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第79讲 圆锥曲线中的定点和定值问题的解法【知识要点】一、 定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.二、定值问题：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.【方法讲评】题型一定点问题方法一特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.方法二分离参数法：若等式对恒成立，则同时成立，运用这一原理，可以证明直线或曲线过定点问题.一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.【例1】 设点和是抛物线上原点以外的两个动点，且，求证直线过定点. 【解析一】取写出直线的方程；再取写出直线的方程；最后求出两条直线的交点，得交点为.设，直线的方程为， 由题意得两式相减得 ，即，直线的方程为，整理得 【点评】（1）证明直线过定点，一般有两种方法.方法一：特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.方法二：分离参数法：若等式对恒成立，则同时成立，运用这一原理，可以证明直线或曲线过定点问题.一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.（2）解析一使用的就是方法一，解析二使用的就是方法二. 大家注意灵活选择. 【反馈检测1】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标 【反馈检测2】在直角坐标系中,椭圆 的离心率,且过点,椭圆的长轴的两端点为,点为椭圆上异于的动点,定直线与直线、分别交于两点. （1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在定点经过以为直径的圆,若存在,求定点坐标；若不存在,说明理由. 题型二定值问题方法一特殊探究，一般证明.方法二直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数. 【例2】过抛物线：（0）的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则的值必等于（ ）A B C D 又由，消去得， 【点评】定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.【反馈检测3】椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）若分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，且交椭圆于不同于的点，求证：为定值 【反馈检测4】如图，为椭圆的左右焦点，是椭圆的两个顶点，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.直线与椭圆交于两点，两点的“椭点”分别为，已知以为直径的圆经过坐标原点. （1）求椭圆的标准方程；（2）试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第79讲：圆锥曲线中的定点和定值问题的解法参考答案 【反馈检测1答案】（1）；（2）直线过定点，定点坐标为 （）设，联立得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，即， 【反馈检测2答案】(1)；(2)存在，.【反馈检测2详细解析】（1）,椭圆的方程为.（2）设、的斜率分别为.即,由知,由知,的中点.以为直径的圆的方程为,令,即,解得或,存在定点经过以为直径的圆.【反馈检测3答案】（1）（2） 【反馈检测4答案】（1）；（2）的面积为定值1.【反馈检测4详细解析】（1）由题可得解得，故椭圆的标准方程为.（2）设，则，.由，即.（*）当直线的斜率不存在时，.当直线的斜率存在时，设其直线为，联立得，则，同理，代入（*），整理得，此时，. 综上，的面积为定值1. 10
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