5-2向量的空间坐标18039

Zz轴（竖轴）mIVOxovnXx轴（；y轴（纵轴）5-2向量的空间坐标空间直角坐标系过空间一定点0,由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴坐标面卦限（八个）在直角坐标系下点p1一有序数组（x,y乎）向量op（称为点p的坐标）特殊点的坐标：原点0（0,0,0）；坐标轴上的点A,B,C;坐标面上的点心C.。Cx,o,二（兀,0,0）0（o,y,z）一QPo_yB（ay.O）A（xjO）全体有序的三个实数构成的数组记为R3=(x,y,z)x,y,zR那么空间中的点集I-R3在平面直角坐标系0Q中，平面上的点集1疋=(兀,y)I兀,yw用如前面所述空间中的点集与空间中的全体向量建立了对应:点P1二向量乔点P的坐标：Ef的坐标:(x,y,z).一致坐标面：X0尹面2=0j/oz面x=0zo兀面尹=0坐标轴:X轴YZ轴Y2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,以分别表示x,y,z轴上的单位向量，设点P的坐标为P(x,y,z),贝iJxi,yJ,zk称为向量OP沿三个坐标轴方向的分向量.任意向量的坐标表达式-设。=冏陆，则向径_A-右=OTVf=r2=OM2=x1i+y1j+z1k=兀2力+儿丿+勺花4.兀a=MM=0M?OM、=(x2X+(尹2-yJ+(z2zjk=(x2-x1,y2-yl,z2-z1).若点M的坐标M(x，z),则/厶7(/2NM(”儿zjM2(x2,y2,z2)a-OM=(x，z)3.向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式S=ax,ay,冬，b=bx,by,bz,a+b=ax+bx,ay+by,az+bz=(ax+bx)t+(ay+by)j+(az+bz)k;a-b=ax-bx,ay-by,az-bz=(ax-bx)i+(ay一)/+(冬bz)k；Aa=Aaxy如，Aaz=(Xax)F+(Xay)j+(Kaz)斤内积的坐标表示式设4=（西，X，zj,2=（花，歹2,Z2）即ax=xxi+a2=x2i+y2j-z2k.tii=jj=k-k=1ij=j-k=k-i=O,（西汁yJ+可可（兀2汁为/+勺云）兀1%2+2122-设。=（兀,y,z）,所以由于Qd=lQ|2=ldl=Jd.d,IaJ兀2+y2+八向量d的单位向量的坐标表示则人至巴的距离为7u2-1）2+（y2-Ji）2+U2-1）2-。/匕证因nn_PB=印2一OP=（兀2,九，勺）-3，）WJ=（兀2-西2一H，Z2）.则距离I赢1=/兀2-旺）2+02_叩2+（込2_知）2.例2已知空间中有三点A(1,O,1),3(0,1,1),C(l,-1,1).求AB与疋之间的夹角解=(-1,1,0),AC=(0=,则cos堺2(Jxl)ffff+卒2仏XZ)+Z2仏X丿)+Z忆2(上从)=0忆2-Z2)+(勺兀2兀忆2)J工+(尤2-兀2沖2百XN=0忆222”+（召兀2一兀忆2）7+（兀2兀2开）2ijjjk%=（31G兀%Za2=（兀22必2）兀2221尹2Z2|X2Z29兀2尹2丿例3设=(1,0,2),b=(2-1,1).求一单位向量c使之同时垂直于与且c构成右手系解显然，所求的向量为：二空axbjkaxb=12022z+3jk-(2,3,1),-11axb=Q+32+(-二価.故-_(2,3,-1)23-1c_V14_(V14，Vi4，V14J用叉乘判断两个向量是否共线？例4设0二(5,6,0),b二(1,2,3).问:与庆是否共线?解因为ijk,_一axb=560=18z-15j+40,123故方与庁不共线补例.已知三点A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求三角形ABC的面积解：如图所示,S“bc-21|=-ABxAC21=勺(4,-6,2)|AB|AC|sin9222124121=4向量的混合积的坐毋表示一设7=b=Cx2,y2,z2c二&3，儿忌），刈G讥=7GXb）=（护2-Z“2）花+（Z血一兀忆2）卩3兀3歹3+（兀1卩2_*2开）歼儿1|兀22乙2例5判断下列三个向量是否共面：匸二（3,0,5）,b=（1,2,3）,c=（5,4,11）.驱305解：.（我）=123=0,所以它们是共面的5411方向余弦设d是一个非零向量,它与兀轴y轴冬z轴之夹角分别为cc,卩,丫,则称a，A/e0,为7的方向角,称cosa,cos0,cos丫为向量a的方向余弦.ak-,cosy=aai:.cosa-，COS0=a设d=&,y,z),贝aj22c2iCOSQ+COS0+COS/=1.o_aCl_1a1,cos/3=+J?+才，x:.cosa=一(賦+b+才zcosV=,Jx2+y2+z向量一一cosai+cospj+cosyk