积为(442424)222480(cm2)；体积为4422340(cm3)8(2013浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图89所示，则此几何体的体积等于_cm3.图8924由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积V134530(cm3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积V23436(cm3)，所以所求几何体的体积为30624(cm3) (对应学生用书第31页)热点题型1几何体的表面积或体积题型分析：解决此类题目，准确转化是前提，套用公式是关键，求解时先根据条件确定几何体的形状，再套用公式求解.【例1】(1)如图810，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()图810A17B18C20D28(2)如图811，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为() 【导学号：68334098】图811A1836B5418C90D81(1)A(2)B(1)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图设球的半径为R，则R3R3，解得R2.因此它的表面积为4R2R217.故选A.(2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633)25418.故选B.方法指津1求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解2根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解变式训练1(1)某几何体的三视图如图812所示，则该几何体的体积为()图812A.B5C5D.(2)(2017温州市普通高中4月高考模拟考试12)某几何体的三视图如图813所示，则此几何体的体积是_，表面积是_. 【导学号：68334099】图813(1)D(2)622(1)由三视图知该几何体是由一个长方体，一个三棱锥和一个圆柱组成，故该几何体的体积为V212112122.(2)由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面是边长为2的正方形，高为2，所以该几何体的体积V222，表面积S22222222622.热点题型2球与几何体的切、接问题题型分析：与球有关的表面积或体积求解，其核心本质是半径的求解，这也是此类问题求解的主线，考生要时刻谨记.先根据几何体的三视图确定其结构特征与数量特征，然后确定其外接球的球心，进而确定球的半径，最后代入公式求值即可；也可利用球的性质球面上任意一点对直径所张的角为直角，然后根据几何体的结构特征构造射影定理求解.【例2】(1)一个几何体的三视图如图814所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球的表面积为()图814A.B.C.D.(2)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是() 【导学号：68334100】A4B.C6D.(1)D(2)B(1)法一由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S ABC，其中HS是三棱锥的高，由三视图可知HS2，HAHBHC2，故H为ABC外接圆的圆心，该圆的半径为2.由几何体的对称性可知三棱锥SABC外接球的球心O在直线HS上，连接OB.设球的半径为R，则球心O到ABC外接圆的距离为OH|SHOS|2R|，由球的截面性质可得ROB，解得R，所以所求外接球的表面积为4R24.故选D.法二由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S ABC，其中HS是三棱锥的高，由侧视图可知HS2，由正视图和侧视图可得HAHBHC2.由几何体的对称性可知三棱锥外接球的球心O在HS上，延长SH交球面于点P，则SP就是球的直径，由点A在球面上可得SAAP.又SH平面ABC，所以SHAH.在RtASH中，SA4.设球的半径为R，则SP2R，在RtSPA中，由射影定理可得SA2SHSP，即4222R，解得R，所以所求外接球的表面积为4R24.故选D.(2)由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切设球的半径为R.因为ABC的内切圆半径为2，所以R2.又2R3，所以R，所以Vmax3.故选B.方法指津解决球与几何体的切、接问题的关键在于确定球的半径与几何体的度量之间的关系，这就需要灵活利用球的截面性质以及组合体的截面特征来确定.对于旋转体与球的组合体，主要利用它们的轴截面性质建立相关数据之间的关系；而对于多面体，应抓住多面体的结构特征灵活选择过球心的截面，把多面体的相关数据和球的半径在截面图形中体现出来.变式训练2(1)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB3，AC1，BAC60，AA12，则该三棱柱的外接球的体积为() 【导学号：68334101】 A.B.C.D20(2)(名师押题)一几何体的三视图如图815(网格中每个正方形的边长为1)，若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是_图815(1)B(2)20(1)设A1B1C1的外心为O1，ABC的外心为O2，连接O1O2，O2B，OB，如图所示由题意可得外接球的球心O为O1O2的中点在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC3212231cos 607，所以BC.由正弦定理可得ABC外接圆的直径2r2O2B，所以r.而球心O到截面ABC的距离dOO2AA11，设直三棱柱ABCA1B1C1的外接球半径为R，由球的截面性质可得R2d2r2122，故R，所以该三棱柱的外接球的体积为VR3.故选B.(2)由三视图知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其底面ABCD是长、宽分别为4和2的矩形，高为2，且侧面SDC与底面ABCD垂直，且顶点S在底面上的射影为该侧面上的底面边的中点由该几何体的结构特征知球心在过底面中心O且与底面垂直的直线上，同时在过侧面SDC的外接圆圆心且与侧面SDC垂直的直线上因为SDC为直角三角形，所以球心就为底面ABCD的中心O，所以外接球的半径为RAC，故外接球的表面积为4R220.