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第1讲集合与常用逻辑用语专题一集合与常用逻辑用语、不等式热点分类突破真题押题精练热点分类突破热点一集合的关系及运算1.集合的运算性质及重要结论(1)AAA，A A，ABBA.(2)AAA，A ，ABBA.(3)A(UA) ，A(UA)U.(4)ABAAB，ABABA.2.集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解.(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解.(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.例例1(1)(2017届湖南师大附中月考)已知集合Ax|log2x1，By|y2x，x0，则AB等于A. B.x|1x2C.x|1x2 D.x|1x2答案解析解析解析由已知可得Ax|0 x2，By|y1ABx|1x2，故选C.(2)(2017届潍坊临朐县月考)已知集合M(x，y)|yf(x)，若对于任意(x1，y1)M，存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，则称集合M是“理想集合”.给出下列4个集合：M ；M(x，y)|ysin x；M(x，y)|yex2；M(x，y)|ylg x.其中所有“理想集合”的序号是A. B.C. D.答案解析思维升华项，由图象可得直角始终存在，故正确；综合正确，故选B.思维升华思维升华(1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn图或数轴求解.(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证.跟踪演练跟踪演练1(1)(2017届云南曲靖一中月考)已知集合AxN|x25x40，Bx|x240，下列结论成立的是A.BA B.ABAC.ABA D.AB2答案解析解析解析AxN|1x4，Bx|x2AB2，故选D.(2)用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B若A1,2，Bx|(x2ax)(x2ax2)0，且A*B1，设实数a的所有可能取值构成的集合是S，则C(S)等于A. 4 B. 3C. 2 D. 1答案解析解析解析由A1,2，得C(A)2，由A*B1，得C(B)1或C(B)3.由(x2ax)(x2ax2)0，得x2ax0或x2ax20.当C(B)1时，方程(x2ax)(x2ax2)0只有实根x0，这时a0；当C(B)3时，必有a0，这时x2ax0有两个不相等的实根x10，x2a，方程x2ax20必有两个相等的实根，且异于x10，x2a.热点二四种命题与充要条件1.四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假.2.若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，则p，q互为充要条件.例例2(1)(2017届抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分.已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格.在下列四个命题中，为p的逆否命题的是A.若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B.若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C.若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D.若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分答案解析解析解析根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，p的逆否命题是：若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分.故选C.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案解析思维升华思维升华思维升华充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若pq，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若pq且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系.例如，若AB，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若AB，则A是B的充要条件.(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.跟踪演练跟踪演练2(1)有关命题的说法正确的是A.命题“若xy0，则x0”的否命题为：“若xy0，则x0”B.命题“x0R，使得2 10”的否定是：“xR，2x210”C.“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题D.命题“若cos xcos y，则xy”的逆否命题为真命题答案解析解析解析对于A选项，命题“若xy0，则x0”的否命题为“若xy0，则x0”，否命题是条件和结论的双重否定，故A错误；对于B选项，命题“x0R，使2 10”的否定是“xR，2x210”，故B错误；选项C的逆命题为真命题，故C正确；选项D的原命题是假命题，则逆否命题与之对应，也是假命题，故D错误，故选C. (2)(2017届湖南长沙一中月考)在ABC中，“ABcos 2Bcos 2C”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案解析解析解析由正弦定理，可得在ABC中，若ABC，则sin Asin Bsin C，则sin2Asin2Bcos 2Bcos 2C，反之也成立.所以在ABC中，“ABcos 2Bcos 2C”的充要条件，故选C.热点三逻辑联结词、量词1.命题pq，只要p，q有一真，即为真；命题pq，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题.2.命题pq的否定是(綈p)(綈q)；命题pq的否定是(綈p)(綈q).3.“xM，p(x)”的否定为“x0M，綈p(x0)”；“x0M，p(x0)”的否定为“xM，綈p(x)”.例例3(1)已知函数f(x) 给出下列两个命题：命题p：若m ，则f(f(1)0；命题q：m(，0)，方程f(x)0有解.那么，下列命题为真命题的是A.pq B.(綈p)qC.p(綈q) D.(綈p)(綈q)答案解析思维升华当x0时，若m0，f(x)mx2f(1)0，故p是真命题，即綈p是假命题.故选D.思维升华思维升华判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算.跟踪演练跟踪演练3(1)(2017届黑吉两省八校期中)已知：命题p：若函数f(x)x2|xa|是偶函数，则a0；命题q：m(0，)，关于x的方程mx22x10有解.在pq；pq；(綈p)q；(綈p)(綈q)中，为真命题的是A. B.C. D.答案解析解析解析因为f(x)f(x)，所以1|a1|1|a1|，解得a0，故命题p为真命题；又因为当44m0，即m1时，方程有解，所以q为假命题.所以pq与(綈p)(綈q)为真命题，故选D.(2)(2017届徐州丰县民族中学调研)若命题“x0R，使得x (1a)x010”是假命题，则实数a的取值范围为_.答案解析1，3解析解析由题设可得(1a)240，解得1a3.真题押题精练真题体验1.(2017北京改编)若集合Ax|2x1，Bx|x3，则AB_.x|2x1答案解析解析解析Ax|2x1，Bx|x3，ABx|2x1.1234充分不必要答案解析123412343.(2017山东改编)已知命题p：xR，x2x10；命题q：若a2b2，则a1，则AB等于A.(2,3 B.2,3C.(，0)(0,2 D.(，1)0,3答案解析押题依据押题依据集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题.集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇.押题依据1234解析解析A0,3.又log2(x2x)log22，即x2x2，解得x2，所以B(，1)(2，).所以AB(2,3.12342.已知“xk”是“ 1”的充分不必要条件，则k的取值范围是A.2，) B.1，)C.(2，) D.(，1押题依据押题依据充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念.所以x2.答案解析押题依据1234答案解析押题依据1234123押题依据押题依据常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题.41234123当pq为真命题时，p，q不一定全真，因此pq不一定为真命题；所以为真，故选C.4答案解析押题依据1234.若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：X属于，空集 属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于，则称是集合X上的一个拓扑.已知集合Xa，b，c，对于下面给出的四个集合： ，a，c，a，b，c； ，b，c，b，c，a，b，c； ，a，a，b，a，c； ，a，c，b，c，c，a，b，c.其中是集合X上的一个拓扑的集合是_.(填序号)4123押题依据押题依据以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口.4123解析解析 ，a，c，a，b，c，但是aca，c ，所以错；都满足集合X上的一个拓扑集合的三个条件.所以正确；a，ba，ca，b，c ，所以错.4
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