新版衡水万卷高三数学理二轮复习高考作业卷二十五数列综合题一含解析

1 1衡水万卷作业（二十五）数列综合题（一）考试时间：45分钟姓名：_班级：_考号：_题号一总分得分一 、解答题（本大题共5小题，共100分）设数列各项均为正数，且满足（I）求证：对一切n2，都有 （II）已知前n项和为，求证：对一切n2，都有设不等式组所表示的平面区域，记内整点的个数为（横纵坐标均为整数的点称为整点）。 （1）时，先在平面直角坐标系中做出平面区域，在求的值； （2）求数列的通项公式； （3）记数列的前n项和为，试证明：对任意，恒有 成立。（20xx重庆高考真题） 在数列中，（I）若求数列的通项公式； （II）若证明：已知首项大于的等差数列的公差，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，其中求数列的通项；是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由设数列的前n项和为若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立衡水万卷作业（二十五）答案解析一 、解答题（），解得01，当n=2时，不等式成立，假设当n=k（k2）时，不等式成立，即，则当n=k+1时，,故当n=k+1时，不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n2，都有（）设f（x）=ln（x+1）- ，x0则f(x)= -=0，f（x）在（0，+）上是增函数，则f（x）f（0）=0，即ln（x+1），令x=，代入上式，得ln(n+2)-ln(n+1)，对一切n2，+ +ln（n+2）-ln（n+1）+ln（n+3）-ln（n+2）+ln（2n+2）-ln（2n+1）=ln（2n+2）-ln（n+1）=ln2对一切n2，都有S2n-Sn-1ln2解：（1）D2如图中阴影部分所示，在48的矩形区域内有59个整点，对角线上有5个整点，a2=25（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有an=10n+5（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）（8分）=，+=（+）=（+）（13分）【思路点拨】（1）在48的矩形区域内有59个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列an的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论解：(1)由有若存在某个，使得，则由上述递推公式易得.重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意，.从而既是一个公比q=2的等比数列.故.（）由，数列的递推关系式变为变形为.由上式及归纳可得因为，所以对求和得.另一方面，由上已证的不等式知得.综上，.【答案】（1）（2）1【解析】（1）数列的首项，公差， 2， 整理得解得或（舍去）因此，数列的通项 （2）， 令，则有，当时， 因此，数列的通项 ， 若数列为等比数列，则有，即，解得或 当时，不是常数，数列不是等比数列，当时，数列为等比数列所以，存在实数使得数列为等比数列 【思路点拨】，则， 求出通项，当时，不是常数，数列不是等比数列，当时，数列为等比数列所以，存在实数使得数列为等比数列 （1）当时，当时，时，当时，是“H数列”（2）对，使，即取得，又，（3）设的公差为d令，对，对，则，且为等差数列的前n项和，令，则当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”的前项和，令，则对，是非负偶数，即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”因此命题得证.