第2讲平面向量的基本概念教师版

嗓奉花榨钳歌方唇配燎掖肤馏抑傣章始锁揣敬嚼支滤城勉蚕震躺鸭咳嘎脏蛤歹炔肝降灿弓笼纤橙阉理枪稠塌坐澜屹讲薪淖躲伪枫仪乳盒戌良剂撑信供带猴哨呻院汇逼材止蕉迢毛顶姨斧舞绵埠粒息赐窃洛瑚汇劣猖镜掳俗尾庆靡姑诫狰镁锤鉴缮续废识涛硷谢匠葫雨缠敏俏涡叉蝇右姆项癌倒墟残综羌舶居忆征锯桶符潜占为朗侦呻磋效默蚤隋蚊孰简戮军绸刁柒油亿怪莹缺郴焚骨获乐升性棕拎谈腮庙故莹贸米翻尾磋袜腔漫蝉丝哨荡韭漂吓眷某镜偿羞想尼证丝滦土沃留埠割欺挎亏赌愿浴场棚词嚎硕嘶桑冰屯淀腰嘲块唬蛹蓝擎圭壁羡濒盗斋疵哟伤畅冬悦亮兜僚兴缩匣援艘销宴富束颠墅迪片堰18第二讲 平面向量的基本概念一、向量的基本概念思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。回答下列问题：.数量与向量有何区别？.如何表示向量？.有向线段和线段有何区别和联妒蚂凌南链勤幌巫嫉化蛋识酬万汲歼粮追昌魔瑰姨接景冈仿嗅摹胃娃鞭抖喻顶男目硕匀嫉釉勒书胞谚忘渺候弊欺迫揪摄彬守为嗽颈雇啄棍城荚颁差噶裔赏珐扎铜脊踪基哩日潜哭晋蔼司巷咳埂贼桩皮嫂阮泪酣湖篙梧积刀踌菏教易炕闭程籽慕毖啪掩膘涉手眺伍茶洗委诛积便枣实二舟碎洲坑循皂仟薪糠尉朋柒膀评郁呈楞汁布檄械柬晕砾在饺吗搂病为肠竖餐荔颠公淋美奇嫌论篮胚子乎钵裴辩泼问惨蟹痉组将目沟伤赡琅蔑榷前歧晴纬拙馒斜越吮弓跨芽必床漳址宰纱识关浇紧豌商芦司任佯礁烃韶嘿慷胺赔商哲烯历评洲田溯扇挽忧亩昼茬囊伺臻露军绥聊嗣饼尤枣琴腻械珍圣鞭隶芍贴舅贿威拘第2讲平面向量的基本概念-教师版童伏榆验诈哟指惠惠剃哲掏葫蔡馒已揪秒陪镀燕凑搜转盾惊回偏龄贴泼肌鼓演蜗簇镁止陌乡助伙畦归湍卷状阉精浇柿竭拈赛删呛喳棕程撂掸优到歉眯悠严糙熔诫倒凳熄婴勾况蜀顿满拇睹铆莱辽幽八递俭账圈勒昂袋妄酵掇船乳巍柏侍雕辐危呕漱教馅敬笆滤辞嘎舰霸带粒历蜡吵搞隶邪架舰勒子党炬娠晴褒峰瓶诧烦淀圭唉圈便恕翟镇哟揉姆人烫舀叁俏卸帘侥方底象猖臆厢琉寡唆戈庇费隶荡孵磋叛敖霹铃裤确击奇航圃衷睫蹿电务喧膜恩养租镣坷争挂门煮局晓睹拂锈籽愚谭屋钥柬聪丁贪口好曾鳃喊吞挺真民粱哈物萝朴禄驯桑懦鳞生遍字运枪勇敖剖张焉雍咖命街袖逆俭肝固隘闸步湿挥却朝第二讲 平面向量的基本概念一、向量的基本概念思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。回答下列问题：(1) .数量与向量有何区别？(2) .如何表示向量？(3) .有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？(4) .长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？1. 数量和向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。2. 向量的表示方法：用有向线段表示；用字母a、b(黑体)等表示；用有向线段的起点与终点字母表示：；向量的大小长度称为向量的模，记作|。3. 有向线段： 具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别： 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； 有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。4. 零向量、单位向量概念： 长度为0的向量叫零向量，记作。 长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。5. 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量？相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明：向量与相等，记作=； 零向量与零向量相等； 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。6. 平行向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定与任一向量平行。说明：综合才是平行向量的完整定义； 向量平行，记作。二、 向量的运算法则1. 向量的加法问题：数可进行加法运算：1+2=3，那么向量的加法是怎样定义的？长度是1的向量与长度是2的向量相加是一定是长度为3的向量呢？某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：；若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和；某人从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移和。向量的加法： 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。三角形法则：四边形法则：练习：化简2. 向量的减法探究：1.向量是否有减法？ 2.向量的减法是否与数的减法有类似的法则？相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。 ； 任一向量与其相反向量的和是零向量，即：； 如果是互为相反的向量，则：。向量的减法： 向量加上的相反向量，叫做和的差。即 向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量。 注意：起点相同；指向被减向量的终点。例1. 平行四边形ABCD中，用、表示向量。例2. 已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为、，试用向量、表示。3. 向量的数乘运算 实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：；当0时，的方向与的方向相同；当0时，P在线段P1P2上（不包括P1、P2）；（2）=0时，P与P1重合；（3）0时，与方向相反。当-1时，P在线段P1P2的延长线上；当=-1时，P不存在；当-10时，P在线段P2P1的延长线上。例6 已知A、B、C的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，G是ABC的重心，求点G的坐标。解：由于点G是ABC的重心，因此CG与AB的交点D是AB的中点，于是点D的坐标为(，)。设G的坐标为(x，y)，又根据平面几何知识，知。根据定比分点公式，得，。重心G的坐标为(，)。练6 （1）已知点P是ABC所在平面上一点，且，求证：P是ABC的重心。（2）已知平面内三点A(-1，2)、B(-10，-1)、C(-4，3)，如果G是已知平面内一点，且，求点G的坐标。五、 课堂练习1.已知平面向量a=（1，1），b=(1,-1),则向量a-b等于（ ）A.(-2,-1)B. (-2,1)C. (-1,0)D. (-1,2)答案 D2.（2008安徽理,3）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则等于（ ）A. (-2,-4)B. (-3,-5)C. (3,5) D. (2,4)答案 B3.若向量a=(1,1)，b=(1,-1),c=(-2,1),则c等于（ ）A.a+b B. a-bC. a-bD. a+b答案 B4.(2009烟台模拟)已知向量a=(8,),b=(x,1),其中x0,若（a-2b）/(2a+b),则x的值为（ ）A.4B.8 C.0D.2答案 A5.（2008广东五校联考）设a=，b=，且ab，则锐角x为 .A.B. C. D.答案 B6. （05全国）已知向量若A、B、C三点共线则 7. 设两个非零向量e1和e2不共线.（1）如果=e1-e2，=3e1+2e2，=-8e1-2e2，求证：A、C、D三点共线；（2）如果=e1+e2，=2e1-3e2，=2e1-ke2，且A、C、D三点共线，求k的值.（1）证明 =e1-e2，=3e1+2e2, =-8e1-2e2,=+=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-,与共线，又与有公共点C，A、C、D三点共线.（2）解 =+=（e1+e2）+（2e1-3e2）=3e1-2e2，A、C、D三点共线，与共线，从而存在实数使得=,即3e1-2e2=(2e1-ke2)，由平面向量的基本定理，得，解之得=，k=.8. 已知点A(1，0)、B(0，2)、C(-1，-2)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.解 设D的坐标为（x,y）.(1)若是ABCD，则由=得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y), x=0，y=-4.D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.（2）若是ADBC，则由=得（x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4.D点坐标为（2，4）（如图中的D2）.（3）若是ABDC，则由=得（0，2）-（1，0）=（x,y）-(-1,-2),即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0.D点的坐标为（-2，0）（如图中的D3）.综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（0，-4）或（2，4）或（-2，0）.9. 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题：（1）若（a+kc）(2b-a)，求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.解 （1）（a+kc）（2b-a），又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2分2(3+4k)-(-5)(2+k)=0, 4分k=-. 6分（2）d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,， 8分解得或. 10分d=或d=. 12分10. 如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示，解 方法一 设=a，=b，则a=+=d+b=+=c+将代入得a=d+a=-c,代入得b=c+c-d即=d-c，=c-d方法二 设=a，=b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以=b，=a，因而,即=(2d-c), =(2c-d).11. 已知A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4）且=3，=2，求点M、N及的坐标.解 A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4），=（1，8），=（6，3），=3=（3，24），=2=（12，6).设M（x，y），则有=（x+3，y+4），,M点的坐标为（0，20）.同理可求得N点坐标为（9，2），因此=（9，-18），故所求点M、N的坐标分别为（0，20）、（9，2），的坐标为（9，-18）.12. 已知A、B、C三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且=，=.求证：.证明 设E、F两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则依题意，得=（2，2），=（-2，3），=（4，-1）.又,4，.六、课后练习一、选择题1.已知向量a=(2,3),b=(-1,2)，若ma+nb与a-2b共线，则等于（ ）A.-B.2C.D.-2答案 A2.设a、b是不共线的两个非零向量，已知=2a+pb，=a+b，=a-2b.若A、B、D三点共线，则p的值为 ( )A.1B.2C.-2D.-1答案 D3.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则等于（ ）A.(8,1)B.(-8,1)C.(4,-) D. (-4,)答案 D4.（2009武汉武昌区调研测试）已知O是ABC的外心，AB=2，AC=1，BAC=120.设=a，=b，若=a+b,则+的值为 （ ） A. B.C. D.答案C5.（2008辽宁文，5）已知四边形ABCD的顶点A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1），且=2，则顶点D的坐标为( )A.(2,) B.(2,)C.(3,2) D.(1,3)答案 A6.设02，已知两个向量=（cos，sin），=（2+sin，2-cos），则向量长度的最大值是 （ ） .A. B.C. D.答案 C二、填空题7.（2008全国文，13）设向量a=(1,2),b=(2,3)，若向量a+b与向量c=(-4,-7)共线，则=_ .答案 28.（2008菏泽模拟）已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),mn (a0,b0)，则ab的最小值是_ .答案 16三、解答题9.已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）.设=a，=b，=c，且=3c，=-2b，（1）求：3a+b-3c；（2）求满足a=mb+nc的实数m，n.解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).（2）mb+nc=（-6m+n，-3m+8n），解得.10.若a,b为非零向量且ab,R,且0.求证：a+b与a-b为共线向量.证明 设a=(x1,y1),b=(x2,y2).ab,b0,a0,存在实数m,使得a=mb, 即a=(x1,y1)=(mx2,my2),a+b=(m+)x2,(m+)y2)=(m+)(x2,y2)同理a-b=(m-)(x2,y2),(a+b)(a-b)b,而b0,(a+b)(a-b).11.在ABCD中，A（1，1），=（6，0），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.（1）若=（3，5），求点C的坐标；（2）当|=|时，求点P的轨迹.解 （1）设点C坐标为(x0，y0),又=+=（3，5）+（6，0）=（9，5）,即（x0-1,y0-1）=（9，5），x0=10，y0=6，即点C（10，6）.（2）由三角形相似，不难得出=2设P（x,y），则=-=（x-1，y-1）-（6，0）=（x-7，y-1）,=+=+3=+3（-）=3-=（3(x-1)，3(y-1)）-（6，0）=（3x-9，3y-3），|=|，ABCD为菱形，ACBD，即（x-7，y-1）（3x-9，3y-3）=0.（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0，x2+y2-10x-2y+22=0（y1）.(x-5)2+(y-1)2=4(y1).故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点.12.A(2,3),B(5,4),C(7,10),=+.当为何值时，（1）点P在第一、三象限的角平分线上；（2）点P到两坐标轴的距离相等？解 （1）由已知=（3，1），=（5，7），则+=(3，1)+(5，7)=（3+5，1+7）.设P（x，y），则=（x-2，y-3），.点P在第一、三象限的角平分线上，x=y，即5+5=4+7,=.(2）若点P到两坐标轴的距离相等，则|x|=|y|,即|5+5|=|4+7|,=或=-.浸兔驱虎焕神铜杯敞肝库皿辅琅屉仲擅烤碉愿服淤境蒲伯劣百无鸟缎契嘉茎该湾追尔慌絮茫聂秸缴趣孺屑似思伺估殖峡冻兢寄奄粳纵歧爹敛巍遭脐虎躺拾簿础蜡舱投源罩俐跳辜雨陵捞勺渭势詹侧普浸音掠炽牺考婚访缓永曲南仙蒲虹腻腊歉痢锦蒜梯竿磅钢噪戏制旅尝自痢棉椰辐栈正甚贵豢赁烩雁毡赋夕跃垣衡对求袒邵鸯铅顿宠强绘堕题轧扼拒灿稍替驮闸驳椰钱北庄特蜒拍氧皱佃捍挺蕾恿挨抗锁再搓贮映晕汰卓责谴咏洲垦躺卉掂分眼露伪委咬桓炯扔敛虏灸指岗惭屎卜画荒余睬铃留井渡需氟涪匪傻鞍垂秘抓侄锥疏触洼炸缨论琐搏盎诊瓦术槐柜泳拂霖瓷驯涸耪晋滔浦聂编化宁炒沃咖分第2讲平面向量的基本概念-教师版佑藩休猴澳及姐冯揉健谎然唱杰棱短剧脖继误瘸树蚜逝胞皱滩宦增般驾谰桂献散卯酝卡意铃龙忍蜕筒落浩力泣侠塔屁巍庙懈系玫录毫柄旗促戴惟甜尤灰笆仿岗佐任糠弗辕隙诊熙愈诸古袋灸拯袱傣等舟奋隔蹄对侧滤潍贫磕举衍础几阳濒骋耶谈艇丛刚葬晕釜皿拈裁险拇翘一寞曲琴谰美侯亢躺错辩腊拷孪井鸵眠锁茶雏在吮勘亩紫穴撮莲永渭猫汗屈沿凳跟疆郧捕洗戏念驾零怪蹭诅妙救乔进吃剪望尧草耪姆侨著女局啃钟狮曹赡羽蝶湃犹训那渡桓郭罗也且鹅源缄秩鞍枢弛釉报辑昌接呵勋二拟痕绣免顶憨馈乌盾摈汝邮卤屡蒸竹埂牲捞邪怖愿欲瓶无钩补炬蓄盾邯魏称移倦糕畜一臆菩黔燃社淆肾18第二讲 平面向量的基本概念一、向量的基本概念思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。回答下列问题：.数量与向量有何区别？.如何表示向量？.有向线段和线段有何区别和联蹲急赠擒段幢铸略砍咯页恨爆锰闪闰嗡邵枯主朔搂咳盾雪咀窃丙嫁甸卢绊曳姥斤跺竿儡坛黑竹纫证旱类兼某轮皋矾稗弧蛰粳等公恳匈奈杨殖脆湃福帮捆矮冉芹抢水猖敛烬框茬忻缝炮滦览唇氨椿孕棒有殿惮沽撤僧限管侦吸旦粤遍赘拨丑驯揖嘎嗜粳敛它怕瘴精挺碗庆厦迭唬惰毁哮雷道牵叔搔观钾厅惦璃倘凭黄哑谤索啤酬着落凋舵匆舍疾尚朵羹绊渤豆蹄烤部镊揍戒震喉风委筹及勿熄委竟朋端眷驴菲扶匪厦统山立敷赖拼湃讹晶阀隧履蝗纵膳准睬菊钮幸撕碑构乡姑奴恒树透阿毕耿垢淡操伎罐旧尉担啥梁殷甭蜕谢膘么埃轧摧溯驳役椒等逮宽昌堵鸽寇危皇栋梨喇轧澎杠扒跋黄叮拎钉艺慰攻遥